Страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

5.5. Какую геометрическую фигуру образует множество точек плоскости, которое задается неравенством:

1) $(x + 2)^2 + y^2 \ge 5;$

2) $x^2 + (y - 2)^2 \le 7;$

3) $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 \ge 4;$

4) $x^2 + (y + 1)^2 \le 8?$

1) Неравенство $(x + 2)^2 + y^2 \geq 5$ можно представить в стандартном виде $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 \geq (\sqrt{5})^2$. Уравнение $(x + 2)^2 + y^2 = 5$ задает окружность с центром в точке $O(-2; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$. Знак неравенства $\geq$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки, квадрат расстояния от которых до центра $O(-2; 0)$ не меньше, чем $R^2=5$. Таким образом, фигура представляет собой все точки на самой окружности и все точки вне ее.
Ответ: Множество всех точек плоскости, лежащих на окружности с центром в точке $(-2; 0)$ и радиусом $\sqrt{5}$ или вне ее.

2) Неравенство $x^2 + (y - 2)^2 \leq 7$ можно представить в стандартном виде $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 \leq (\sqrt{7})^2$. Уравнение $x^2 + (y - 2)^2 = 7$ задает окружность с центром в точке $O(0; 2)$ и радиусом $R = \sqrt{7}$. Знак неравенства $\leq$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки, квадрат расстояния от которых до центра $O(0; 2)$ не больше, чем $R^2=7$. Эта фигура является кругом, то есть окружностью и всеми точками внутри нее.
Ответ: Круг с центром в точке $(0; 2)$ и радиусом $\sqrt{7}$.

3) Неравенство $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 \geq 4$ можно представить в стандартном виде $(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 \geq 2^2$. Уравнение $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ задает окружность с центром в точке $O(-2; 2)$ и радиусом $R = 2$. Знак неравенства $\geq$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки, квадрат расстояния от которых до центра $O(-2; 2)$ не меньше, чем $R^2=4$. Таким образом, фигура представляет собой все точки на самой окружности и все точки вне ее.
Ответ: Множество всех точек плоскости, лежащих на окружности с центром в точке $(-2; 2)$ и радиусом $2$ или вне ее.

4) Неравенство $x^2 + (y + 1)^2 \leq 8$ можно представить в стандартном виде $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 \leq (\sqrt{8})^2$. Уравнение $x^2 + (y + 1)^2 = 8$ задает окружность с центром в точке $O(0; -1)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Знак неравенства $\leq$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки, квадрат расстояния от которых до центра $O(0; -1)$ не больше, чем $R^2=8$. Эта фигура является кругом.
Ответ: Круг с центром в точке $(0; -1)$ и радиусом $\sqrt{8}$ (или $2\sqrt{2}$).

5.6. Множество решений неравенства $x^2 - xy + y^2 \le 5$ изображается

некоторой фигурой с границей $L$. Пересекает ли линию $L$ от-

резок, концами которого служат точки $A(5; 1)$ и $B(-1; 1)$?

Множество решений неравенства $x^2 - xy + y^2 \le 5$ представляет собой фигуру, ограниченную линией $L$, которая задается уравнением $x^2 - xy + y^2 = 5$. Эта линия является эллипсом, а фигура — это сам эллипс и область внутри него.

Чтобы определить, пересекает ли отрезок AB линию $L$, нужно проверить расположение его конечных точек $A(5; 1)$ и $B(-1; 1)$ относительно этой фигуры. Точка $(x_0; y_0)$ лежит:

• внутри фигуры, если $x_0^2 - x_0y_0 + y_0^2 < 5$;
• на границе фигуры (на линии $L$), если $x_0^2 - x_0y_0 + y_0^2 = 5$;
• вне фигуры, если $x_0^2 - x_0y_0 + y_0^2 > 5$.

Проверим положение точки A(5; 1). Подставим ее координаты в левую часть выражения:
$5^2 - (5)(1) + 1^2 = 25 - 5 + 1 = 21$.
Поскольку $21 > 5$, точка A находится вне фигуры.

Проверим положение точки B(-1; 1). Подставим ее координаты в левую часть выражения:
$(-1)^2 - (-1)(1) + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Поскольку $3 < 5$, точка B находится внутри фигуры.

