Страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6.13. Постройте треугольник, заданный системой неравенств:

1)

$\begin{cases} 2y - 5 \le 3x, \\ 2x + y \le 6, \\ y + 3 \ge 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 3 \le 4x, \\ 3x + y \le 7, \\ y + 2 \ge 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} y - 4 \le -3x, \\ 2x - y \le 6, \\ x \ge -4. \end{cases}$

1)

Чтобы построить треугольник, заданный системой неравенств, сначала рассмотрим граничные условия, заменив знаки неравенства на знаки равенства. Это даст нам уравнения прямых, которые являются сторонами треугольника.

Система неравенств:

$ \begin{cases} 2y - 5 \le 3x \\ 2x + y \le 6 \\ y + 3 \ge 0 \end{cases} $

1. Преобразуем каждое неравенство в уравнение прямой и выразим $y$ через $x$:

- $2y - 5 = 3x \implies 2y = 3x + 5 \implies y = 1.5x + 2.5$

- $2x + y = 6 \implies y = -2x + 6$

- $y + 3 = 0 \implies y = -3$

2. Теперь найдем вершины треугольника, которые являются точками пересечения этих прямых.

- Вершина A (пересечение прямых $y = 1.5x + 2.5$ и $y = -2x + 6$):

$1.5x + 2.5 = -2x + 6$

$3.5x = 3.5$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в любое из уравнений: $y = -2(1) + 6 = 4$.

Координаты вершины A: $(1, 4)$.

- Вершина B (пересечение прямых $y = 1.5x + 2.5$ и $y = -3$):

$-3 = 1.5x + 2.5$

$1.5x = -5.5$

$x = -5.5 / 1.5 = -11/3$

Координаты вершины B: $(-11/3, -3)$.

- Вершина C (пересечение прямых $y = -2x + 6$ и $y = -3$):

$-3 = -2x + 6$

$2x = 9$

$x = 4.5 = 9/2$

Координаты вершины C: $(9/2, -3)$.

3. Область, удовлетворяющая системе неравенств ($y \le 1.5x + 2.5$, $y \le -2x + 6$, $y \ge -3$), представляет собой треугольник с вершинами A, B и C.

Графическое представление треугольника:

Ответ: Треугольник, заданный системой неравенств, имеет вершины в точках A(1, 4), B(-11/3, -3) и C(9/2, -3).

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y - 3 \le 4x \\ 3x + y \le 7 \\ y + 2 \ge 0 \end{cases} $

1. Запишем уравнения прямых, ограничивающих область:

- $y - 3 = 4x \implies y = 4x + 3$

- $3x + y = 7 \implies y = -3x + 7$

- $y + 2 = 0 \implies y = -2$

2. Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих прямых.

- Вершина A (пересечение $y = 4x + 3$ и $y = -3x + 7$):

$4x + 3 = -3x + 7$

$7x = 4 \implies x = 4/7$

$y = 4(4/7) + 3 = 16/7 + 21/7 = 37/7$

Координаты вершины A: $(4/7, 37/7)$.

- Вершина B (пересечение $y = 4x + 3$ и $y = -2$):

$-2 = 4x + 3$

$4x = -5 \implies x = -5/4$

Координаты вершины B: $(-5/4, -2)$.

- Вершина C (пересечение $y = -3x + 7$ и $y = -2$):

$-2 = -3x + 7$

$3x = 9 \implies x = 3$

Координаты вершины C: $(3, -2)$.

3. Искомый треугольник ограничен прямыми и имеет вершины A, B, C. Область решений удовлетворяет условиям: $y \le 4x+3$, $y \le -3x+7$ и $y \ge -2$.

Графическое представление треугольника:

Ответ: Треугольник, заданный системой неравенств, имеет вершины в точках A(4/7, 37/7), B(-5/4, -2) и C(3, -2).

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y - 4 \le -3x \\ 2x - y \le 6 \\ x \ge -4 \end{cases} $

1. Запишем уравнения прямых, ограничивающих область:

- $y - 4 = -3x \implies y = -3x + 4$

- $2x - y = 6 \implies y = 2x - 6$

- $x = -4$ (это вертикальная прямая)

2. Найдем вершины треугольника как точки пересечения этих прямых.

- Вершина A (пересечение $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 6$):

$-3x + 4 = 2x - 6$

$5x = 10 \implies x = 2$

$y = 2(2) - 6 = -2$

Координаты вершины A: $(2, -2)$.

- Вершина B (пересечение $y = -3x + 4$ и $x = -4$):

$x = -4$

$y = -3(-4) + 4 = 12 + 4 = 16$

Координаты вершины B: $(-4, 16)$.

- Вершина C (пересечение $y = 2x - 6$ и $x = -4$):

$x = -4$

$y = 2(-4) - 6 = -8 - 6 = -14$

Координаты вершины C: $(-4, -14)$.

