Номер 23.25, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.25. Упростите выражение:

1) $ \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}2^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}88^\circ \cdot \text{tg}89^\circ; $

2) $ \text{ctg}1^\circ \cdot \text{ctg}2^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg}88^\circ \cdot \text{ctg}89^\circ; $

3) $ \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}3^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}87^\circ \cdot \text{tg}89^\circ; $

4) $ \text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}4^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg}86^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ. $

1) Для упрощения выражения $ \tg1^\circ \cdot \tg2^\circ \cdot \ldots \cdot \tg88^\circ \cdot \tg89^\circ $ воспользуемся формулой приведения $ \tg(90^\circ - \alpha) = \ctg\alpha $ и тождеством $ \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 $. Сгруппируем множители в пары: первый с последним, второй с предпоследним, и так далее.$ \tg1^\circ \cdot \tg89^\circ = \tg1^\circ \cdot \tg(90^\circ - 1^\circ) = \tg1^\circ \cdot \ctg1^\circ = 1 $$ \tg2^\circ \cdot \tg88^\circ = \tg2^\circ \cdot \tg(90^\circ - 2^\circ) = \tg2^\circ \cdot \ctg2^\circ = 1 $...$ \tg44^\circ \cdot \tg46^\circ = \tg44^\circ \cdot \tg(90^\circ - 44^\circ) = \tg44^\circ \cdot \ctg44^\circ = 1 $Всего в произведении 89 множителей. Мы можем составить 44 такие пары, произведение в каждой из которых равно 1. В центре останется один множитель, не имеющий пары: $ \tg45^\circ $.Так как $ \tg45^\circ = 1 $, то всё выражение равно произведению 44 единиц и $ \tg45^\circ $:$ (1)^{44} \cdot \tg45^\circ = 1 \cdot 1 = 1 $.Ответ: 1

2) Для упрощения выражения $ \ctg1^\circ \cdot \ctg2^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg88^\circ \cdot \ctg89^\circ $ используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Воспользуемся формулой приведения $ \ctg(90^\circ - \alpha) = \tg\alpha $ и тождеством $ \ctg\alpha \cdot \tg\alpha = 1 $. Сгруппируем множители в пары.$ \ctg1^\circ \cdot \ctg89^\circ = \ctg1^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 1^\circ) = \ctg1^\circ \cdot \tg1^\circ = 1 $$ \ctg2^\circ \cdot \ctg88^\circ = \ctg2^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 2^\circ) = \ctg2^\circ \cdot \tg2^\circ = 1 $...$ \ctg44^\circ \cdot \ctg46^\circ = \ctg44^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 44^\circ) = \ctg44^\circ \cdot \tg44^\circ = 1 $Всего в произведении 89 множителей. Мы можем составить 44 пары, произведение в каждой из которых равно 1. В центре остается множитель $ \ctg45^\circ $.Так как $ \ctg45^\circ = 1 $, то всё выражение равно:$ (1)^{44} \cdot \ctg45^\circ = 1 \cdot 1 = 1 $.Ответ: 1

3) В выражении $ \tg1^\circ \cdot \tg3^\circ \cdot \ldots \cdot \tg87^\circ \cdot \tg89^\circ $ представлены тангенсы нечетных углов от 1 до 89. Количество множителей равно $ (89 - 1)/2 + 1 = 44 + 1 = 45 $. Так как количество множителей нечетное, будет один центральный элемент.Применим тот же метод группировки, используя тождество $ \tg\alpha \cdot \tg(90^\circ - \alpha) = 1 $.$ \tg1^\circ \cdot \tg89^\circ = 1 $$ \tg3^\circ \cdot \tg87^\circ = 1 $...Центральный угол можно найти как среднее арифметическое первого и последнего углов: $ (1^\circ + 89^\circ)/2 = 45^\circ $. Таким образом, центральный множитель - это $ \tg45^\circ $.Всего можно составить $ (45 - 1)/2 = 22 $ пары, произведение в каждой из которых равно 1.Выражение равно произведению 22 единиц и $ \tg45^\circ $.Так как $ \tg45^\circ = 1 $, то результат равен:$ (1)^{22} \cdot \tg45^\circ = 1 \cdot 1 = 1 $.Ответ: 1

4) В выражении $ \ctg2^\circ \cdot \ctg4^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg86^\circ \cdot \ctg88^\circ $ представлены котангенсы четных углов от 2 до 88. Количество множителей равно $ (88 - 2)/2 + 1 = 43 + 1 = 44 $. Так как количество множителей четное, все они разобьются на пары без остатка.Используем тождество $ \ctg\alpha \cdot \ctg(90^\circ - \alpha) = 1 $.$ \ctg2^\circ \cdot \ctg88^\circ = \ctg2^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 2^\circ) = \ctg2^\circ \cdot \tg2^\circ = 1 $$ \ctg4^\circ \cdot \ctg86^\circ = \ctg4^\circ \cdot \ctg(90^\circ - 4^\circ) = \ctg4^\circ \cdot \tg4^\circ = 1 $...Всего 44 множителя, которые образуют $ 44/2 = 22 $ пары. Произведение в каждой паре равно 1.Следовательно, всё выражение равно:$ (1)^{22} = 1 $.Ответ: 1