Фигура, ограниченная линией $L$, является замкнутой и непрерывной. Так как одна конечная точка отрезка AB (точка A) лежит вне этой фигуры, а другая (точка B) — внутри, то отрезок, соединяющий эти точки, по необходимости должен пересечь границу фигуры, то есть линию $L$.

Ответ: Да, пересекает.

5.7. Напишите неравенство, множество решений которого изображается:

1) кругом с центром в точке (1; 2) и длиной радиуса, равной 5;

$(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 25$

2) множеством точек вне круга с центром в точке (-2; 2) и длиной радиуса, равной 7;

$(x+2)^2 + (y-2)^2 > 49$

3) кругом, не включая окружность — границу круга, с центром в точке (0; 2,5) и длиной радиуса, равной 3;

$x^2 + (y-2.5)^2 < 9$

4) множеством точек вне круга, не включая окружность — границу круга, с центром в точке с координатами (3,5; 0) и длиной радиуса, равной 1.

$(x-3.5)^2 + y^2 > 1$

1) Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Круг — это множество точек, расстояние от которых до центра не превышает радиус. Следовательно, неравенство, описывающее круг с центром в точке $(1; 2)$ и радиусом $5$, включая его границу, имеет вид $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 5^2$.
Ответ: $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 25$.

2) Множество точек вне круга — это точки, расстояние от которых до центра больше или равно радиусу. Для круга с центром в точке $(-2; 2)$ и радиусом $7$ соответствующее неравенство будет $(x - (-2))^2 + (y-2)^2 \ge 7^2$.
Ответ: $(x+2)^2 + (y-2)^2 \ge 49$.

3) Круг, не включающий окружность (границу), описывается строгим неравенством. Это означает, что расстояние от любой точки множества до центра строго меньше радиуса. Для круга с центром в точке $(0; 2,5)$ и радиусом $3$ неравенство будет $(x-0)^2 + (y-2,5)^2 < 3^2$.
Ответ: $x^2 + (y-2,5)^2 < 9$.

4) Множество точек вне круга, не включая его границу, — это точки, расстояние от которых до центра строго больше радиуса. Для круга с центром в точке $(3,5; 0)$ и радиусом $1$ неравенство будет иметь вид $(x-3,5)^2 + (y-0)^2 > 1^2$.
Ответ: $(x-3,5)^2 + y^2 > 1$.

5.8. Какое множество точек на координатной плоскости задано неравенством:

1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y \ge 4$;

2) $x^2 + y^2 - 6x - 4y \ge 0$;

3) $x^2 + y^2 - x + 4y \ge 1$;

4) $x^2 + y^2 - 2x - y \le 0?$

Для определения множества точек, заданного каждым неравенством, мы приведем его к каноническому виду неравенства для окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 \ge R^2$ (точки на и вне окружности) или $(x-a)^2 + (y-b)^2 \le R^2$ (точки на и внутри окружности, то есть круг). Это достигается методом выделения полного квадрата.

1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y \ge 4$

Сгруппируем члены с $x$ и $y$ и перенесем свободный член вправо:

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) \ge 4$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого прибавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при $x$ и $y$:

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 2y + 1) - 1 \ge 4$

Свернем полные квадраты:

$(x+2)^2 + (y-1)^2 - 5 \ge 4$

Перенесем константу в правую часть:

$(x+2)^2 + (y-1)^2 \ge 9$

Это можно записать в виде $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 \ge 3^2$.

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(-2, 1)$ не меньше, чем $3$. Геометрически это внешняя часть круга, включая его границу — окружность.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(-2, 1)$ и радиусом $3$, а также все точки вне этой окружности.

2) $x^2 + y^2 - 6x - 4y \ge 0$

Сгруппируем члены с $x$ и $y$:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) \ge 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 \ge 0$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 - 13 \ge 0$

Перенесем константу вправо:

$(x-3)^2 + (y-2)^2 \ge 13$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(3, 2)$ не меньше, чем $\sqrt{13}$. Это внешняя часть круга с центром в $C(3, 2)$ и радиусом $R = \sqrt{13}$, включая его границу.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(3, 2)$ и радиусом $\sqrt{13}$, а также все точки вне этой окружности.

