Страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если известно, что она проходит через точку A (5; 12):

A) $x^2 + y^2 = 169$;

B) $(x + 5)^2 + (y + 12)^2 = 169$;

C) $x^2 + y^2 = 13$;

D) $(x - 5)^2 + (y - 12)^2 = 169$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Согласно условию задачи, центр окружности находится в начале координат, то есть в точке O(0; 0). Это означает, что $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Подставив эти значения в стандартное уравнение, мы получим уравнение для окружности с центром в начале координат:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2$

$x^2 + y^2 = R^2$

Нам известно, что окружность проходит через точку A с координатами (5; 12). Радиус окружности $R$ равен расстоянию от ее центра до любой точки, лежащей на ней. Следовательно, мы можем найти радиус, вычислив расстояние между центром O(0; 0) и точкой A(5; 12). Для уравнения нам нужен квадрат радиуса, $R^2$.

Найдем $R^2$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2$

$R^2 = (5 - 0)^2 + (12 - 0)^2$

$R^2 = 5^2 + 12^2$

$R^2 = 25 + 144$

$R^2 = 169$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 169$ в уравнение окружности:

$x^2 + y^2 = 169$

Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует варианту А.

Ответ: A) $x^2 + y^2 = 169$

4. Какая из точек принадлежит окружности $x^2 + y^2 = 144$:

A) (6; 10);

B) (0; 12);

C) (9; 8);

D) (-12; 12)?

Чтобы определить, какая из предложенных точек принадлежит окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 144$, необходимо подставить координаты $(x; y)$ каждой точки в это уравнение. Если в результате подстановки левая часть уравнения будет равна правой части (то есть 144), то точка принадлежит окружности.

Выполним проверку для каждой точки:

A) (6; 10);
Подставляем координаты $x = 6$ и $y = 10$ в уравнение:
$6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
Поскольку $136 \neq 144$, данная точка не принадлежит окружности.

B) (0; 12);
Подставляем координаты $x = 0$ и $y = 12$ в уравнение:
$0^2 + 12^2 = 0 + 144 = 144$.
Поскольку $144 = 144$, данная точка принадлежит окружности.

C) (9; 8);
Подставляем координаты $x = 9$ и $y = 8$ в уравнение:
$9^2 + 8^2 = 81 + 64 = 145$.
Поскольку $145 \neq 144$, данная точка не принадлежит окружности.

D) (-12; 12)?
Подставляем координаты $x = -12$ и $y = 12$ в уравнение:
$(-12)^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$.
Поскольку $288 \neq 144$, данная точка не принадлежит окружности.

Таким образом, единственной точкой, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, является точка (0; 12).

Ответ: B) (0; 12)

5. Является ли решением уравнения $x^2 - y = -2$ пара значений переменных:

A) (1; 3);

B) (0; 0);

C) (-2; 2);

D) (-1; -3)?

Чтобы определить, является ли пара значений переменных решением уравнения $x^2 - y = -2$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли полученное равенство.

A) (1; 3): Подставим в уравнение значения $x=1$ и $y=3$.
$1^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.
Получаем верное равенство: $-2 = -2$.
Ответ: да, пара (1; 3) является решением уравнения.

B) (0; 0): Подставим в уравнение значения $x=0$ и $y=0$.
$0^2 - 0 = 0 - 0 = 0$.
Получаем неверное равенство: $0 \neq -2$.
Ответ: нет, пара (0; 0) не является решением уравнения.

C) (-2; 2): Подставим в уравнение значения $x=-2$ и $y=2$.
$(-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.
Получаем неверное равенство: $2 \neq -2$.
Ответ: нет, пара (-2; 2) не является решением уравнения.

D) (-1; -3): Подставим в уравнение значения $x=-1$ и $y=-3$.
$(-1)^2 - (-3) = 1 + 3 = 4$.
Получаем неверное равенство: $4 \neq -2$.
Ответ: нет, пара (-1; -3) не является решением уравнения.

6. Какие из значений переменных являются решением уравнения

$(x^2 + 1)y = 0;$

A) $x = -1; y = 1;$

B) $x = 1; y = 0;$

C) $x = -1; y = -1;$

D) $x = 0; y = 5?$

Решение

Дано уравнение $(x^2 + 1)y = 0$. Чтобы найти решение, нужно определить, при каких значениях $x$ и $y$ это равенство будет верным.

