Страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

23. Какая из систем имеет решение:

A) $\begin{cases} x^2 + y^2 = -3, \\ x + y = 2; \end{cases}$

B) $\begin{cases} x + y = 2, \\ xy = 2; \end{cases}$

C) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$

D) $\begin{cases} x - y = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = -1; \end{cases}$

E) $\begin{cases} \frac{x}{y} = 2, \\ xy = -2? \end{cases}$

A)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = -3 \\x + y = 2\end{cases}$

В первом уравнении $x^2 + y^2 = -3$. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ значения $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма $x^2 + y^2$ также должна быть неотрицательной: $x^2 + y^2 \ge 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = -3$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательное число не может равняться отрицательному. Таким образом, вся система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

B)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x + y = 2 \\xy = 2\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(2 - x) = 2$

$2x - x^2 = 2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений в действительных числах.

Ответ: система не имеет решений.

C)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 3 \\xy = 2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ (заметим, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$, иначе $xy=0$): $y = \frac{2}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 4 = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Так как $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = 4$.

Вернемся к переменной $x$: $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{2} = 1$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{2}{x_2} = \frac{2}{-2} = -1$.

Таким образом, система имеет два действительных решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: система имеет решения.

D)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 1 \\\sqrt{x} + \sqrt{y} = -1\end{cases}$

Во втором уравнении $\sqrt{x} + \sqrt{y} = -1$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{y} \ge 0$ для любых допустимых значений $x$ и $y$ (т.е. $x \ge 0, y \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной: $\sqrt{x} + \sqrt{y} \ge 0$. Уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = -1$ не может иметь решений в действительных числах, так как неотрицательное число не может равняться отрицательному. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

E)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{y} = 2 \\xy = -2\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $y \ne 0$. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2y)y = -2$

$2y^2 = -2$

$y^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Уравнение $y^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

24. На каком из рисунков изображено решение системы неравенств $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 36, \\ y \ge 1.5: \end{cases} $

A) B) C) D)

Анализ первого неравенства:

Неравенство $x^2 + y^2 \le 36$ задает множество точек на плоскости, находящихся внутри и на границе окружности. Уравнение соответствующей окружности $x^2 + y^2 = 36$. Это окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$. Таким образом, первое неравенство описывает круг с центром в начале координат и радиусом 6. Все четыре предложенных рисунка изображают области внутри такой окружности.

Анализ второго неравенства:

Неравенство $y \ge 1,5$ задает множество точек на плоскости, ординаты которых больше или равны 1,5. Границей этой области является прямая $y = 1,5$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 1,5)$ на оси $y$. Решением неравенства является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую. На графиках единичный отрезок на осях координат соответствует одной клетке. Следовательно, прямая $y=1,5$ проходит посередине между отметками 1 и 2 на оси $y$.

Решение системы неравенств:

Решением системы является пересечение множеств, удовлетворяющих каждому из неравенств. Геометрически это область, которая находится одновременно внутри (и на границе) круга, заданного первым неравенством, и выше (и на границе) прямой $y = 1,5$, заданной вторым неравенством. Искомая область — это сегмент круга, который отсекается прямой $y = 1,5$ и расположен над ней.

Выбор правильного рисунка:

Сравнивая полученный результат с предложенными рисунками, видим, что:

- на рисунке А) заштрихована область $y \ge 0$ внутри круга;

- на рисунке B) заштрихована область $y \le 0$ внутри круга;

- на рисунке C) заштрихована область ниже некоторой горизонтальной прямой в нижней полуплоскости;

- на рисунке D) заштрихована область внутри круга и выше горизонтальной прямой $y=1,5$.

Следовательно, рисунок D) является правильным изображением решения данной системы неравенств.

Ответ: D

25. На каком из рисунков изображено решение системы неравенств $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, \\ x > -1,5: \end{cases} $

A) B) C) D)

Для решения данной системы неравенств необходимо найти на координатной плоскости область, которая удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Проанализируем каждое из них.