3) $x^2 + y^2 - x + 4y \ge 1$

Сгруппируем члены:

$(x^2 - x) + (y^2 + 4y) \ge 1$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - x + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + (y^2 + 4y + 4) - 4 \ge 1$

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y+2)^2 - 4 \ge 1$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y+2)^2 \ge 1 + 4 + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - (-2))^2 \ge \frac{21}{4}$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(\frac{1}{2}, -2)$ не меньше, чем $\sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$. Это внешняя часть круга, включая его границу.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(\frac{1}{2}, -2)$ и радиусом $\frac{\sqrt{21}}{2}$, а также все точки вне этой окружности.

4) $x^2 + y^2 - 2x - y \le 0$

Сгруппируем члены:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - y) \le 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - y + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 \le 0$

$(x-1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - 1 - \frac{1}{4} \le 0$

$(x-1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{5}{4}$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(1, \frac{1}{2})$ не больше, чем $\sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Геометрически это круг (включая границу) с центром в $C(1, \frac{1}{2})$ и радиусом $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Множество точек, образующих круг с центром в точке $(1, \frac{1}{2})$ и радиусом $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

5.9. Запишите неравенство, множество решений которого изображается точками координатной плоскости, лежащими выше прямой, проходящей через точки:

1) A $(0; 0)$ и B $(2; 2)$;

2) A $(-1; 2)$ и B $(2; -3)$;

3) A $(3; -2)$ и B $(-2; 3)$;

4) A $(-4; -1)$ и B $(-2; -1)$.

Для того чтобы записать неравенство, множество решений которого — это точки координатной плоскости, лежащие выше некоторой прямой, нужно выполнить два шага:
1. Найти уравнение этой прямой в виде $y = kx + b$.
2. Записать неравенство $y > kx + b$.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, можно найти, вычислив сначала угловой коэффициент $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (если $x_1 \neq x_2$), а затем свободный член $b$, подставив координаты одной из точек в уравнение $y = kx+b$.
Если $y_1 = y_2$, прямая является горизонтальной, и ее уравнение $y = y_1$.

1) Даны точки $A(0; 0)$ и $B(2; 2)$.
Найдем уравнение прямой. Сначала вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$.
Уравнение прямой имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, то есть $y = x + b$.
Подставим координаты точки $A(0; 0)$ для нахождения $b$:
$0 = 0 + b$, откуда $b = 0$.
Уравнение прямой: $y = x$.
Точки, лежащие выше этой прямой, удовлетворяют неравенству $y > x$.
Ответ: $y > x$.

2) Даны точки $A(-1; 2)$ и $B(2; -3)$.
Найдем уравнение прямой. Вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{-3 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-5}{3}$.
Уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{5}{3}x + b$.
Подставим координаты точки $A(-1; 2)$ для нахождения $b$:
$2 = -\frac{5}{3}(-1) + b$
$2 = \frac{5}{3} + b$
$b = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$.
Уравнение прямой: $y = -\frac{5}{3}x + \frac{1}{3}$.
Точки, лежащие выше этой прямой, удовлетворяют неравенству $y > -\frac{5}{3}x + \frac{1}{3}$.
Ответ: $y > -\frac{5}{3}x + \frac{1}{3}$.

3) Даны точки $A(3; -2)$ и $B(-2; 3)$.
Найдем уравнение прямой. Вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{3 - (-2)}{-2 - 3} = \frac{5}{-5} = -1$.
Уравнение прямой имеет вид $y = -x + b$.
Подставим координаты точки $A(3; -2)$ для нахождения $b$:
$-2 = -1 \cdot 3 + b$
$-2 = -3 + b$
$b = 1$.
Уравнение прямой: $y = -x + 1$.
Точки, лежащие выше этой прямой, удовлетворяют неравенству $y > -x + 1$.
Ответ: $y > -x + 1$.

4) Даны точки $A(-4; -1)$ и $B(-2; -1)$.
У обеих точек одинаковая координата $y = -1$. Это означает, что прямая, проходящая через них, является горизонтальной.
Уравнение такой прямой: $y = -1$.
Точки, лежащие выше этой прямой, это все точки, у которых координата $y$ больше, чем $-1$.
Следовательно, искомое неравенство: $y > -1$.
Ответ: $y > -1$.

1. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы синуса и косинуса суммы и разности этих углов?

2. Назовите формулы сложения.