3. Искомый треугольник ограничен прямыми и имеет вершины A, B, C. Область решений удовлетворяет условиям: $y \le -3x+4$, $y \ge 2x-6$ и $x \ge -4$.

Графическое представление треугольника:

Ответ: Треугольник, заданный системой неравенств, имеет вершины в точках A(2, -2), B(-4, 16) и C(-4, -14).

6.14. Задайте системой неравенств кольцо, если его ограничивают окружности, которые имеют центр в точке:

1) A(2; 5) и их радиусы равны 2 и 4;$
4 \le (x-2)^2 + (y-5)^2 \le 16$

2) A(-1; 2) и их радиусы равны 1 и 3;$
1 \le (x+1)^2 + (y-2)^2 \le 9$

3) A(-2; -1) и их радиусы равны $\sqrt{3}$ и $\sqrt{6}$;$
3 \le (x+2)^2 + (y+1)^2 \le 6$

4) A(1,5; -2) и их радиусы равны $\sqrt{5}$ и $2\sqrt{2}$.$
5 \le (x-1.5)^2 + (y+2)^2 \le 8$

Кольцо представляет собой область, заключенную между двумя концентрическими окружностями. Если центр этих окружностей находится в точке $A(x_0, y_0)$, а их радиусы равны $R_1$ и $R_2$ (при $R_1 < R_2$), то множество точек $(x, y)$, принадлежащих этому кольцу, задается двойным неравенством: $R_1^2 < (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R_2^2$. Мы используем эту общую формулу для решения каждого из подпунктов.

1) В данном случае центр окружностей находится в точке $A(2; 5)$, поэтому $x_0 = 2$ и $y_0 = 5$. Радиусы равны $R_1 = 2$ и $R_2 = 4$. Найдем квадраты радиусов: $R_1^2 = 2^2 = 4$ и $R_2^2 = 4^2 = 16$. Подставив эти значения в общую формулу, получаем систему неравенств, задающую кольцо.
Ответ: $4 < (x - 2)^2 + (y - 5)^2 < 16$.

2) Центр окружностей находится в точке $A(-1; 2)$, следовательно $x_0 = -1$ и $y_0 = 2$. Радиусы равны $R_1 = 1$ и $R_2 = 3$. Квадраты радиусов: $R_1^2 = 1^2 = 1$ и $R_2^2 = 3^2 = 9$. Подставляем значения в формулу: $1 < (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 < 9$.
Ответ: $1 < (x + 1)^2 + (y - 2)^2 < 9$.

3) Центр окружностей находится в точке $A(-2; -1)$, откуда $x_0 = -2$ и $y_0 = -1$. Радиусы равны $R_1 = \sqrt{3}$ и $R_2 = \sqrt{6}$. Квадраты радиусов: $R_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ и $R_2^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$. Подставляем значения в формулу: $3 < (x - (-2))^2 + (y - (-1))^2 < 6$.
Ответ: $3 < (x + 2)^2 + (y + 1)^2 < 6$.

4) Центр окружностей находится в точке $A(1,5; -2)$, значит $x_0 = 1,5$ и $y_0 = -2$. Радиусы равны $R_1 = \sqrt{5}$ и $R_2 = 2\sqrt{2}$. Квадраты радиусов: $R_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ и $R_2^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Подставляем значения в формулу: $5 < (x - 1,5)^2 + (y - (-2))^2 < 8$.
Ответ: $5 < (x - 1,5)^2 + (y + 2)^2 < 8$.

6.15. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное системой неравенств:

1) $\begin{cases} |x| < 2, \\ x^2 + y^2 &\le 9; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} |x| > 1, \\ x^2 + y^2 &\le 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} |x| < 3, \\ x^2 + y^2 &\ge 4; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} |x| < 4, \\ x^2 + y^2 &\ge 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} |y| < 2, \\ x^2 + y^2 &> 8; \end{cases}$ 6) $\begin{cases} |y| < 1.5, \\ x^2 + y^2 &< 9; \end{cases}$

7) $\begin{cases} |y| < 4.5, \\ x^2 + y^2 &\ge 2.89; \end{cases}$ 8) $\begin{cases} |y| > 2, \\ x^2 + y^2 &< 16. \end{cases}$

1)

Первое неравенство в системе, $|x| < 2$, эквивалентно двойному неравенству $-2 < x < 2$. Это множество точек на координатной плоскости, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x=-2$ и $x=2$. Границы полосы (сами прямые) не включаются в множество, поэтому на графике они будут изображены пунктирными линиями.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{9}=3$. Это множество включает в себя все точки внутри окружности и на самой окружности. Граница круга будет сплошной линией.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 3, которая находится внутри вертикальной полосы от -2 до 2.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

2)

