Номер 24.5, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.5. Используя формулы сложения, найдите значение выражения:

1) $sin105^\circ$;

2) $cos105^\circ$;

3) $sin165^\circ$;

4) $cos165^\circ$.

1) sin105°

Для нахождения значения $sin(105°)$ представим угол $105°$ в виде суммы двух стандартных углов: $105° = 60° + 45°$.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

В нашем случае $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$.

$sin(105°) = sin(60° + 45°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°)$.

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60°) = \frac{1}{2}$, $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$sin(105°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

2) cos105°

Аналогично, представим угол $105°$ как $60° + 45°$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos(60°)cos(45°) - sin(60°)sin(45°)$.

Подставляем известные значения:

$cos(105°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

3) sin165°

Представим угол $165°$ в виде суммы углов, например, $165° = 120° + 45°$.

Используем формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

$sin(165°) = sin(120° + 45°) = sin(120°)cos(45°) + cos(120°)sin(45°)$.

Найдем значения синуса и косинуса для $120°$ с помощью формул приведения:

$sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$cos(120°) = cos(180° - 60°) = -cos(60°) = -\frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$sin(165°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

4) cos165°

Используем то же представление угла: $165° = 120° + 45°$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(165°) = cos(120° + 45°) = cos(120°)cos(45°) - sin(120°)sin(45°)$.

Подставим значения, найденные в предыдущем пункте ($sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(120°) = -\frac{1}{2}$) и известные значения для $45°$:

$cos(165°) = (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.