1. Для каких углов α и β можно использовать формулы синуса и косинуса суммы и разности этих углов?

Формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов, также известные как формулы сложения, справедливы для любых действительных значений углов $ \alpha $ и $ \beta $. Это связано с тем, что области определения тригонометрических функций синус ($ \sin $) и косинус ($ \cos $) — это множество всех действительных чисел ($ \mathbb{R} $). Следовательно, нет никаких ограничений на значения углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых эти формулы могут быть применены.

Ответ: Формулы синуса и косинуса суммы и разности можно использовать для любых углов $ \alpha $ и $ \beta $.

2. Назовите формулы сложения.

Формулы сложения в тригонометрии — это тождества, которые выражают тригонометрические функции от суммы или разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Синус суммы и разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Косинус суммы и разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Эти формулы часто записывают в компактной форме:

$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $

$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $

Существуют также формулы сложения для тангенса и котангенса, которые выводятся из формул для синуса и косинуса.

Ответ: Формулы сложения для синуса и косинуса: $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ и $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $.

24.1. Упростите выражение:

1) $\sin(60^\circ + \alpha) + \sin(\alpha - 60^\circ)$;

2) $\cos(60^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 60^\circ)$;

3) $\sin(30^\circ + \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha)$;

4) $\cos(30^\circ + \alpha) - \cos(30^\circ - \alpha)$;

5) $\cos2\phi \cos3\phi + \sin2\phi \sin3\phi$;

6) $\sin\gamma \cos2\gamma - \cos\gamma \sin2\gamma$;

7) $\cos\frac{1}{3}\alpha \cos\frac{2}{3}\alpha - \sin\frac{1}{3}\alpha \sin\frac{2}{3}\alpha$;

8) $\sin\frac{1}{2}\gamma \cos\frac{3}{2}\gamma + \cos\frac{1}{2}\gamma \sin\frac{3}{2}\gamma$.

1) Для упрощения выражения $\sin(60° + \alpha) + \sin(\alpha - 60°)$ воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 60° + \alpha$ и $y = \alpha - 60°$. Тогда полусумма аргументов равна $\frac{(60° + \alpha) + (\alpha - 60°)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$, а полуразность равна $\frac{(60° + \alpha) - (\alpha - 60°)}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$. Подставляя в формулу, получаем $2 \sin(\alpha) \cos(60°)$. Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, имеем $2 \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$.

2) Для выражения $\cos(60° + \alpha) + \cos(\alpha - 60°)$ применим формулу суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 60° + \alpha$ и $y = \alpha - 60°$. Полусумма аргументов: $\frac{(60° + \alpha) + (\alpha - 60°)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$. Полуразность аргументов: $\frac{(60° + \alpha) - (\alpha - 60°)}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$. Выражение принимает вид $2 \cos(\alpha) \cos(60°)$. Так как $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем $2 \cos(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

3) Для выражения $\sin(30° + \alpha) - \sin(30° - \alpha)$ воспользуемся формулой разности синусов: $\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos(\frac{x+y}{2}) \sin(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 30° + \alpha$ и $y = 30° - \alpha$. Полусумма аргументов: $\frac{(30° + \alpha) + (30° - \alpha)}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$. Полуразность аргументов: $\frac{(30° + \alpha) - (30° - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$. Подставляя в формулу, получаем $2 \cos(30°) \sin(\alpha)$. Зная, что $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, имеем $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha)$.
Ответ: $\sqrt{3}\sin(\alpha)$.

4) Для выражения $\cos(30° + \alpha) - \cos(30° - \alpha)$ применим формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2 \sin(\frac{x+y}{2}) \sin(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 30° + \alpha$ и $y = 30° - \alpha$. Полусумма аргументов: $\frac{(30° + \alpha) + (30° - \alpha)}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$. Полуразность аргументов: $\frac{(30° + \alpha) - (30° - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$. Выражение принимает вид $-2 \sin(30°) \sin(\alpha)$. Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$.