Неравенство $|x| > 1$ эквивалентно совокупности неравенств $x < -1$ или $x > 1$. Это множество точек, лежащих левее прямой $x=-1$ и правее прямой $x=1$. Границы (прямые) не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt{4}=2$. Граница круга включается.
Решением системы является пересечение этих множеств: две части круга радиуса 2, которые находятся в областях $x<-1$ и $x>1$.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

3)

Неравенство $|x| < 3$ задает открытую вертикальную полосу $-3 < x < 3$. Границы $x=-3$ и $x=3$ не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ задает множество точек, лежащих вне или на границе окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{4}=2$. Граница (окружность) включается.
Решением системы является часть вертикальной полосы, из которой удален открытый круг радиуса 2. Граница этого круга является частью решения.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

4)

Задача аналогична предыдущей. Неравенство $|x| < 4$ задает открытую вертикальную полосу $-4 < x < 4$.
Неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает область вне или на границе окружности с радиусом $R=\sqrt{1}=1$.
Решением является вертикальная полоса от -4 до 4, из которой удален открытый круг радиуса 1 с центром в начале координат. Граница круга (окружность) является частью решения.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

5)

Неравенство $|y| < 2$ задает открытую горизонтальную полосу $-2 < y < 2$. Границы $y=-2$ и $y=2$ не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 > 8$ задает область строго вне окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.83$. Граница окружности не включается.
Решением системы является часть горизонтальной полосы, из которой удален замкнутый круг радиуса $\sqrt{8}$. Все границы (и прямолинейные, и криволинейные) являются пунктирными.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

6)

Неравенство $|y| < 1.5$ задает открытую горизонтальную полосу $-1.5 < y < 1.5$. Границы не включаются.
Неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=3$. Граница включается.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, заключенная в горизонтальной полосе. Криволинейные границы будут сплошными, а прямолинейные — пунктирными.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

7)

Неравенство $|y| < 4.5$ задает открытую горизонтальную полосу $-4.5 < y < 4.5$.
Неравенство $x^2 + y^2 \ge 2.89$ задает область вне или на границе окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{2.89}=1.7$.
Решением является горизонтальная полоса от -4.5 до 4.5, из которой удален открытый круг радиуса 1.7. Граница круга (окружность) является частью решения и изображается сплошной линией, а границы полосы — пунктирными.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

8)

Неравенство $|y| > 2$ эквивалентно совокупности $y > 2$ или $y < -2$. Это область, лежащая выше прямой $y=2$ и ниже прямой $y=-2$.
Неравенство $x^2 + y^2 < 16$ задает открытый круг с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{16}=4$.
Решением является пересечение этих множеств: две части (сегмента) открытого круга, отрезанные прямыми $y=2$ и $y=-2$. Все границы итогового множества не включаются и изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Изображенное на рисунке множество точек.

6.16. Запишите систему неравенств, задающих на плоскости множество точек, показанных штриховкой на рисунке 17.

1)

$1 \le x^2 + y^2 \le 4$

2)

$x^2 + y^2 \le 16$

$x + y \le 4$

3)

$x^2 + y^2 \le 16$

$y \ge x^2$

Рис. 17

1) Заштрихованная область представляет собой кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат $O(0,0)$.
Радиус внутренней окружности $r_1=2$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$. Область находится вне этой окружности (включая границу), следовательно, $x^2 + y^2 \ge 4$.
Радиус внешней окружности $r_2=4$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 4^2 = 16$. Область находится внутри этой окружности (включая границу), следовательно, $x^2 + y^2 \le 16$.
Таким образом, множество точек описывается системой из двух неравенств, которую можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $4 \le x^2 + y^2 \le 16$.

2) Заштрихованная область ограничена окружностью и прямой.
Окружность имеет центр в начале координат $O(0,0)$ и радиус $r=4$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 16$. Поскольку область находится внутри окружности (включая границу), то выполняется неравенство $x^2 + y^2 \le 16$.
Прямая проходит через точки $(4,0)$ и $(0,4)$. Уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$, или $x+y=4$. Область находится ниже этой прямой (включая границу), следовательно, $y \le 4-x$, или $x+y \le 4$.
Область задается системой из этих двух неравенств.
Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ x+y \le 4 \end{cases}$.

3) Заштрихованная область ограничена окружностью и параболой.
Окружность имеет центр в начале координат $O(0,0)$ и радиус $r=4$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 16$. Область находится внутри окружности, включая границу, поэтому $x^2 + y^2 \le 16$.
Парабола имеет вершину в начале координат и ветви, направленные вверх. Стандартное уравнение такой параболы $y = ax^2$, где $a>0$. Судя по рисунку, она проходит через точки, близкие к $(\pm 1, 1)$ и $(\pm 2, 4)$. Наиболее вероятное уравнение - это $y=x^2$. Область находится над параболой (включая границу), следовательно, $y \ge x^2$.
Область задается системой из этих двух неравенств.
Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \ge x^2 \end{cases}$.

