Номер 25.21, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.21. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg} 5 \beta - \operatorname{tg} 3 \beta}{1 + \operatorname{tg} 5 \beta \cdot \operatorname{tg} 3 \beta} = \operatorname{tg} 2 \beta;$

2) $\frac{\operatorname{tg}^2 3 \beta - \operatorname{tg}^2 \beta}{1 - \operatorname{tg}^2 3 \beta \cdot \operatorname{tg}^2 \beta} = \operatorname{tg} 2 \beta \cdot \operatorname{tg} 4 \beta.$

1) Для доказательства данного тождества необходимо использовать формулу тангенса разности двух углов, которая имеет вид:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Рассмотрим левую часть доказываемого тождества:

$ \frac{\tg{5\beta} - \tg{3\beta}}{1 + \tg{5\beta} \cdot \tg{3\beta}} $

Данное выражение полностью соответствует правой части формулы тангенса разности, если принять $ \alpha = 5\beta $ и в качестве второго угла взять $ 3\beta $.

Применив формулу, "свернем" выражение:

$ \frac{\tg{5\beta} - \tg{3\beta}}{1 + \tg{5\beta} \cdot \tg{3\beta}} = \tg(5\beta - 3\beta) = \tg(2\beta) $

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства второго тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что и в числителе, и в знаменателе дроби используется формула разности квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

Левая часть тождества:

$ \frac{\tg^2{3\beta} - \tg^2{\beta}}{1 - \tg^2{3\beta} \cdot \tg^2{\beta}} $

Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю. В знаменателе $ a = 1 $, $ b = \tg{3\beta} \cdot \tg{\beta} $.

$ \frac{(\tg{3\beta} - \tg{\beta})(\tg{3\beta} + \tg{\beta})}{(1 - \tg{3\beta}\tg{\beta})(1 + \tg{3\beta}\tg{\beta})} $

Перегруппируем множители, чтобы получить выражения, похожие на формулы тангенса суммы и разности:

$ \left( \frac{\tg{3\beta} - \tg{\beta}}{1 + \tg{3\beta}\tg{\beta}} \right) \cdot \left( \frac{\tg{3\beta} + \tg{\beta}}{1 - \tg{3\beta}\tg{\beta}} \right) $

Теперь воспользуемся формулами тангенса разности и суммы углов:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Применяя эти формулы к нашим множителям, получаем:

Первый множитель: $ \frac{\tg{3\beta} - \tg{\beta}}{1 + \tg{3\beta}\tg{\beta}} = \tg(3\beta - \beta) = \tg(2\beta) $

Второй множитель: $ \frac{\tg{3\beta} + \tg{\beta}}{1 - \tg{3\beta}\tg{\beta}} = \tg(3\beta + \beta) = \tg(4\beta) $

Перемножив результаты, получаем выражение, стоящее в правой части исходного тождества:

$ \tg(2\beta) \cdot \tg(4\beta) $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.