5) Выражение $\cos(2\phi)\cos(3\phi) + \sin(2\phi)\sin(3\phi)$ соответствует правой части формулы косинуса разности: $\cos(y-x) = \cos(y)\cos(x) + \sin(y)\sin(x)$. Пусть $y=3\phi$ и $x=2\phi$. Тогда выражение равно $\cos(3\phi - 2\phi) = \cos(\phi)$. Альтернативно, можно использовать $\cos(x-y)$, что даст $\cos(2\phi-3\phi) = \cos(-\phi) = \cos(\phi)$, так как косинус - четная функция.
Ответ: $\cos(\phi)$.

6) Выражение $\sin(\gamma)\cos(2\gamma) - \cos(\gamma)\sin(2\gamma)$ соответствует формуле синуса разности: $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$. В данном случае $x=\gamma$ и $y=2\gamma$. Тогда выражение равно $\sin(\gamma - 2\gamma) = \sin(-\gamma)$. Поскольку функция синус является нечетной, $\sin(-\gamma) = -\sin(\gamma)$.
Ответ: $-\sin(\gamma)$.

7) Выражение $\cos(\frac{1}{3}\alpha)\cos(\frac{2}{3}\alpha) - \sin(\frac{1}{3}\alpha)\sin(\frac{2}{3}\alpha)$ соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$. В данном случае $x=\frac{1}{3}\alpha$ и $y=\frac{2}{3}\alpha$. Тогда выражение равно $\cos(\frac{1}{3}\alpha + \frac{2}{3}\alpha) = \cos(\frac{3}{3}\alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

8) Выражение $\sin(\frac{1}{2}\gamma)\cos(\frac{3}{2}\gamma) + \cos(\frac{1}{2}\gamma)\sin(\frac{3}{2}\gamma)$ соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$. В данном случае $x=\frac{1}{2}\gamma$ и $y=\frac{3}{2}\gamma$. Тогда выражение равно $\sin(\frac{1}{2}\gamma + \frac{3}{2}\gamma) = \sin(\frac{4}{2}\gamma) = \sin(2\gamma)$.
Ответ: $\sin(2\gamma)$.

24.2. Найдите значение выражения:

1) $\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ$;

2) $\cos 50^\circ \cos 5^\circ + \sin 50^\circ \sin 5^\circ$;

3) $\sin 71^\circ \cos 11^\circ - \cos 71^\circ \sin 11^\circ$;

4) $\cos 25^\circ \cos 65^\circ - \sin 25^\circ \sin 65^\circ$.

1) Для вычисления выражения $sin20^\circ cos10^\circ + cos20^\circ sin10^\circ$ используется формула синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$. В данном случае $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$sin(20^\circ + 10^\circ) = sin(30^\circ)$.
Значение синуса 30 градусов является табличным: $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для вычисления выражения $cos50^\circ cos5^\circ + sin50^\circ sin5^\circ$ используется формула косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$. В данном случае $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 5^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$cos(50^\circ - 5^\circ) = cos(45^\circ)$.
Значение косинуса 45 градусов является табличным: $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Для вычисления выражения $sin71^\circ cos11^\circ - cos71^\circ sin11^\circ$ используется формула синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$. В данном случае $\alpha = 71^\circ$ и $\beta = 11^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$sin(71^\circ - 11^\circ) = sin(60^\circ)$.
Значение синуса 60 градусов является табличным: $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Для вычисления выражения $cos25^\circ cos65^\circ - sin25^\circ sin65^\circ$ используется формула косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$. В данном случае $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 65^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$cos(25^\circ + 65^\circ) = cos(90^\circ)$.
Значение косинуса 90 градусов является табличным: $cos(90^\circ) = 0$.
Ответ: $0$.

24.3. Вычислите:

1) $\cos \frac{8\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \sin \frac{8\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5}$;

2) $\cos \frac{1}{10}\pi \cdot \cos \frac{2}{5}\pi - \sin \frac{1}{10}\pi \cdot \sin \frac{2}{5}\pi$;

3) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{12}$;

4) $\sin \frac{1}{9}\pi \cdot \cos \frac{4}{9}\pi - \cos \frac{1}{9}\pi \cdot \sin \frac{4}{9}\pi$.