6.17. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданной системой неравенств:

1) $\begin{cases} y \ge |x|, \\ x + y \le 2; \end{cases}$2) $\begin{cases} y > 3 - |x|, \\ 3x - y \le 4; \end{cases}$3) $\begin{cases} y \ge 2 - |x|, \\ 0.5x + y \le 3; \end{cases}$4) $\begin{cases} y \ge 3 - |x|, \\ 3x - y \le 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x| \\ x + y \le 2 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge |x|$, задает множество точек, расположенных на и выше графика функции $y = |x|$. График $y = |x|$ представляет собой две прямые, $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке (0,0). Так как неравенство нестрогое, граница ($y = |x|$) включается в решение и изображается сплошной линией.

Второе неравенство, $x + y \le 2$, можно переписать как $y \le 2 - x$. Оно задает множество точек, расположенных на и ниже прямой $y = 2 - x$. Эта прямая проходит через точки (0, 2) и (2, 0). Так как неравенство нестрогое, граница ($y = 2 - x$) также включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно выше графика $y = |x|$ и ниже прямой $y = 2 - x$.

Найдем точки пересечения границ $y = |x|$ и $y = 2 - x$.
1. При $x \ge 0$: $x = 2 - x \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. Тогда $y = 1$. Точка пересечения (1, 1).
2. При $x < 0$: $-x = 2 - x \Rightarrow 0 = 2$. Это неверное равенство, значит, пересечений при $x < 0$ нет. Прямые $y = -x$ и $y = 2 - x$ параллельны.

Таким образом, искомое множество точек представляет собой неограниченную область, заключенную между лучами $y = x$ (при $x \le 1$) и $y = -x$ и ограниченную сверху прямой $y = 2 - x$. "Вершина" этой области находится в точке (1, 1).

Ответ: Заштрихованная область на графике.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y > 3 - |x| \\ 3x - y \le 4 \end{cases} $

Первое неравенство, $y > 3 - |x|$, задает множество точек, расположенных строго выше графика функции $y = 3 - |x|$. График $y = 3 - |x|$ — это "перевернутая галочка", смещенная на 3 единицы вверх по оси y, с вершиной в точке (0, 3). Так как неравенство строгое, граница ($y = 3-|x|$) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $3x - y \le 4$, можно переписать как $y \ge 3x - 4$. Оно задает множество точек, расположенных на и выше прямой $y = 3x - 4$. Прямая проходит через точки (0, -4) и (4/3, 0). Так как неравенство нестрогое, граница ($y = 3x - 4$) включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно выше графика $y = 3 - |x|$ и выше прямой $y = 3x - 4$. Это означает, что искомое множество точек лежит выше "верхней огибающей" этих двух графиков.

Найдем точку пересечения границ $y = 3 - x$ (правая ветвь "галочки", $x \ge 0$) и $y = 3x - 4$.
$3 - x = 3x - 4 \Rightarrow 7 = 4x \Rightarrow x = 7/4 = 1.75$.
Тогда $y = 3 - 1.75 = 1.25$. Точка пересечения (1.75, 1.25).
Левая ветвь "галочки" $y = 3 + x$ (при $x<0$) не пересекается с прямой $y = 3x - 4$ в области $x<0$.

Таким образом, граница искомой области состоит из частей двух графиков:

• Лучи $y=3-|x|$ (пунктиром) до точки их пересечения с прямой.
• Луч прямой $y=3x-4$ (сплошной) начиная с точки (1.75, 1.25).

Ответ: Заштрихованная область на графике.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 2 - |x| \\ 0.5x + y \le 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 2 - |x|$, задает множество точек на и выше "перевернутой галочки" $y = 2 - |x|$ с вершиной в точке (0, 2). Граница включается в решение и изображается сплошной линией.

Второе неравенство, $0.5x + y \le 3$, можно переписать как $y \le 3 - 0.5x$. Оно задает множество точек на и ниже прямой $y = 3 - 0.5x$. Прямая проходит через точки (0, 3) и (6, 0). Граница также сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, заключенная между графиком $y = 2 - |x|$ (нижняя граница) и прямой $y = 3 - 0.5x$ (верхняя граница).

Проверим, пересекаются ли графики.
1. При $x \ge 0$: $2 - x = 3 - 0.5x \Rightarrow -1 = 0.5x \Rightarrow x = -2$. Не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
2. При $x < 0$: $2 + x = 3 - 0.5x \Rightarrow 1.5x = 1 \Rightarrow x = 2/3$. Не удовлетворяет условию $x < 0$.
Графики не пересекаются. Можно проверить, что прямая $y = 3 - 0.5x$ всегда находится выше графика $y = 2 - |x|$.

Следовательно, решением является неограниченная область (полоса) между графиком $y = 2 - |x|$ и прямой $y = 3 - 0.5x$.

