Номер 26.1, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.1. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 2x}{2 \cos x};$

2) $\frac{2 \sin^2 x}{\sin 2x};$

3) $\sin^2 x - \cos^2 x;$

4) $\frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x};$

5) $\frac{\sin 2\alpha - 2 \sin \alpha}{\cos \alpha - 1};$

6) $\frac{\cos \alpha - \sin 2\alpha}{1 - 2 \sin \alpha};$

7) $\frac{(\sin x - \cos x)^2}{1 - \sin 2x};$

8) $\frac{\cos 2\alpha \cdot \text{tg } 2\alpha}{2 \sin \alpha};$

9) $\frac{2 \cos x \cos 2x}{\text{ctg } 2x}.$

1) Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

$\frac{\sin{2x}}{2\cos{x}} = \frac{2\sin{x}\cos{x}}{2\cos{x}}$

Сократим дробь на $2\cos{x}$ (при условии, что $\cos{x} \ne 0$):

$\frac{2\sin{x}\cos{x}}{2\cos{x}} = \sin{x}$

Ответ: $\sin{x}$

2) Снова используем формулу синуса двойного угла: $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

$\frac{2\sin^2{x}}{\sin{2x}} = \frac{2\sin^2{x}}{2\sin{x}\cos{x}}$

Сократим дробь на $2\sin{x}$ (при условии, что $\sin{x} \ne 0$):

$\frac{2\sin{x} \cdot \sin{x}}{2\sin{x}\cos{x}} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

По определению тангенса $\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$, поэтому выражение равно $\tan{x}$.

Ответ: $\tan{x}$

3) Вынесем минус за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$.

$\sin^2{x} - \cos^2{x} = -(\cos^2{x} - \sin^2{x}) = -\cos{2x}$

Ответ: $-\cos{2x}$

4) В числителе применим формулу косинуса двойного угла $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$, а затем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{\cos{2x}}{\sin{x} - \cos{x}} = \frac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\sin{x} - \cos{x}} = \frac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{-(\cos{x} - \sin{x})}$

Сократим дробь на $(\cos{x} - \sin{x})$ (при условии, что $\cos{x} - \sin{x} \ne 0$):

$\frac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{-(\cos{x} - \sin{x})} = -(\cos{x} + \sin{x})$

Ответ: $-(\sin{x} + \cos{x})$

5) В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ и вынесем общий множитель за скобки.

$\frac{\sin{2\alpha} - 2\sin{\alpha}}{\cos{\alpha} - 1} = \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha} - 2\sin{\alpha}}{\cos{\alpha} - 1} = \frac{2\sin{\alpha}(\cos{\alpha} - 1)}{\cos{\alpha} - 1}$

Сократим дробь на $(\cos{\alpha} - 1)$ (при условии, что $\cos{\alpha} \ne 1$):

$\frac{2\sin{\alpha}(\cos{\alpha} - 1)}{\cos{\alpha} - 1} = 2\sin{\alpha}$

Ответ: $2\sin{\alpha}$

6) В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ и вынесем общий множитель за скобки.

$\frac{\cos{\alpha} - \sin{2\alpha}}{1 - 2\sin{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha} - 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{1 - 2\sin{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha}(1 - 2\sin{\alpha})}{1 - 2\sin{\alpha}}$

Сократим дробь на $(1 - 2\sin{\alpha})$ (при условии, что $1 - 2\sin{\alpha} \ne 0$):

$\frac{\cos{\alpha}(1 - 2\sin{\alpha})}{1 - 2\sin{\alpha}} = \cos{\alpha}$

Ответ: $\cos{\alpha}$

7) Раскроем квадрат разности в числителе. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2{x} + \cos^2{x}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

$(\sin{x} - \cos{x})^2 = \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = (\sin^2{x} + \cos^2{x}) - 2\sin{x}\cos{x} = 1 - \sin{2x}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{(\sin{x} - \cos{x})^2}{1 - \sin{2x}} = \frac{1 - \sin{2x}}{1 - \sin{2x}} = 1$ (при условии, что $1 - \sin{2x} \ne 0$).

Ответ: $1$

8) Используем определение тангенса $\tan{2\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

$\frac{\cos{2\alpha} \cdot \tan{2\alpha}}{2\sin{\alpha}} = \frac{\cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}}{2\sin{\alpha}} = \frac{\sin{2\alpha}}{2\sin{\alpha}}$

Подставим формулу двойного угла:

$\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = \cos{\alpha}$ (при условии, что $\cos{2\alpha} \ne 0$ и $\sin{\alpha} \ne 0$).

Ответ: $\cos{\alpha}$

9) Используем определение котангенса $\text{ctg}{2x} = \frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}$.

$\frac{2\cos{x}\cos{2x}}{\text{ctg}{2x}} = \frac{2\cos{x}\cos{2x}}{\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}} = 2\cos{x}\cos{2x} \cdot \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}$

Сократим на $\cos{2x}$ (при условии, что $\cos{2x} \ne 0$):

$2\cos{x}\sin{2x}$

Для дальнейшего упрощения применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.

$2\cos{x}\sin{2x} = \sin(x+2x) - \sin(x-2x) = \sin(3x) - \sin(-x)$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin{x}$.

$\sin(3x) - (-\sin{x}) = \sin(3x) + \sin{x}$

Ответ: $\sin(3x) + \sin{x}$