Номер 26.10, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.10. Преобразуйте выражение:

1) $4\sin^2 1^\circ \cos^2 1^\circ - \cos^2 2^\circ;$

2) $16\sin^2 3^\circ \cos^2 3^\circ \cos^2 6^\circ;$

3) $(\sin10^\circ + \sin 80^\circ) (\cos 80^\circ - \cos10^\circ);$

4) $(\cos5^\circ + \cos95^\circ) (\sin85^\circ + \sin175^\circ);$

5) $\frac{\cos36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1;$

6) $\frac{\cos56^\circ}{\cos28^\circ + \sin28^\circ} + \sin28^\circ.$

1) $4\sin^2 1^\circ\cos^2 1^\circ - \cos^2 2^\circ$

Сначала преобразуем первое слагаемое. Для этого воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$4\sin^2 1^\circ\cos^2 1^\circ = (2\sin 1^\circ\cos 1^\circ)^2$

Применяя формулу, получаем:

$(2\sin 1^\circ\cos 1^\circ)^2 = (\sin(2 \cdot 1^\circ))^2 = \sin^2 2^\circ$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sin^2 2^\circ - \cos^2 2^\circ$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы получить формулу косинуса двойного угла:

$-(\cos^2 2^\circ - \sin^2 2^\circ)$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$-(\cos(2 \cdot 2^\circ)) = -\cos 4^\circ$

Ответ: $-\cos 4^\circ$.

2) $16\sin^2 3^\circ\cos^2 3^\circ\cos^2 6^\circ$

Перегруппируем множители и используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$16\sin^2 3^\circ\cos^2 3^\circ\cos^2 6^\circ = 4 \cdot (4\sin^2 3^\circ\cos^2 3^\circ) \cdot \cos^2 6^\circ = 4 \cdot (2\sin 3^\circ\cos 3^\circ)^2 \cdot \cos^2 6^\circ$

Применяем формулу к выражению в скобках:

$4 \cdot (\sin(2 \cdot 3^\circ))^2 \cdot \cos^2 6^\circ = 4\sin^2 6^\circ\cos^2 6^\circ$

Снова перегруппируем и применим ту же формулу:

$(2\sin 6^\circ\cos 6^\circ)^2 = (\sin(2 \cdot 6^\circ))^2 = (\sin 12^\circ)^2 = \sin^2 12^\circ$

Ответ: $\sin^2 12^\circ$.

3) $(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)$

Воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить выражение. Заметим, что $80^\circ = 90^\circ - 10^\circ$.

$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$

$\cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(\sin 10^\circ + \cos 10^\circ)(\sin 10^\circ - \cos 10^\circ)$

Это выражение является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\sin^2 10^\circ - \cos^2 10^\circ$

Вынесем минус за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$-(\cos^2 10^\circ - \sin^2 10^\circ) = -\cos(2 \cdot 10^\circ) = -\cos 20^\circ$

Ответ: $-\cos 20^\circ$.

4) $(\cos 5^\circ + \cos 95^\circ)(\sin 85^\circ + \sin 175^\circ)$

Используем формулы приведения для преобразования аргументов.

$\cos 95^\circ = \cos(90^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ$

$\sin 85^\circ = \sin(90^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ$

$\sin 175^\circ = \sin(180^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставляем преобразованные функции в выражение:

$(\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)(\cos 5^\circ + \sin 5^\circ)$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\cos^2 5^\circ - \sin^2 5^\circ$

Это формула косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$\cos(2 \cdot 5^\circ) = \cos 10^\circ$

Ответ: $\cos 10^\circ$.

5) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{(1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1 = \frac{1 - \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1 = 1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

6) $\frac{\cos 56^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ} + \sin 28^\circ$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{\cos 56^\circ + \sin 28^\circ(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ)}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\cos 56^\circ + \sin 28^\circ\cos 28^\circ + \sin^2 28^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ для $\cos 56^\circ$.

$\cos 56^\circ = \cos(2 \cdot 28^\circ) = \cos^2 28^\circ - \sin^2 28^\circ$

Подставим это в числитель:

$\frac{(\cos^2 28^\circ - \sin^2 28^\circ) + \sin 28^\circ\cos 28^\circ + \sin^2 28^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Упростим числитель, сократив $-\sin^2 28^\circ$ и $+\sin^2 28^\circ$:

$\frac{\cos^2 28^\circ + \sin 28^\circ\cos 28^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Вынесем в числителе общий множитель $\cos 28^\circ$:

$\frac{\cos 28^\circ(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ)}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Сократим дробь на $(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ)$:

$\cos 28^\circ$

Ответ: $\cos 28^\circ$.