Ответ: Заштрихованная область на графике.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 3 - |x| \\ 3x - y \le 2 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 3 - |x|$, задает множество точек на и выше "перевернутой галочки" $y = 3 - |x|$ с вершиной в точке (0, 3). Граница включается в решение (сплошная линия).

Второе неравенство, $3x - y \le 2$, переписывается как $y \ge 3x - 2$. Оно задает множество точек на и выше прямой $y = 3x - 2$. Прямая проходит через точки (0, -2) и (2/3, 0). Граница также включается в решение (сплошная линия).

Решением системы является пересечение этих областей: точки, находящиеся одновременно выше $y = 3 - |x|$ и выше $y = 3x - 2$. Это область выше верхней огибающей двух графиков.

Найдем точку пересечения границ $y = 3 - x$ (при $x \ge 0$) и $y = 3x - 2$.
$3 - x = 3x - 2 \Rightarrow 5 = 4x \Rightarrow x = 5/4 = 1.25$.
Тогда $y = 3 - 1.25 = 1.75$. Точка пересечения (1.25, 1.75).
Левая ветвь $y = 3+x$ не пересекается с прямой $y = 3x - 2$ при $x<0$.

Граница искомой области — это составная линия, образованная лучами $y = 3+x$ (для $x<0$), отрезком $y = 3-x$ (от $x=0$ до $x=1.25$) и лучом $y = 3x - 2$ (для $x > 1.25$). Решением является неограниченная область выше этой границы.

Ответ: Заштрихованная область на графике.

25.4. Выразите через тригонометрические функции угла α:

1) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

2) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

3) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

4) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

5) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$;

6) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сложения и вычитания для тангенса и котангенса:

• $tg(x \pm y) = \frac{tg(x) \pm tg(y)}{1 \mp tg(x)tg(y)}$
• $ctg(x \pm y) = \frac{ctg(x)ctg(y) \mp 1}{ctg(y) \pm ctg(x)}$

А также значения тригонометрических функций для стандартных углов:

• $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$
• $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

1) tg($\frac{\pi}{4} + \alpha$);

Применяем формулу тангенса суммы $tg(x+y) = \frac{tg(x)+tg(y)}{1-tg(x)tg(y)}$ для $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$.

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{\pi}{4}) \cdot tg(\alpha)}$

Подставляем значение $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - 1 \cdot tg(\alpha)} = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

2) ctg($\frac{\pi}{4} - \alpha$);

Применяем формулу котангенса разности $ctg(x-y) = \frac{ctg(x)ctg(y)+1}{ctg(y)-ctg(x)}$ для $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$.

$ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{ctg(\frac{\pi}{4})ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - ctg(\frac{\pi}{4})}$

Подставляем значение $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 \cdot ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1} = \frac{ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1}$

Ответ: $\frac{ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1}$

3) tg($\frac{\pi}{3} - \alpha$);

Применяем формулу тангенса разности $tg(x-y) = \frac{tg(x)-tg(y)}{1+tg(x)tg(y)}$ для $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$tg(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{3}) - tg(\alpha)}{1 + tg(\frac{\pi}{3}) \cdot tg(\alpha)}$

Подставляем значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$:

$tg(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3} - tg(\alpha)}{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - tg(\alpha)}{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}$

4) ctg($\frac{\pi}{3} + \alpha$);

Применяем формулу котангенса суммы $ctg(x+y) = \frac{ctg(x)ctg(y)-1}{ctg(y)+ctg(x)}$ для $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$ctg(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{ctg(\frac{\pi}{3})ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + ctg(\frac{\pi}{3})}$

Подставляем значение $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$ctg(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}ctg(\alpha) + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}ctg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}ctg(\alpha)}$

5) tg($\frac{\pi}{6} + \alpha$);

Применяем формулу тангенса суммы $tg(x+y) = \frac{tg(x)+tg(y)}{1-tg(x)tg(y)}$ для $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.

$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{6}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{\pi}{6}) \cdot tg(\alpha)}$

Подставляем значение $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + tg(\alpha)}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}tg(\alpha)} = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - tg(\alpha)}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}{\sqrt{3} - tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}{\sqrt{3} - tg(\alpha)}$

6) ctg($\frac{\pi}{6} - \alpha$).

Применяем формулу котангенса разности $ctg(x-y) = \frac{ctg(x)ctg(y)+1}{ctg(y)-ctg(x)}$ для $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.

$ctg(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{ctg(\frac{\pi}{6})ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - ctg(\frac{\pi}{6})}$

Подставляем значение $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$:

$ctg(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}$

25.5. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\operatorname{tg} 20^{\circ}+\operatorname{tg} 25^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 25^{\circ}}$;

2) $\frac{\operatorname{tg} 70^{\circ}-\operatorname{tg} 10^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 70^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 10^{\circ}}$;

3) $\frac{\operatorname{tg} \frac{7 \pi}{24}-\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}{1+\operatorname{tg} \frac{7 \pi}{24} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}$;

4) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{20}+\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}}{1-\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{5}}$.