Уравнение представляет собой произведение двух множителей: $(x^2 + 1)$ и $y$. Произведение равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим первый множитель: $(x^2 + 1)$.

Выражение $x^2$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет строго положительным, а именно $x^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, первый множитель $(x^2 + 1)$ никогда не может быть равен нулю.

Поскольку первый множитель не равен нулю, для выполнения равенства $(x^2 + 1)y = 0$ необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю, то есть $y = 0$.

Итак, решением уравнения является любая пара чисел, в которой $y=0$, а $x$ может быть любым действительным числом. Проверим предложенные варианты, чтобы найти тот, который удовлетворяет условию $y=0$.

A) $x = -1; y = 1$

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$((-1)^2 + 1) \cdot 1 = (1 + 1) \cdot 1 = 2 \cdot 1 = 2$

Поскольку $2 \neq 0$, данная пара значений не является решением.

Ответ: не является решением.

B) $x = 1; y = 0$

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$((1)^2 + 1) \cdot 0 = (1 + 1) \cdot 0 = 2 \cdot 0 = 0$

Поскольку $0 = 0$, данная пара значений является решением.

Ответ: является решением.

C) $x = -1; y = -1$

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$((-1)^2 + 1) \cdot (-1) = (1 + 1) \cdot (-1) = 2 \cdot (-1) = -2$

Поскольку $-2 \neq 0$, данная пара значений не является решением.

Ответ: не является решением.

D) $x = 0; y = 5$

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$((0)^2 + 1) \cdot 5 = (0 + 1) \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$

Поскольку $5 \neq 0$, данная пара значений не является решением.

Ответ: не является решением.

7. Какие из значений переменных являются решением уравнения

$x(1 - y) = 15$:

A) $x = 15; y = 0$;

B) $x = 0; y = 16$;

C) $x = 15; y = 1$;

D) $x = 16; y = 0$?

Чтобы определить, какие из предложенных пар значений являются решением уравнения $x(1 - y) = 15$, необходимо подставить значения переменных из каждого пункта в это уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

A) $x = 15; y = 0;$
Подставляем значения в уравнение:
$15 \cdot (1 - 0) = 15$
$15 \cdot 1 = 15$
$15 = 15$
Равенство верное, следовательно, эта пара значений является решением.
Ответ: является решением.

B) $x = 0; y = 16;$
Подставляем значения в уравнение:
$0 \cdot (1 - 16) = 15$
$0 \cdot (-15) = 15$
$0 = 15$
Равенство неверное, следовательно, эта пара значений не является решением.
Ответ: не является решением.

C) $x = 15; y = 1;$
Подставляем значения в уравнение:
$15 \cdot (1 - 1) = 15$
$15 \cdot 0 = 15$
$0 = 15$
Равенство неверное, следовательно, эта пара значений не является решением.
Ответ: не является решением.

D) $x = 16; y = 0?$
Подставляем значения в уравнение:
$16 \cdot (1 - 0) = 15$
$16 \cdot 1 = 15$
$16 = 15$
Равенство неверное, следовательно, эта пара значений не является решением.
Ответ: не является решением.

8. Какие из значений переменных не удовлетворяют уравнению

$(x - 1)(y - 2) = 0:$

A) $x = -1; y = 2;$

B) $x = 1; y = -2;$

C) $x = 1; y = 2;$

D) $x = -1; y = -2?$

Дано:

Уравнение: $(x-1)(y-2)=0$.

Варианты значений переменных:

A) $x = -1; y = 2$

B) $x = 1; y = -2$

C) $x = 1; y = 2$

D) $x = -1; y = -2$

Найти:

Какие из значений переменных не удовлетворяют уравнению.

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Для уравнения $(x-1)(y-2)=0$ это означает, что оно обращается в верное равенство при выполнении хотя бы одного из условий:

$x - 1 = 0$, что равносильно $x = 1$.

или

$y - 2 = 0$, что равносильно $y = 2$.

Таким образом, любая пара чисел $(x, y)$, в которой либо $x=1$, либо $y=2$, является решением уравнения. Нам нужно найти пару, которая не является решением, то есть для которой $x \neq 1$ и одновременно $y \neq 2$.

