Номер 24.11, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.11. Упростите выражение:

1) $\sin(\alpha + \beta) - \sin\beta \cos\alpha;$

2) $\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta);$

3) $\cos(\alpha - \beta) - \cos\alpha \cos\beta;$

4) $\cos\alpha \sin\beta + \sin(\alpha - \beta).$

1) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) - sin\beta cos\alpha$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$sin(\alpha + \beta) - sin\beta cos\alpha = (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta) - sin\beta cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Заметим, что $sin\beta cos\alpha$ и $cos\alpha sin\beta$ это одно и то же произведение.

$sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta - cos\alpha sin\beta = sin\alpha cos\beta$

Члены $cos\alpha sin\beta$ и $-cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $sin\alpha cos\beta$.

2) Для упрощения выражения $sin\alpha sin\beta + cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$sin\alpha sin\beta + cos(\alpha + \beta) = sin\alpha sin\beta + (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sin\alpha sin\beta + cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = cos\alpha cos\beta$

Члены $sin\alpha sin\beta$ и $-sin\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $cos\alpha cos\beta$.

3) Для упрощения выражения $cos(\alpha - \beta) - cos\alpha cos\beta$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$cos(\alpha - \beta) - cos\alpha cos\beta = (cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - cos\alpha cos\beta$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta = sin\alpha sin\beta$

Члены $cos\alpha cos\beta$ и $-cos\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $sin\alpha sin\beta$.

4) Для упрощения выражения $cos\alpha sin\beta + sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$cos\alpha sin\beta + sin(\alpha - \beta) = cos\alpha sin\beta + (sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos\alpha sin\beta + sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta = sin\alpha cos\beta$

Члены $cos\alpha sin\beta$ и $-cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются.

Ответ: $sin\alpha cos\beta$.