Номер 25.20, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.20. Упростите выражение:

1) $\sin\beta + \cos\beta + \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$;

2) $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta + 2\cos(\beta - 30^\circ).$

1) Упростим выражение $ \sin\beta + \cos\beta + \sqrt{2}\sin(45^\circ - \beta) $.
Для этого воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
Применим эту формулу к члену $ \sqrt{2}\sin(45^\circ - \beta) $.
$ \sin(45^\circ - \beta) = \sin(45^\circ)\cos\beta - \cos(45^\circ)\sin\beta $
Так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, мы можем подставить эти значения в формулу:
$ \sin(45^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta $
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$ \sin\beta + \cos\beta + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta\right) $
Раскроем скобки, умножив $ \sqrt{2} $ на каждый член в скобках:
$ \sin\beta + \cos\beta + \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\sin\beta $
$ \sin\beta + \cos\beta + \frac{2}{2}\cos\beta - \frac{2}{2}\sin\beta $
$ \sin\beta + \cos\beta + \cos\beta - \sin\beta $
Приведем подобные слагаемые:
$ (\sin\beta - \sin\beta) + (\cos\beta + \cos\beta) = 0 + 2\cos\beta = 2\cos\beta $
Ответ: $ 2\cos\beta $.

2) Упростим выражение $ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta + 2\cos(\beta - 30^\circ) $.
Рассмотрим первую часть выражения: $ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta $. Преобразуем ее, применив метод вспомогательного угла. Вынесем $ 2 $ за скобки:
$ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta + \frac{1}{2}\sin\beta\right) $
Мы знаем табличные значения тригонометрических функций: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $. Заменим дроби в скобках:
$ 2(\cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta) $
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса разности: $ \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) $. В нашем случае $ \alpha = \beta $ и $ \beta = 30^\circ $, поэтому выражение можно записать как $ \cos(\beta - 30^\circ) $.
Таким образом, $ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta = 2\cos(\beta - 30^\circ) $.
Теперь подставим это преобразование в исходное выражение:
$ 2\cos(\beta - 30^\circ) + 2\cos(\beta - 30^\circ) $
Сложив два одинаковых члена, получаем:
$ 4\cos(\beta - 30^\circ) $
Ответ: $ 4\cos(\beta - 30^\circ) $.