Проверим каждую пару значений путем подстановки в исходное уравнение.

A) $x = -1; y = 2$

Подставляем значения в левую часть: $(-1 - 1)(2 - 2) = (-2) \cdot 0 = 0$.

Поскольку $0 = 0$, равенство верное. Эта пара удовлетворяет уравнению.

B) $x = 1; y = -2$

Подставляем значения: $(1 - 1)(-2 - 2) = 0 \cdot (-4) = 0$.

Поскольку $0 = 0$, равенство верное. Эта пара удовлетворяет уравнению.

C) $x = 1; y = 2$

Подставляем значения: $(1 - 1)(2 - 2) = 0 \cdot 0 = 0$.

Поскольку $0 = 0$, равенство верное. Эта пара удовлетворяет уравнению.

D) $x = -1; y = -2$

Подставляем значения: $(-1 - 1)(-2 - 2) = (-2) \cdot (-4) = 8$.

Поскольку $8 \neq 0$, равенство неверное. Эта пара не удовлетворяет уравнению.

Ответ: D) $x = -1; y = -2$.

9. Какие из значений переменных являются решением уравнения

$x - 3y = 1$:

A) $x = 0; y = 0;$

B) $x = 4; y = -1;$

C) $x = 0; y = -1;$

D) $x = 4; y = 1?$

Чтобы определить, какие из предложенных пар значений являются решением уравнения $x - 3y = 1$, необходимо подставить значения переменных $x$ и $y$ из каждого варианта в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

A) x = 0; y = 0;
Подставляем данные значения в уравнение:
$0 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $0 \neq 1$.
Равенство не выполняется, следовательно, данная пара значений не является решением.
Ответ: не является решением.

B) x = 4; y = -1;
Подставляем данные значения в уравнение:
$4 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7$
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $7 \neq 1$.
Равенство не выполняется, следовательно, данная пара значений не является решением.
Ответ: не является решением.

C) x = 0; y = -1;
Подставляем данные значения в уравнение:
$0 - 3 \cdot (-1) = 0 + 3 = 3$
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $3 \neq 1$.
Равенство не выполняется, следовательно, данная пара значений не является решением.
Ответ: не является решением.

D) x = 4; y = 1?
Подставляем данные значения в уравнение:
$4 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $1 = 1$.
Равенство выполняется, следовательно, данная пара значений является решением.
Ответ: является решением.

10. Сколько решений имеет уравнение $(x+5)^2 + (y-3)^2 = -1$:

A) не имеет решения;

B) одно решение;

C) два решения;

D) не указан правильный ответ?

Рассмотрим данное уравнение: $(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = -1$. Для решения этой задачи мы предполагаем, что искомые решения $(x, y)$ являются парами действительных чисел.

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух выражений: $(x + 5)^2$ и $(y - 3)^2$.

Первое слагаемое, $(x + 5)^2$, является квадратом действительного числа. Свойство квадрата любого действительного числа заключается в том, что он всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Математически это записывается как $(x + 5)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Наименьшее значение этого выражения равно 0 при $x = -5$.

Аналогично, второе слагаемое, $(y - 3)^2$, также является квадратом действительного числа. Следовательно, оно также всегда неотрицательно: $(y - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$. Наименьшее значение этого выражения равно 0 при $y = 3$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда является неотрицательным числом. Таким образом, левая часть уравнения всегда будет больше или равна нулю:

$(x + 5)^2 + (y - 3)^2 \ge 0 + 0 = 0$

Однако, согласно исходному уравнению, эта сумма должна равняться -1:

$(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = -1$

Мы получаем противоречие: левая часть уравнения не может быть отрицательной, в то время как правая часть является отрицательным числом. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно.

Таким образом, не существует действительных значений $x$ и $y$, которые бы удовлетворяли этому уравнению.

Геометрическая интерпретация также подтверждает этот вывод. Уравнение вида $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ является уравнением окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$. В данном случае уравнение $(x - (-5))^2 + (y - 3)^2 = -1$ должно было бы описывать окружность, но квадрат ее радиуса $r^2$ равен -1. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, такой окружности на действительной плоскости не существует.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: A) не имеет решения.