1. Первое неравенство: $x^2 + y^2 \le 16$.

Это неравенство задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$. Знак "$\le$" указывает, что точки на самой окружности также являются частью решения. Все четыре предложенных рисунка содержат именно такой круг.

2. Второе неравенство: $x > -1,5$.

Это неравенство задает множество точек, у которых координата $x$ строго больше $-1,5$. Геометрически это представляет собой открытую полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = -1,5$. Сама прямая не является частью решения, так как неравенство строгое (в идеале она должна быть изображена пунктирной линией).

Решением системы является пересечение этих двух областей: та часть круга с радиусом 4, которая находится справа от вертикальной прямой $x = -1,5$.

Теперь проанализируем предложенные графики:

A) На этом рисунке заштрихована область внутри круга, расположенная левее оси ординат (то есть, где $x \le 0$). Это не соответствует условию $x > -1,5$.

B) Здесь заштрихована область внутри круга, которая находится слева от прямой $x = -1,5$. Это соответствует условию $x \le -1,5$, что противоречит второму неравенству системы.

C) На этом рисунке вертикальная линия проведена через $x = 1,5$, а не $x = -1,5$, что не соответствует условию.

D) На данном рисунке показана вертикальная прямая $x = -1,5$. Заштрихованная область представляет собой часть круга, расположенную справа от этой прямой. Это в точности соответствует решению системы неравенств $\{x^2 + y^2 \le 16, x > -1,5\}$.

Ответ: D

26.2. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{\pi}{8}}$;

2) $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} + 1$;

3) $2 - \frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ}$;

4) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

5) $4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \cos 30^\circ$;

6) $\cos^2 15^\circ \cos^2 75^\circ$.

1) В данном выражении $\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{\pi}{8}}$ мы можем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
Применим это тождество к знаменателю нашего выражения, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$:
$1 - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{\cos^2 \frac{\pi}{8}} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Выражение $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} + 1$ содержит дробь, которая соответствует формуле тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Применим формулу:
$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.
Значение тангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$) равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) + 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3} + 1$.

3) В выражении $2 - \frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ}$ дробь является формулой тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$, где $\alpha = 75^\circ$.
$\frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ) = \operatorname{tg}(150^\circ)$.
Чтобы найти значение $\operatorname{tg}(150^\circ)$, используем формулу приведения: $\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg}(\beta)$.
$\operatorname{tg}(150^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$2 - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Выражение $2\sin15^\circ\cos15^\circ$ соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Здесь $\alpha = 15^\circ$.
$2\sin15^\circ\cos15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

5) Рассмотрим выражение $4\sin15^\circ\cos15^\circ\cos30^\circ$. Его можно преобразовать следующим образом:
$4\sin15^\circ\cos15^\circ\cos30^\circ = 2 \cdot (2\sin15^\circ\cos15^\circ) \cdot \cos30^\circ$.
Выражение в скобках является синусом двойного угла (как в предыдущем пункте): $2\sin15^\circ\cos15^\circ = \sin(30^\circ)$.
Подставим это в наше выражение:
$2 \cdot \sin(30^\circ) \cdot \cos(30^\circ)$.
Это снова формула синуса двойного угла, но теперь для угла $30^\circ$:
$2\sin30^\circ\cos30^\circ = \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin(60^\circ)$.
Значение $\sin(60^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Для того чтобы найти значение выражения $\cos^2 15^\circ \cos^2 75^\circ$, воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
$\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$.
Следовательно, $\cos^2 75^\circ = \sin^2 15^\circ$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2 15^\circ \cos^2 75^\circ = \cos^2 15^\circ \sin^2 15^\circ = (\cos 15^\circ \sin 15^\circ)^2$.
Из формулы синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ выразим произведение $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.
Для $\alpha=15^\circ$ получаем: $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin(30^\circ)}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

Упростите выражения (26.3–26.4):

26.3. 1) $1 - 2\sin^2\alpha$;

2) $2\cos^2\alpha - 1$;

3) $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha$;

4) $\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$;

5) $\operatorname{tg}2\alpha (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)$.

1) Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Зная основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, выразим $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. Подставим в формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = (1 - sin^2\alpha) - sin^2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$. Таким образом, выражение $1 - 2sin^2\alpha$ равно $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

2) Это еще одна форма формулы косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ выразим $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$. Подставим в формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha) = cos^2\alpha - 1 + cos^2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$. Следовательно, выражение $2cos^2\alpha - 1$ равно $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

3) Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ и $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. $ctg\alpha - tg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} - \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. Приведем к общему знаменателю $sin\alpha \cdot cos\alpha$: $\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{sin\alpha \cdot cos\alpha}$. В числителе мы видим формулу косинуса двойного угла: $cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos(2\alpha)$. Знаменатель связан с формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha \cdot cos\alpha$, откуда $sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$. Подставим эти выражения в дробь: $\frac{cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}sin(2\alpha)} = 2\frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = 2ctg(2\alpha)$.
Ответ: $2ctg(2\alpha)$

4) Это одна из формул косинуса двойного угла через тангенс. Выведем ее. Представим тангенс через синус и косинус: $tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$. $\frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1 - \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}{1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}} = \frac{\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}$. Знаменатель дроби в знаменателе $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$. Выражение упрощается до: $\frac{\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\frac{1}{cos^2\alpha}} = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. А это формула косинуса двойного угла $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

5) Используем формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$. Подставим эту формулу в исходное выражение: $tg(2\alpha)(1 - tg^2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} \cdot (1 - tg^2\alpha)$. При условии, что $1 - tg^2\alpha \ne 0$ (то есть $\alpha \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$), множители $(1 - tg^2\alpha)$ сокращаются. В результате получаем $2tg\alpha$.
Ответ: $2tg\alpha$

26.4. 1) $\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}$

2) $\frac{\cos\beta}{\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\beta}{2}}$

3) $\frac{\cos^2 2\alpha}{\sin 4\alpha}$

4) $\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{1 - \sin^2 2\alpha}$

1) Для упрощения выражения $ \frac{2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin\alpha} $ воспользуемся тригонометрическими формулами.
В числителе используем формулу понижения степени (или следствие из формулы косинуса двойного угла): $ 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 - \cos\alpha $.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.
Подставим формулу для знаменателя в исходное выражение:
$ \frac{2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $
Сократим общие множители $ 2\sin\frac{\alpha}{2} $ в числителе и знаменателе (при условии $ \sin\frac{\alpha}{2} \neq 0 $):
$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $
По определению тангенса, $ \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x $. Следовательно, полученное выражение равно $ \tan\frac{\alpha}{2} $.
Ответ: $ \tan\frac{\alpha}{2} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{\cos\beta}{\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}} $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла для числителя.
Представим $ \cos\beta $ как $ \cos(2 \cdot \frac{\beta}{2}) $. По формуле $ \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x $, получаем:
$ \cos\beta = \cos^2\frac{\beta}{2} - \sin^2\frac{\beta}{2} $
Теперь применим к числителю формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \cos^2\frac{\beta}{2} - \sin^2\frac{\beta}{2} = \left(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\right) $
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{\left(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\right)}{\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}} $
Сократим дробь на общий множитель $ \left(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\right) $ (при условии, что он не равен нулю):
$ \cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2} $
Ответ: $ \cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2} $

