Номер 23.32, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.32. Упростите выражение:

1) $cos(90^\circ + a) - 2sin(180^\circ + a) + \operatorname{ctg}(270^\circ + a) + \operatorname{tg}(360^\circ + a);$

2) $cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) - sin(2\pi - \alpha) + \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \operatorname{ctg}(2\pi + \alpha).$

1) Для упрощения данного выражения применим формулы приведения для тригонометрических функций. Разберем каждый член выражения по отдельности.

• Для $cos(90^\circ + \alpha)$: угол $90^\circ + \alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $90^\circ$, функция меняется на кофункцию (синус). Таким образом, $cos(90^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.

• Для $sin(180^\circ + \alpha)$: угол $180^\circ + \alpha$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $180^\circ$, функция не меняется. Таким образом, $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.

• Для $ctg(270^\circ + \alpha)$: угол $270^\circ + \alpha$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $270^\circ$, функция меняется на кофункцию (тангенс). Таким образом, $ctg(270^\circ + \alpha) = -tg(\alpha)$.

• Для $tg(360^\circ + \alpha)$: в силу периодичности тангенса (период $180^\circ$ или $360^\circ$), $tg(360^\circ + \alpha) = tg(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$cos(90^\circ + \alpha) - 2sin(180^\circ + \alpha) + ctg(270^\circ + \alpha) + tg(360^\circ + \alpha) = -sin(\alpha) - 2(-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) + tg(\alpha)$

Упростим полученное выражение:

$-sin(\alpha) + 2sin(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$

2) Для упрощения данного выражения также воспользуемся формулами приведения. Углы здесь заданы в радианах. Разберем каждый член выражения.

• Для $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Поскольку в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (синус). Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.

• Для $sin(2\pi - \alpha)$: угол $2\pi - \alpha$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $2\pi$, функция не меняется. Таким образом, $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$.

• Для $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс). Таким образом, $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.

• Для $ctg(2\pi + \alpha)$: в силу периодичности котангенса (период $\pi$ или $2\pi$), $ctg(2\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) - sin(2\pi - \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) \cdot ctg(2\pi + \alpha) = sin(\alpha) - (-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) \cdot ctg(\alpha)$

Упростим, используя основное тригонометрическое тождество $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$:

$sin(\alpha) + sin(\alpha) - (tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha)) = 2sin(\alpha) - 1$

Ответ: $2sin(\alpha) - 1$