Номер 26.5, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.5. Выразите $ctg\frac{\alpha}{2}$ через:

1) $sin\alpha$ и $cos\alpha$;

2) $tg\alpha$;

3) $ctg\alpha$.

1) sinα и cosα

По определению котангенса имеем: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{cos{\frac{\alpha}{2}}}{sin{\frac{\alpha}{2}}}$.

Для выражения $ctg{\frac{\alpha}{2}}$ через $sin\alpha$ и $cos\alpha$ можно воспользоваться формулами двойного угла. Существует два эквивалентных способа получения итоговой формулы.

Способ 1. Умножим числитель и знаменатель дроби на $2sin{\frac{\alpha}{2}}$:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}{2sin^2{\frac{\alpha}{2}}}$

Используя формулу синуса двойного угла $sin\alpha = 2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}$ и формулу понижения степени для синуса $2sin^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 - cos\alpha$, получаем:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{sin\alpha}{1 - cos\alpha}$

Способ 2. Умножим числитель и знаменатель на $2cos{\frac{\alpha}{2}}$:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}$

Используя формулу понижения степени для косинуса $2cos^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 + cos\alpha$ и ту же формулу синуса двойного угла, получаем:

$ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + cos\alpha}{sin\alpha}$

Обе полученные формулы являются верными и универсальными (при условии, что их знаменатели не обращаются в ноль).

Ответ: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{sin\alpha}{1 - cos\alpha} = \frac{1 + cos\alpha}{sin\alpha}$.

2) tgα

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла $tg\alpha = tg(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{2tg{\frac{\alpha}{2}}}{1 - tg^2{\frac{\alpha}{2}}}$.

Так как $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{tg{\frac{\alpha}{2}}}$, мы можем выразить $tg{\frac{\alpha}{2}}$ через $ctg{\frac{\alpha}{2}}$. Обозначим $x = ctg{\frac{\alpha}{2}}$, тогда $tg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{x}$. Подставим это в формулу:

$tg\alpha = \frac{2/x}{1 - 1/x^2} = \frac{2/x}{(x^2-1)/x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$

Теперь выразим $x$ из полученного уравнения $tg\alpha = \frac{2x}{x^2-1}$:

$tg\alpha(x^2 - 1) = 2x$

$tg\alpha \cdot x^2 - 2x - tg\alpha = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x = ctg{\frac{\alpha}{2}}$. Решим его, используя стандартную формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(tg\alpha)(-tg\alpha)}}{2tg\alpha} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4tg^2\alpha}}{2tg\alpha}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4(1 + tg^2\alpha)}}{2tg\alpha} = \frac{2 \pm 2\sqrt{1 + tg^2\alpha}}{2tg\alpha} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + tg^2\alpha}}{tg\alpha}$

Знак $\pm$ в формуле необходим, поскольку функция $tg\alpha$ имеет период $\pi$, в то время как функция $ctg{\frac{\alpha}{2}}$ имеет период $2\pi$. Это означает, что одному значению $tg\alpha$ (которое одинаково для углов $\alpha$ и $\alpha+\pi$) соответствуют два разных значения $ctg{\frac{\alpha}{2}}$ и $ctg(\frac{\alpha+\pi}{2}) = ctg(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}) = -tg(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{1}{ctg(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + tg^2\alpha}}{tg\alpha}$.

3) ctgα

Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $ctg(2x) = \frac{ctg^2x - 1}{2ctgx}$.

Положим $x = \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = \alpha$. Формула примет вид:

$ctg\alpha = \frac{ctg^2{\frac{\alpha}{2}} - 1}{2ctg{\frac{\alpha}{2}}}$

Обозначим $y = ctg{\frac{\alpha}{2}}$ и решим получившееся уравнение относительно $y$:

$ctg\alpha = \frac{y^2 - 1}{2y}$

$2y \cdot ctg\alpha = y^2 - 1$

$y^2 - (2ctg\alpha) \cdot y - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$, решим его:

$y = \frac{-(-2ctg\alpha) \pm \sqrt{(-2ctg\alpha)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$y = \frac{2ctg\alpha \pm \sqrt{4ctg^2\alpha + 4}}{2} = \frac{2ctg\alpha \pm \sqrt{4(ctg^2\alpha + 1)}}{2}$

$y = \frac{2ctg\alpha \pm 2\sqrt{ctg^2\alpha + 1}}{2} = ctg\alpha \pm \sqrt{ctg^2\alpha + 1}$

Как и в предыдущем пункте, наличие знака $\pm$ обусловлено различием в периодах функций $ctg\alpha$ и $ctg{\frac{\alpha}{2}}$.

Ответ: $ctg{\frac{\alpha}{2}} = ctg\alpha \pm \sqrt{ctg^2\alpha + 1}$.