3) Для упрощения выражения $ \frac{\cos^2{2\alpha}}{\sin{4\alpha}} $ воспользуемся формулой синуса двойного угла для знаменателя.
Представим $ \sin{4\alpha} $ как $ \sin(2 \cdot 2\alpha) $. По формуле $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем:
$ \sin{4\alpha} = 2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha} $
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{\cos^2{2\alpha}}{2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}} $
Сократим дробь на $ \cos{2\alpha} $ (при условии $ \cos{2\alpha} \neq 0 $):
$ \frac{\cos{2\alpha}}{2\sin{2\alpha}} $
Используя определение котангенса $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $, можем переписать выражение как:
$ \frac{1}{2}\cot{2\alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{2}\cot{2\alpha} $

4) Для упрощения выражения $ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{1 - \sin^2{2\alpha}} $ преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: раскроем квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin{2\alpha} $, получаем:
$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin{2\alpha} $
Знаменатель: из основного тригонометрического тождества $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $ следует, что $ 1 - \sin^2x = \cos^2x $. Применив это для $ x=2\alpha $, получаем:
$ 1 - \sin^2{2\alpha} = \cos^2{2\alpha} $
Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$ \frac{1 + \sin{2\alpha}}{\cos^2{2\alpha}} $
Используем в знаменателе формулу разности квадратов: $ \cos^2{2\alpha} = 1 - \sin^2{2\alpha} = (1 - \sin{2\alpha})(1 + \sin{2\alpha}) $.
$ \frac{1 + \sin{2\alpha}}{(1 - \sin{2\alpha})(1 + \sin{2\alpha})} $
Сократим дробь на $ (1 + \sin{2\alpha}) $ (при условии, что $ 1 + \sin{2\alpha} \neq 0 $):
$ \frac{1}{1 - \sin{2\alpha}} $
Ответ: $ \frac{1}{1 - \sin{2\alpha}} $

26.5. Выразите $ctg\frac{\alpha}{2}$ через:

1) $sin\alpha$ и $cos\alpha$;

2) $tg\alpha$;

3) $ctg\alpha$.

1) sinα и cosα

По определению котангенса имеем: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{cos{\frac{\alpha}{2}}}{sin{\frac{\alpha}{2}}}$.

Для выражения $ctg{\frac{\alpha}{2}}$ через $sin\alpha$ и $cos\alpha$ можно воспользоваться формулами двойного угла. Существует два эквивалентных способа получения итоговой формулы.

Способ 1. Умножим числитель и знаменатель дроби на $2sin{\frac{\alpha}{2}}$:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}{2sin^2{\frac{\alpha}{2}}}$

Используя формулу синуса двойного угла $sin\alpha = 2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}$ и формулу понижения степени для синуса $2sin^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 - cos\alpha$, получаем:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{sin\alpha}{1 - cos\alpha}$

Способ 2. Умножим числитель и знаменатель на $2cos{\frac{\alpha}{2}}$:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}$

Используя формулу понижения степени для косинуса $2cos^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 + cos\alpha$ и ту же формулу синуса двойного угла, получаем:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + cos\alpha}{sin\alpha}$

Обе полученные формулы являются верными и универсальными (при условии, что их знаменатели не обращаются в ноль).

Ответ: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{sin\alpha}{1 - cos\alpha} = \frac{1 + cos\alpha}{sin\alpha}$.

2) tgα

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла $tg\alpha = tg(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{2tg{\frac{\alpha}{2}}}{1 - tg^2{\frac{\alpha}{2}}}$.

Так как $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{tg{\frac{\alpha}{2}}}$, мы можем выразить $tg{\frac{\alpha}{2}}$ через $ctg{\frac{\alpha}{2}}$. Обозначим $x = ctg{\frac{\alpha}{2}}$, тогда $tg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{x}$. Подставим это в формулу:

$tg\alpha = \frac{2/x}{1 - 1/x^2} = \frac{2/x}{(x^2-1)/x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$

Теперь выразим $x$ из полученного уравнения $tg\alpha = \frac{2x}{x^2-1}$:

$tg\alpha(x^2 - 1) = 2x$

$tg\alpha \cdot x^2 - 2x - tg\alpha = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x = ctg{\frac{\alpha}{2}}$. Решим его, используя стандартную формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(tg\alpha)(-tg\alpha)}}{2tg\alpha} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4tg^2\alpha}}{2tg\alpha}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4(1 + tg^2\alpha)}}{2tg\alpha} = \frac{2 \pm 2\sqrt{1 + tg^2\alpha}}{2tg\alpha} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + tg^2\alpha}}{tg\alpha}$

Знак $\pm$ в формуле необходим, поскольку функция $tg\alpha$ имеет период $\pi$, в то время как функция $ctg{\frac{\alpha}{2}}$ имеет период $2\pi$. Это означает, что одному значению $tg\alpha$ (которое одинаково для углов $\alpha$ и $\alpha+\pi$) соответствуют два разных значения $ctg{\frac{\alpha}{2}}$ и $ctg(\frac{\alpha+\pi}{2}) = ctg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}) = -tg(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{1}{ctg(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + tg^2\alpha}}{tg\alpha}$.

3) ctgα

Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $ctg(2x) = \frac{ctg^2x - 1}{2ctgx}$.

Положим $x = \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = \alpha$. Формула примет вид:

$ctg\alpha = \frac{ctg^2{\frac{\alpha}{2}} - 1}{2ctg{\frac{\alpha}{2}}}$

Обозначим $y = ctg{\frac{\alpha}{2}}$ и решим получившееся уравнение относительно $y$:

$ctg\alpha = \frac{y^2 - 1}{2y}$

$2y \cdot ctg\alpha = y^2 - 1$

$y^2 - (2ctg\alpha) \cdot y - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$, решим его:

$y = \frac{-(-2ctg\alpha) \pm \sqrt{(-2ctg\alpha)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$y = \frac{2ctg\alpha \pm \sqrt{4ctg^2\alpha + 4}}{2} = \frac{2ctg\alpha \pm \sqrt{4(ctg^2\alpha + 1)}}{2}$

$y = \frac{2ctg\alpha \pm 2\sqrt{ctg^2\alpha + 1}}{2} = ctg\alpha \pm \sqrt{ctg^2\alpha + 1}$

Как и в предыдущем пункте, наличие знака $\pm$ обусловлено различием в периодах функций $ctg\alpha$ и $ctg{\frac{\alpha}{2}}$.

Ответ: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = ctg\alpha \pm \sqrt{ctg^2\alpha + 1}$.

26.6. Найдите значение $sin2\alpha$, $cos2\alpha$, $ctg2\alpha$ и $tg2\alpha$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\sin\alpha = \frac{2}{5}$.

По условию задачи $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что означает, что угол $\alpha$ находится во второй тригонометрической четверти. Для углов в этой четверти значение синуса положительно, а значение косинуса отрицательно.

Нам дано, что $\sin\alpha = \frac{2}{5}$.

Для нахождения значений тригонометрических функций двойного угла, сначала найдем $\cos\alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25}$.

Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому мы выбираем отрицательное значение корня:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

sin2α

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим известные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

cos2α

Применим формулу косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, зависящую только от синуса: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Подставим известное значение $\sin\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{4}{25}\right) = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$.

Ответ: $\frac{17}{25}$.

ctg2α

Котангенс двойного угла можно найти по формуле $\cot(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$.

Подставим найденные ранее значения $\cos(2\alpha)$ и $\sin(2\alpha)$:

$\cot(2\alpha) = \frac{\frac{17}{25}}{-\frac{4\sqrt{21}}{25}} = \frac{17}{25} \cdot \left(-\frac{25}{4\sqrt{21}}\right) = -\frac{17}{4\sqrt{21}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{21}$:

$\cot(2\alpha) = -\frac{17 \cdot \sqrt{21}}{4\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = -\frac{17\sqrt{21}}{4 \cdot 21} = -\frac{17\sqrt{21}}{84}$.