1) Данное выражение является формулой тангенса суммы двух углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
В нашем случае, $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 25^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$\frac{\text{tg}20^\circ + \text{tg}25^\circ}{1 - \text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}25^\circ} = \text{tg}(20^\circ + 25^\circ) = \text{tg}(45^\circ)$.
Значение $\text{tg}(45^\circ)$ равно 1.
Ответ: 1.

2) Это выражение соответствует формуле тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
В данном случае, $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$\frac{\text{tg}70^\circ - \text{tg}10^\circ}{1 + \text{tg}70^\circ \cdot \text{tg}10^\circ} = \text{tg}(70^\circ - 10^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$.
Значение $\text{tg}(60^\circ)$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Данное выражение также является формулой тангенса разности: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
Здесь углы заданы в радианах: $\alpha = \frac{7\pi}{24}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.
Найдем разность углов, приведя дроби к общему знаменателю 24:
$\alpha - \beta = \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{7\pi - 3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, выражение равно $\text{tg}(\frac{\pi}{6})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{6})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Это выражение соответствует формуле тангенса суммы: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
Углы заданы в радианах: $\alpha = \frac{\pi}{20}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Найдем сумму углов, приведя дроби к общему знаменателю 20:
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{20} + \frac{4\pi}{20} = \frac{\pi + 4\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, исходное выражение равно $\text{tg}(\frac{\pi}{4})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{4})$ равно 1.
Ответ: 1.

25.6. Упростите выражение:

1) $tg(\alpha + \beta) - tg\alpha \cdot tg\beta tg(\alpha + \beta)$;

2) $tg(\alpha + \beta) \cdot tg(\alpha - \beta) \cdot (1 - tg^2\alpha \cdot tg^2\beta)$.

1) Рассмотрим выражение $ \tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha \cdot \tg\beta \cdot \tg(\alpha + \beta) $.

Первый шаг — вынести общий множитель $ \tg(\alpha + \beta) $ за скобки. Получим:

$ \tg(\alpha + \beta) \cdot (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta) $

Далее воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим эту формулу в наше преобразованное выражение:

$ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} \cdot (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta) $

Теперь можно сократить множитель $ (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ 1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta \neq 0 $, что является условием существования $ \tg(\alpha + \beta) $). В результате получаем:

$ \tg\alpha + \tg\beta $

Ответ: $ \tg\alpha + \tg\beta $

2) Рассмотрим выражение $ \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg(\alpha - \beta) \cdot (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $.

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \left( \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} \right) \cdot \left( \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} \right) \cdot (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $

Перемножим две дроби. Для числителя и знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

Числитель: $ (\tg\alpha + \tg\beta)(\tg\alpha - \tg\beta) = \tg^2\alpha - \tg^2\beta $.

Знаменатель: $ (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta)(1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta) = 1^2 - (\tg\alpha \cdot \tg\beta)^2 = 1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta $.

После перемножения дробей выражение примет вид:

$ \frac{\tg^2\alpha - \tg^2\beta}{1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta} \cdot (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $

Сократим дробь на множитель $ (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $. В итоге остается:

$ \tg^2\alpha - \tg^2\beta $

Ответ: $ \tg^2\alpha - \tg^2\beta $

25.7. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha+\beta)}=\operatorname{tg} \beta$;

2) $\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{\tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha - \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg(\alpha + \beta)}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)} - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)} = \frac{1}{\tg\alpha} - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)}$
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$.
Подставим это выражение во второй член нашего преобразования:
$\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}}$
Упростим вторую дробь, умножив ее числитель и знаменатель на $(1 - \tg\alpha\tg\beta)$:
$\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{(\tg\alpha + \tg\beta)(1 - \tg\alpha\tg\beta)}{\tg\alpha (\tg\alpha + \tg\beta)}$
Сократим дробь на $(\tg\alpha + \tg\beta)$, при условии что $\tg\alpha + \tg\beta \neq 0$:
$\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{1 - \tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 - (1 - \tg\alpha\tg\beta)}{\tg\alpha} = \frac{1 - 1 + \tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha} = \frac{\tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha}$
Сократим на $\tg\alpha$:
$\tg\beta$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
$\tg(\alpha - \beta) + \tg\alpha \cdot \tg\beta \cdot \tg(\alpha - \beta)$
Вынесем общий множитель $\tg(\alpha - \beta)$ за скобки:
$\tg(\alpha - \beta)(1 + \tg\alpha\tg\beta)$
Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$.
Подставим это выражение в полученное произведение:
$\frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta} \cdot (1 + \tg\alpha\tg\beta)$
Сократим дробь на $(1 + \tg\alpha\tg\beta)$, при условии что $1 + \tg\alpha\tg\beta \neq 0$:
$\tg\alpha - \tg\beta$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

25.8. Упростите выражение:

1) $\frac{\text{tg}^2 25^\circ - \text{tg}^2 15^\circ}{1 - \text{tg}^2 25^\circ \cdot \text{tg}^2 15^\circ}$;

2) $\frac{\text{tg}^2 1,8 - \text{tg}^2 1,2}{1 - \text{tg}^2 1,8 \cdot \text{tg}^2 1,2}$.

