Номер 24.6, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.6. С помощью формул сложения докажите тождество:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$;

2) $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$;

3) $\cos\left(\frac{3}{2}\pi - \alpha\right) = -\sin\alpha$;

4) $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha.$

1) Для доказательства тождества $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \alpha$:

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{2})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{2})sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{2}$: $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, подставим их в выражение:

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 1 \cdot cos(\alpha) - 0 \cdot sin(\alpha) = cos(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos(\pi + \alpha) = -cos\alpha$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \pi$ и $y = \alpha$:

$cos(\pi + \alpha) = cos(\pi)cos(\alpha) - sin(\pi)sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\pi$: $cos(\pi) = -1$ и $sin(\pi) = 0$, подставим их в выражение:

$cos(\pi + \alpha) = (-1) \cdot cos(\alpha) - 0 \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -sin\alpha$ воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = cos(\frac{3\pi}{2})cos(\alpha) + sin(\frac{3\pi}{2})sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$: $cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, подставим их в выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) + (-1) \cdot sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $sin(\pi + \alpha) = -sin\alpha$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Подставим в эту формулу $x = \pi$ и $y = \alpha$:

$sin(\pi + \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) + cos(\pi)sin(\alpha)$.

Зная значения тригонометрических функций для угла $\pi$: $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$, подставим их в выражение:

$sin(\pi + \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) + (-1) \cdot sin(\alpha) = -sin(\alpha)$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.