Ответ: $-\frac{17\sqrt{21}}{84}$.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти по формуле $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$ или как величину, обратную котангенсу: $\tan(2\alpha) = \frac{1}{\cot(2\alpha)}$.

Используя найденные значения $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$:

$\tan(2\alpha) = \frac{-\frac{4\sqrt{21}}{25}}{\frac{17}{25}} = -\frac{4\sqrt{21}}{25} \cdot \frac{25}{17} = -\frac{4\sqrt{21}}{17}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{21}}{17}$.

26.7. Вычислите $\sin 2a$, $\cos 2a$, $\cot 2a$ и $\tan 2a$, если $\tan a = 2.4$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

По условию задачи имеем $\operatorname{tg}(\alpha) = 2,4$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

Неравенство $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ указывает на то, что угол $\alpha$ находится в III координатной четверти. В этой четверти $\operatorname{tg}(\alpha)$ положителен, что соответствует условию. Для вычисления искомых величин будем использовать формулы двойного угла, которые выражают тригонометрические функции через тангенс одинарного угла. Это позволяет избежать нахождения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ по отдельности.

sin2α

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:

$\sin(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}(\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2(\alpha)}$

Подставим значение $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{12}{5}$ в формулу:

$\sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{12}{5}}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{\frac{24}{5}}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{25 + 144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{169}{25}} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{169} = \frac{24 \cdot 5}{169} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = \frac{120}{169}$.

cos2α

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2(\alpha)}$

Подставим значение $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{12}{5}$ в формулу:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - (\frac{12}{5})^2}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1 - \frac{144}{25}}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{\frac{25 - 144}{25}}{\frac{25 + 144}{25}} = \frac{-\frac{119}{25}}{\frac{169}{25}} = -\frac{119}{169}$.

Ответ: $\cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}$.

ctg2α

Котангенс двойного угла можно вычислить как отношение косинуса двойного угла к синусу двойного угла:

$\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$

Используя ранее найденные значения $\sin(2\alpha) = \frac{120}{169}$ и $\cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}$:

$\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{-\frac{119}{169}}{\frac{120}{169}} = -\frac{119}{120}$.

Ответ: $\operatorname{ctg}(2\alpha) = -\frac{119}{120}$.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти несколькими способами. Например, как величину, обратную котангенсу двойного угла:

$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(2\alpha)} = \frac{1}{-\frac{119}{120}} = -\frac{120}{119}$.

Другой способ — использовать формулу тангенса двойного угла:

$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}(\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}$

Подставим $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{12}{5}$:

$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{12}{5}}{1 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{\frac{24}{5}}{1 - \frac{144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{25 - 144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}} = \frac{24}{5} \cdot \left(-\frac{25}{119}\right) = -\frac{24 \cdot 5}{119} = -\frac{120}{119}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha) = -\frac{120}{119}$.

26.8. Найдите значения: $sin\alpha$, $cos\alpha$, $tg\alpha$, если $tg\frac{\alpha}{2}=0.5$.

Для нахождения значений $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\tg\alpha$, зная значение $\tg\frac{\alpha}{2}$, воспользуемся формулами выражения тригонометрических функций через тангенс половинного угла (универсальная тригонометрическая подстановка).

Дано: $\tg\frac{\alpha}{2} = 0,5 = \frac{1}{2}$.

sinα

Используем формулу: $\sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$.

Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 0,5$:

$\sin\alpha = \frac{2 \cdot 0,5}{1 + (0,5)^2} = \frac{1}{1 + 0,25} = \frac{1}{1,25}$

Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$\sin\alpha = \frac{1}{1,25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: $\sin\alpha = 0,8$.

cosα

Используем формулу: $\cos\alpha = \frac{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$.

Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 0,5$:

$\cos\alpha = \frac{1 - (0,5)^2}{1 + (0,5)^2} = \frac{1 - 0,25}{1 + 0,25} = \frac{0,75}{1,25}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$\cos\alpha = \frac{0,75}{1,25} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} = 0,6$.

