Номер 24.13, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.13. 1)

$\frac{\sin\frac{3\pi}{20} \cdot \cos\frac{21\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \cdot \sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \cdot \sin\frac{7\pi}{24}}$;

2)

$\frac{\sin\frac{15\pi}{7} \cdot \sin\frac{4\pi}{21} + \cos\frac{4\pi}{21} \cdot \cos\frac{6\pi}{7}}{\sin\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24} \cdot \sin\frac{23\pi}{24}}$.

1)

Рассмотрим числитель дроби: $\sin\frac{3\pi}{20} \cdot \cos\frac{21\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \cdot \sin\frac{\pi}{10}$.

Упростим аргумент $\frac{21\pi}{10}$, используя периодичность косинуса: $\cos\frac{21\pi}{10} = \cos(\frac{20\pi+\pi}{10}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10}$.

Тогда числитель примет вид: $\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}$.

Это соответствует формуле синуса суммы двух углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{3\pi}{20}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$.

Числитель равен $\sin(\frac{3\pi}{20} + \frac{\pi}{10}) = \sin(\frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi}{20}) = \sin(\frac{5\pi}{20}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\cos\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \cdot \sin\frac{7\pi}{24}$.

Приведем $\sin\frac{7\pi}{8}$ к углу $\frac{\pi}{8}$, используя формулу приведения: $\sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8}$.

Тогда знаменатель примет вид: $\cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24}$.

Это соответствует формуле косинуса разности двух углов $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{24}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.

Знаменатель равен $\cos(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24}) = \cos(\frac{4\pi}{24}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2)

Рассмотрим числитель дроби: $\sin\frac{15\pi}{7} \cdot \sin\frac{4\pi}{21} + \cos\frac{4\pi}{21} \cdot \cos\frac{6\pi}{7}$.

Переставим слагаемые для удобства: $\cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21}$.

Упростим аргументы, используя формулы приведения и периодичность:

$\cos\frac{6\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\cos\frac{\pi}{7}$.

$\sin\frac{15\pi}{7} = \sin(\frac{14\pi+\pi}{7}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7}$.

Подставим упрощенные выражения в числитель: $-\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21} = -(\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} - \sin\frac{\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21})$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{7}$ и $\beta = \frac{4\pi}{21}$.

Числитель равен $-\cos(\frac{\pi}{7} + \frac{4\pi}{21}) = -\cos(\frac{3\pi}{21} + \frac{4\pi}{21}) = -\cos(\frac{7\pi}{21}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin\frac{7\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24} \cdot \sin\frac{23\pi}{24}$.

Упростим $\sin\frac{23\pi}{24}$ с помощью формулы приведения: $\sin\frac{23\pi}{24} = \sin(\pi - \frac{\pi}{24}) = \sin\frac{\pi}{24}$.

Тогда знаменатель примет вид: $\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{\pi}{24}$.

Это соответствует формуле синуса разности двух углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{24}$ и $\beta = \frac{\pi}{24}$.

Знаменатель равен $\sin(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}) = \sin(\frac{6\pi}{24}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.