1)

Данное выражение имеет вид $ \frac{\text{tg}^2 25^\circ - \text{tg}^2 15^\circ}{1 - \text{tg}^2 25^\circ \cdot \text{tg}^2 15^\circ} $.
Мы можем заметить, что и числитель, и знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Числитель: $ \text{tg}^2 25^\circ - \text{tg}^2 15^\circ = (\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ)(\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ) $.
Знаменатель: $ 1 - \text{tg}^2 25^\circ \cdot \text{tg}^2 15^\circ = (1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ)(1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ) $.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $ \frac{(\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ)(\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ)}{(1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ)(1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ)} $.
Сгруппируем множители так, чтобы получить известные тригонометрические формулы: $ \left( \frac{\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ}{1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} \right) \cdot \left( \frac{\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ}{1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} \right) $.
Первый множитель соответствует формуле тангенса суммы углов $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} $. $ \frac{\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ}{1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} = \text{tg}(25^\circ + 15^\circ) = \text{tg} 40^\circ $.
Второй множитель соответствует формуле тангенса разности углов $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} $. $ \frac{\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ}{1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} = \text{tg}(25^\circ - 15^\circ) = \text{tg} 10^\circ $.
Перемножив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение: $ \text{tg} 40^\circ \cdot \text{tg} 10^\circ $.

Ответ: $ \text{tg} 40^\circ \cdot \text{tg} 10^\circ $.

2)

Выражение $ \frac{\text{tg}^2 1,8 - \text{tg}^2 1,2}{1 - \text{tg}^2 1,8 \cdot \text{tg}^2 1,2} $ имеет ту же структуру, что и в предыдущем задании. Углы 1,8 и 1,2 даны в радианах.
Используем тот же подход. Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $ \frac{(\text{tg} 1,8 - \text{tg} 1,2)(\text{tg} 1,8 + \text{tg} 1,2)}{(1 - \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2)(1 + \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2)} $.
Перегруппируем множители, чтобы применить формулы тангенса суммы и разности: $ \left( \frac{\text{tg} 1,8 + \text{tg} 1,2}{1 - \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2} \right) \cdot \left( \frac{\text{tg} 1,8 - \text{tg} 1,2}{1 + \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2} \right) $.
Применяем формулы:
Первый множитель: $ \text{tg}(1,8 + 1,2) = \text{tg} 3 $.
Второй множитель: $ \text{tg}(1,8 - 1,2) = \text{tg} 0,6 $.
Произведение этих двух выражений и будет упрощенным видом исходной дроби: $ \text{tg} 3 \cdot \text{tg} 0,6 $.

Ответ: $ \text{tg} 3 \cdot \text{tg} 0,6 $.

25.9. Преобразуйте выражение:

1) $ \operatorname{tg}(45^\circ + a) \cdot \operatorname{tg}(45^\circ - a) $

2) $ \operatorname{tg}(a + 60^\circ) \cdot \operatorname{tg}(a - 60^\circ) $

3) $ \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\alpha} - \operatorname{tg}(45^\circ - a) $

4) $ \operatorname{tg}(45^\circ + a) - \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\alpha} $

1) Для преобразования выражения $tg(45^\circ + \alpha) \cdot tg(45^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами тангенса суммы и разности:

$tg(A+B) = \frac{tgA + tgB}{1 - tgA \cdot tgB}$

$tg(A-B) = \frac{tgA - tgB}{1 + tgA \cdot tgB}$

Зная, что $tg(45^\circ) = 1$, подставим значения в формулы:

$tg(45^\circ + \alpha) = \frac{tg(45^\circ) + tg\alpha}{1 - tg(45^\circ) \cdot tg\alpha} = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha}$

$tg(45^\circ - \alpha) = \frac{tg(45^\circ) - tg\alpha}{1 + tg(45^\circ) \cdot tg\alpha} = \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$tg(45^\circ + \alpha) \cdot tg(45^\circ - \alpha) = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha} \cdot \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} = 1$

Числитель и знаменатель сокращаются.