Ответ: $\cos\alpha = 0,6$.

tgα

Значение тангенса можно найти двумя способами:

1. По формуле двойного угла для тангенса: $\tg\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}$.

$\tg\alpha = \frac{2 \cdot 0,5}{1 - (0,5)^2} = \frac{1}{1 - 0,25} = \frac{1}{0,75} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

2. Используя уже найденные значения синуса и косинуса, по определению тангенса: $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\tg\alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8/10}{6/10} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\tg\alpha = \frac{4}{3}$.

26.9. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \cos 2\alpha; $

2) $ \sin 2\beta - \operatorname{tg} \beta - \cos 2\beta \operatorname{tg} \beta; $

3) $ \operatorname{ctg} \varphi - \sin 2\varphi - \operatorname{ctg} \varphi \cos 2\varphi; $

4) $ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha}; $

5) $ (\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2; $

6) $ 1 + \frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x}; $

7) $ \cos \alpha (\cos \alpha + \cos \beta) + \sin \alpha (\sin \alpha + \sin \beta); $

8) $ 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2\operatorname{ctg} 2\alpha; $

9) $ \cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos 2\alpha; $

10) $ \operatorname{ctg} 2\alpha - \operatorname{ctg} \alpha. $

1) Используем формулу косинуса двойного угла $cos2α = cos²α - sin²α$.Подставим это в исходное выражение:$cos²α - sin²α - cos2α = (cos²α - sin²α) - cos2α = cos2α - cos2α = 0$.
Ответ: $0$.

2) Сгруппируем слагаемые с $tgβ$ и вынесем его за скобки:$sin2β - tgβ - cos2β tgβ = sin2β - tgβ(1 + cos2β)$.Применим формулы двойного угла: $sin2β = 2sinβcosβ$ и $1 + cos2β = 2cos²β$. Также используем определение тангенса $tgβ = \frac{sinβ}{cosβ}$.$2sinβcosβ - \frac{sinβ}{cosβ} \cdot (2cos²β) = 2sinβcosβ - 2sinβcosβ = 0$.
Ответ: $0$.

3) Сгруппируем слагаемые с $ctgΦ$ и вынесем его за скобки:$ctgΦ - sin2Φ - ctgΦ cos2Φ = ctgΦ(1 - cos2Φ) - sin2Φ$.Применим формулы двойного угла: $1 - cos2Φ = 2sin²Φ$ и $sin2Φ = 2sinΦcosΦ$. Также используем определение котангенса $ctgΦ = \frac{cosΦ}{sinΦ}$.$\frac{cosΦ}{sinΦ} \cdot (2sin²Φ) - 2sinΦcosΦ = 2cosΦsinΦ - 2sinΦcosΦ = 0$.
Ответ: $0$.

4) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - tgα)(1 + tgα) = 1 - tg²α$:$\frac{1}{1 - tgα} - \frac{1}{1 + tgα} = \frac{(1 + tgα) - (1 - tgα)}{(1 - tgα)(1 + tgα)} = \frac{1 + tgα - 1 + tgα}{1 - tg²α} = \frac{2tgα}{1 - tg²α}$.Используем формулу тангенса двойного угла $tg2α = \frac{2tgα}{1 - tg²α}$.Таким образом, выражение равно $tg2α$.
Ответ: $tg2α$.

5) Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:$(sinα - sinβ)² + (cosα - cosβ)² = (sin²α - 2sinαsinβ + sin²β) + (cos²α - 2cosαcosβ + cos²β)$.Сгруппируем слагаемые:$(sin²α + cos²α) + (sin²β + cos²β) - 2(cosαcosβ + sinαsinβ)$.Применим основное тригонометрическое тождество $sin²θ + cos²θ = 1$ и формулу косинуса разности $cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$.$1 + 1 - 2cos(α - β) = 2 - 2cos(α - β)$.Это выражение можно также преобразовать, используя формулу понижения степени: $2(1 - cos(α - β)) = 2 \cdot 2sin²(\frac{α - β}{2}) = 4sin²(\frac{α - β}{2})$. Оба ответа эквивалентны.
Ответ: $2 - 2cos(α - β)$.

