Номер 24.7, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.7. Выразите через тригонометрические функции угла $\alpha$ выраже- ние:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

3) $\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

4) $\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

5) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$;

6) $\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Для решения данной задачи используются формулы сложения и вычитания аргументов для тригонометрических функций (синуса и косинуса), а также значения тригонометрических функций для стандартных углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Основные формулы:

$sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

$cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$

$cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

Значения функций:

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

1) Для выражения $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$ используем формулу синуса суммы:

$sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(sin(\alpha) + cos(\alpha))$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(sin(\alpha) + cos(\alpha))$

2) Для выражения $cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ используем формулу косинуса разности:

$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{4}$:

$cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\alpha) + sin(\alpha))$

3) Для выражения $sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ используем формулу синуса разности:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{3}$:

$sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$

4) Для выражения $cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ используем формулу косинуса суммы:

$cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = cos(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) - sin(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{3}$:

$cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

5) Для выражения $sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ используем формулу синуса суммы:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{6}$:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

6) Для выражения $cos(\frac{\pi}{6} - \alpha)$ используем формулу косинуса разности:

$cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Подставляем значения для угла $\frac{\pi}{6}$:

$cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)$