Ответ: $1$

2) Преобразуем выражение $tg(\alpha + 60^\circ) \cdot tg(\alpha - 60^\circ)$. Используем те же формулы тангенса суммы и разности. Знаем, что $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$tg(\alpha + 60^\circ) = \frac{tg\alpha + tg(60^\circ)}{1 - tg\alpha \cdot tg(60^\circ)} = \frac{tg\alpha + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}tg\alpha}$

$tg(\alpha - 60^\circ) = \frac{tg\alpha - tg(60^\circ)}{1 + tg\alpha \cdot tg(60^\circ)} = \frac{tg\alpha - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}tg\alpha}$

Перемножим эти два выражения:

$tg(\alpha + 60^\circ) \cdot tg(\alpha - 60^\circ) = \frac{tg\alpha + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}tg\alpha} \cdot \frac{tg\alpha - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}tg\alpha}$

В числителе и знаменателе применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{(tg\alpha)^2 - (\sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3}tg\alpha)^2} = \frac{tg^2\alpha - 3}{1 - 3tg^2\alpha}$

Ответ: $\frac{tg^2\alpha - 3}{1 - 3tg^2\alpha}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} - tg(45^\circ - \alpha)$.

Преобразуем первую дробь, используя тот факт, что $tg(45^\circ) = 1$:

$\frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} = \frac{tg(45^\circ) - tg\alpha}{1 + tg(45^\circ) \cdot tg\alpha}$

Это выражение является формулой тангенса разности для $tg(45^\circ - \alpha)$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$tg(45^\circ - \alpha) - tg(45^\circ - \alpha) = 0$

Ответ: $0$

4) Рассмотрим выражение $tg(45^\circ + \alpha) - \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$.

Как мы уже выяснили в предыдущих пунктах, оба члена этого выражения можно представить через формулы тангенса суммы и разности:

$tg(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha}$

$\frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} = tg(45^\circ - \alpha)$

Подставим первое представление в выражение:

$\frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha} - \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - tg\alpha)(1 + tg\alpha) = 1 - tg^2\alpha$:

$\frac{(1 + tg\alpha)^2 - (1 - tg\alpha)^2}{(1 - tg\alpha)(1 + tg\alpha)} = \frac{(1 + 2tg\alpha + tg^2\alpha) - (1 - 2tg\alpha + tg^2\alpha)}{1 - tg^2\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{1 + 2tg\alpha + tg^2\alpha - 1 + 2tg\alpha - tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{4tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

Это выражение можно упростить, используя формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$:

$\frac{4tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} = 2 \cdot \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} = 2tg(2\alpha)$

Ответ: $2tg(2\alpha)$

25.10. Докажите тождество:

1) $\frac{tg\alpha + tg\beta}{tg\alpha - tg\beta} - \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} + \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} = ctg\alpha + ctg\beta;$

2) $\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin(\beta - x)}{\sin\beta\sin x} + \frac{\sin(x - \alpha)}{\sin x\sin\alpha} = 0.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую (ЛЧ) и правую (ПЧ) части.

Начнем с левой части:

ЛЧ = $ \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta} - \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} + \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Упростим первое слагаемое, выразив тангенсы через синусы и косинусы: $ \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

Преобразуем числитель первой дроби:

$ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $.

Преобразуем знаменатель первой дроби:

$ \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $.

Таким образом, первое слагаемое равно:

$ \frac{\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} $.

Подставим полученное выражение обратно в левую часть:

ЛЧ = $ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} - \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} + \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются, и мы получаем:

ЛЧ = $ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): $ \operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta $.

Выразим котангенсы через синусы и косинусы: $ \operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

ПЧ = $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Мы получили, что ЛЧ = ПЧ, так как оба выражения равны $ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ).

ЛЧ = $ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin(\beta - x)}{\sin\beta\sin x} + \frac{\sin(x - \alpha)}{\sin x\sin\alpha} $.

Используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и разделим каждую дробь на два слагаемых.

Первое слагаемое:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} - \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha $.

Второе слагаемое:

$ \frac{\sin(\beta - x)}{\sin\beta\sin x} = \frac{\sin\beta\cos x - \cos\beta\sin x}{\sin\beta\sin x} = \frac{\sin\beta\cos x}{\sin\beta\sin x} - \frac{\cos\beta\sin x}{\sin\beta\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \operatorname{ctg}x - \operatorname{ctg}\beta $.

Третье слагаемое:

$ \frac{\sin(x - \alpha)}{\sin x\sin\alpha} = \frac{\sin x\cos\alpha - \cos x\sin\alpha}{\sin x\sin\alpha} = \frac{\sin x\cos\alpha}{\sin x\sin\alpha} - \frac{\cos x\sin\alpha}{\sin x\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}x $.

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ = $ (\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha) + (\operatorname{ctg}x - \operatorname{ctg}\beta) + (\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}x) $.

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

ЛЧ = $ (\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\beta) + (-\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) + (\operatorname{ctg}x - \operatorname{ctg}x) = 0 + 0 + 0 = 0 $.

Левая часть равна 0, что соответствует правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.