6) Сначала приведем все выражение к общему знаменателю:$1 + \frac{1 - cos2x + sin2x}{1 + cos2x + sin2x} = \frac{(1 + cos2x + sin2x) + (1 - cos2x + sin2x)}{1 + cos2x + sin2x} = \frac{2 + 2sin2x}{1 + cos2x + sin2x}$.Используем формулы двойного угла: $sin2x = 2sinxcosx$, $1+cos2x = 2cos²x$, а также основное тригонометрическое тождество $1 = sin²x + cos²x$.Преобразуем числитель: $2 + 2sin2x = 2(1 + sin2x) = 2(sin²x + cos²x + 2sinxcosx) = 2(sinx + cosx)²$.Преобразуем знаменатель: $1 + cos2x + sin2x = (1 + cos2x) + sin2x = 2cos²x + 2sinxcosx = 2cosx(cosx + sinx)$.Подставим преобразованные части в дробь:$\frac{2(sinx + cosx)²}{2cosx(cosx + sinx)} = \frac{sinx + cosx}{cosx} = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{cosx} = tgx + 1$.
Ответ: $1 + tgx$.

7) Раскроем скобки:$cosα(cosα + cosβ) + sinα(sinα + sinβ) = cos²α + cosαcosβ + sin²α + sinαsinβ$.Сгруппируем слагаемые:$(cos²α + sin²α) + (cosαcosβ + sinαsinβ)$.Используем основное тригонометрическое тождество $cos²α + sin²α = 1$ и формулу косинуса разности $cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$.$1 + cos(α - β)$.
Ответ: $1 + cos(α - β)$.

8) Заменим дроби на котангенс и тангенс:$1 + \frac{cosα}{sinα} - \frac{sinα}{cosα} - 2ctg2α = 1 + ctgα - tgα - 2ctg2α$.Упростим разность $ctgα - tgα$:$ctgα - tgα = \frac{cosα}{sinα} - \frac{sinα}{cosα} = \frac{cos²α - sin²α}{sinαcosα} = \frac{cos2α}{\frac{1}{2}sin2α} = 2\frac{cos2α}{sin2α} = 2ctg2α$.Подставим это обратно в выражение:$1 + (2ctg2α) - 2ctg2α = 1$.
Ответ: $1$.

9) Используем формулу синуса двойного угла $sin(2θ) = 2sinθcosθ$. Для угла $\frac{α}{2}$ она выглядит как $sinα = 2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}$.Преобразуем средний член выражения:$4sin²\frac{α}{2}cos²\frac{α}{2} = (2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2})² = (sinα)² = sin²α$.Теперь подставим это в исходное выражение:$cos²α - sin²α - cos2α$.Используем формулу косинуса двойного угла $cos2α = cos²α - sin²α$.$(cos²α - sin²α) - cos2α = cos2α - cos2α = 0$.
Ответ: $0$.

10) Представим котангенсы в виде отношения косинуса к синусу и приведем к общему знаменателю:$ctg2α - ctgα = \frac{cos2α}{sin2α} - \frac{cosα}{sinα} = \frac{cos2α \cdot sinα - cosα \cdot sin2α}{sin2α \cdot sinα}$.В числителе используем формулу синуса разности $sin(x - y) = sinxcosy - cosxsiny$.$\frac{sin(α - 2α)}{sin2α \cdot sinα} = \frac{sin(-α)}{sin2α \cdot sinα}$.Так как синус — нечетная функция, $sin(-α) = -sinα$.$\frac{-sinα}{sin2α \cdot sinα} = -\frac{1}{sin2α}$.
Ответ: $-\frac{1}{sin2α}$.