1)

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{8\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Применим формулу:
$cos\frac{8\pi}{15} \cdot cos\frac{\pi}{5} + sin\frac{8\pi}{15} \cdot sin\frac{\pi}{5} = cos(\frac{8\pi}{15} - \frac{\pi}{5})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 15: $\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15}$.
Вычислим разность углов: $\frac{8\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, выражение равно $cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{1}{10}\pi$ и $\beta = \frac{2}{5}\pi$.
Применим формулу:
$cos\frac{1}{10}\pi \cdot cos\frac{2}{5}\pi - sin\frac{1}{10}\pi \cdot sin\frac{2}{5}\pi = cos(\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10: $\frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10}$.
Вычислим сумму углов: $\frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, выражение равно $cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{2})$ равно 0.
Ответ: 0.

3)

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
Применим формулу:
$sin\frac{\pi}{6} \cdot cos\frac{\pi}{12} + cos\frac{\pi}{6} \cdot sin\frac{\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}$.
Вычислим сумму углов: $\frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, выражение равно $sin(\frac{\pi}{4})$.
Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)

Данное выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{1}{9}\pi$ и $\beta = \frac{4}{9}\pi$.
Применим формулу:
$sin\frac{1}{9}\pi \cdot cos\frac{4}{9}\pi - cos\frac{1}{9}\pi \cdot sin\frac{4}{9}\pi = sin(\frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{9})$.
Вычислим разность углов: $\frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{9} = -\frac{3\pi}{9} = -\frac{\pi}{3}$.
Таким образом, выражение равно $sin(-\frac{\pi}{3})$.
Используя свойство нечетности синуса, $sin(-x) = -sin(x)$, получаем: $sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение $sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, искомое значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

24.4. Известно, что $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти и $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = \frac{1}{3}$.

Вычислите:

1) $\sin(\alpha + \beta)$;

2) $\sin(\alpha - \beta)$;

3) $\cos(\alpha + \beta)$;

4) $\cos(\alpha - \beta)$.

Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в I четверти, их синусы и косинусы являются положительными числами.

По условию задачи нам известно, что $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\beta = \frac{1}{3}$.

Для решения нам понадобятся значения $\cos\alpha$ и $\sin\beta$. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

1. Найдем $\cos\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$

Так как $\alpha$ — угол I четверти, $\cos\alpha > 0$, следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Найдем $\sin\beta$:

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta$

$\sin^2\beta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$

Так как $\beta$ — угол I четверти, $\sin\beta > 0$, следовательно, $\sin\beta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь, имея все четыре значения ($\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos\beta = \frac{1}{3}$), мы можем вычислить требуемые выражения.

1) sin(α + β)

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{15} + \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 + 8\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{3 + 8\sqrt{2}}{15}$.

2) sin(α - β)

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} - \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{15} - \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 - 8\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{3 - 8\sqrt{2}}{15}$.

3) cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{15} - \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 - 6\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{4 - 6\sqrt{2}}{15}$.

4) cos(α - β)

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{15} + \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}$.

24.5. Используя формулы сложения, найдите значение выражения:

1) $sin105^\circ$;

2) $cos105^\circ$;

3) $sin165^\circ$;

4) $cos165^\circ$.

1) sin105°

Для нахождения значения $sin(105°)$ представим угол $105°$ в виде суммы двух стандартных углов: $105° = 60° + 45°$.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

В нашем случае $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$.

$sin(105°) = sin(60° + 45°) = sin(60°)cos(45°) + cos(60°)sin(45°)$.

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60°) = \frac{1}{2}$, $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$sin(105°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

2) cos105°

Аналогично, представим угол $105°$ как $60° + 45°$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos(60°)cos(45°) - sin(60°)sin(45°)$.

Подставляем известные значения:

$cos(105°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

3) sin165°

Представим угол $165°$ в виде суммы углов, например, $165° = 120° + 45°$.

Используем формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

$sin(165°) = sin(120° + 45°) = sin(120°)cos(45°) + cos(120°)sin(45°)$.

Найдем значения синуса и косинуса для $120°$ с помощью формул приведения:

$sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$cos(120°) = cos(180° - 60°) = -cos(60°) = -\frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$sin(165°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

4) cos165°

Используем то же представление угла: $165° = 120° + 45°$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(165°) = cos(120° + 45°) = cos(120°)cos(45°) - sin(120°)sin(45°)$.

Подставим значения, найденные в предыдущем пункте ($sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(120°) = -\frac{1}{2}$) и известные значения для $45°$:

$cos(165°) = (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.