11. Изображением решения системы неравенств $ \begin{cases} x^2 - x \ge 6, \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $ на числовой прямой является:

A) B) C) D)

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений (общую часть).

Система неравенств выглядит следующим образом:

$\begin{cases} x^2 - x \ge 6 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое, квадратное неравенство: $x^2 - x \ge 6$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы сравнить с нулем: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Это означает, что парабола находится выше или на оси абсцисс (то есть $y \ge 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением первого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе, линейное неравенство: $x + 1 \ge 0$.

Перенесем 1 в правую часть неравенства, изменив знак: $x \ge -1$.

Решением второго неравенства является промежуток: $x \in [-1, \infty)$.

Нахождение решения системы и выбор правильного изображения

Решение системы — это пересечение множеств решений каждого из неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$x \in ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) \cap [-1, \infty)$

Изобразим эти множества на числовой прямой. Первое множество — это все числа до -2 включительно и от 3 включительно. Второе множество — это все числа от -1 включительно.

Общая часть (пересечение) этих множеств — это промежуток, где $x$ одновременно больше или равен -1 и при этом либо меньше или равен -2 (что невозможно), либо больше или равен 3. Единственная область, удовлетворяющая этим условиям, — это $x \ge 3$.

Итак, решение системы неравенств: $x \in [3, \infty)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты. Часто в подобных задачах на изображениях показывают графическое решение каждого из неравенств системы, а итоговым решением является их пересечение.

Рассмотрим вариант D). На этом изображении нанесены решения обоих неравенств:

• Штриховкой одного вида показано решение $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$ (решение первого неравенства).
• Штриховкой другого вида показано решение $x \ge -1$ (решение второго неравенства).

Изображение D) является единственным, которое корректно иллюстрирует решения обоих неравенств на одной числовой оси. Область, где штриховки накладываются друг на друга (пересекаются), и есть решение системы. Эта область соответствует промежутку $[3, \infty)$.

Ответ: D)

12. Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^3 - 4x}}{x}:

A) $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty);$

B) $[ -2; 0) \cup (0; 2];$

C) $(-\infty, 0] \cup (0, +\infty);$

D) $[ -2; 0) \cup (0; +\infty\text{]};$

E) $( -2; 0) \cup (2; +\infty).$

Решение

Область определения функции (ОДЗ) – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{\sqrt{x^3 - 4x}}{x}$ должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным (больше или равно нулю), так как извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.
$x^3 - 4x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x \neq 0$

Рассмотрим и решим первое условие – неравенство:
$x^3 - 4x \ge 0$

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4) \ge 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(x - 2)(x + 2) \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 2)(x + 2) = 0$.
Корнями являются значения $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2]$, $[-2; 0]$, $[0; 2]$ и $[2; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x - 2)(x + 2)$ на каждом из интервалов, подставив любое значение из этого интервала:
- интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x=3 \implies 3(3-2)(3+2) = 3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 > 0$. Знак «+».
- интервал $(0; 2)$: возьмем $x=1 \implies 1(1-2)(1+2) = 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3 < 0$. Знак «-».
- интервал $(-2; 0)$: возьмем $x=-1 \implies -1(-1-2)(-1+2) = (-1) \cdot (-3) \cdot 1 = 3 > 0$. Знак «+».
- интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3 \implies -3(-3-2)(-3+2) = (-3) \cdot (-5) \cdot (-1) = -15 < 0$. Знак «-».

Так как неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют промежутки со знаком «+». Учитывая, что неравенство нестрогое, точки $-2$, $0$ и $2$ включаются в решение. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty)$.

Теперь объединим это решение со вторым условием: $x \neq 0$.
Мы должны исключить точку $x=0$ из множества $x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty)$.
Исключение точки $x=0$ из отрезка $[-2; 0]$ дает нам полуинтервал $[-2; 0)$. Промежуток $[2; +\infty)$ не содержит $0$, поэтому он не изменяется.

Итоговая область определения функции является объединением полученных промежутков: $D(y) = [-2; 0) \cup [2; +\infty)$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Ни один из вариантов A, B, C, D, E не соответствует найденной области определения. Правильный ответ отсутствует среди предложенных вариантов.

Ответ: $[-2; 0) \cup [2; +\infty)$.