Номер 25.17, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.17. Решите неравенство:

1) $x^2 + 3|x| - 18 \ge 0;$

2) $x^2 - 2|x - 2| - 9 \le 0.$

1) Решим неравенство $x^2 + 3|x| - 18 \geq 0$.

Так как $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать неравенство в виде:$|x|^2 + 3|x| - 18 \geq 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Поскольку модуль любого числа неотрицателен, то $t \geq 0$.С новой переменной неравенство принимает вид квадратного неравенства:$t^2 + 3t - 18 \geq 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 3t - 18 = 0$.Используя теорему Виета, получаем корни:$t_1 = -6$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 + 3t - 18$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + 3t - 18 \geq 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t \leq -6$ или $t \geq 3$.

Теперь учтем условие $t \geq 0$:
1. Система $\begin{cases} t \leq -6 \\ t \geq 0 \end{cases}$ не имеет решений.
2. Система $\begin{cases} t \geq 3 \\ t \geq 0 \end{cases}$ дает решение $t \geq 3$.

Таким образом, единственное решение для $t$ — это $t \geq 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:$|x| \geq 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$x \geq 3$ или $x \leq -3$.

Решением является объединение этих промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2) Решим неравенство $x^2 - 2|x - 2| - 9 \leq 0$.

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$.В этом случае $|x - 2| = x - 2$. Неравенство принимает вид:$x^2 - 2(x - 2) - 9 \leq 0$$x^2 - 2x + 4 - 9 \leq 0$$x^2 - 2x - 5 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:$D = (-2)^2 - 4(1)(-5) = 4 + 20 = 24$.Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 5$ ветвями направлена вверх, значит, решение неравенства $x^2 - 2x - 5 \leq 0$ находится между корнями: $1 - \sqrt{6} \leq x \leq 1 + \sqrt{6}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием данного случая $x \geq 2$.Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $1+\sqrt{6} \approx 1+2.45 = 3.45 > 2$, а $1-\sqrt{6} \approx 1-2.45 = -1.45 < 2$.Пересечением множеств $[1 - \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6}]$ и $[2, +\infty)$ является промежуток $[2, 1 + \sqrt{6}]$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.$x - 2 < 0 \implies x < 2$.В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Неравенство принимает вид:$x^2 - 2(2 - x) - 9 \leq 0$$x^2 - 4 + 2x - 9 \leq 0$$x^2 + 2x - 13 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 13 = 0$:$D = 2^2 - 4(1)(-13) = 4 + 52 = 56$.Корни: $x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -1 \pm \sqrt{14}$.

Решение неравенства $x^2 + 2x - 13 \leq 0$: $-1 - \sqrt{14} \leq x \leq -1 + \sqrt{14}$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < 2$.Так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $-1 + \sqrt{14} \approx -1+3.74 = 2.74 > 2$.Пересечением множеств $[-1 - \sqrt{14}, -1 + \sqrt{14}]$ и $(-\infty, 2)$ является промежуток $[-1 - \sqrt{14}, 2)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:$[2, 1 + \sqrt{6}] \cup [-1 - \sqrt{14}, 2) = [-1 - \sqrt{14}, 1 + \sqrt{6}]$.

Ответ: $x \in [-1 - \sqrt{14}, 1 + \sqrt{6}]$.