Номер 23.19, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.19. Упростите и найдите значение выражения:

1) $\mathrm{tg}(\pi - \alpha) - 2\mathrm{tg}(-\alpha)$ при $\alpha = -45^\circ$;

2) $\mathrm{ctg}(2\pi - \alpha) - 2\mathrm{tg}(-2\alpha)$ при $\alpha = 30^\circ$;

3) $\mathrm{cos}(3\pi - \alpha) - 4\mathrm{sin}(-\alpha)$ при $\alpha = -45^\circ$;

4) $\mathrm{cos}(3\pi - \alpha) - 3\mathrm{sin}(-\alpha)$ при $\alpha = -30^\circ$.

1) Сначала упростим выражение $tg(\pi - a) - 2tg(-a)$.

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$tg(\pi - a) = -tg(a)$ (так как тангенс имеет период $\pi$ и отрицателен во второй четверти).

$tg(-a) = -tg(a)$ (так как тангенс — нечетная функция).

Подставляем эти выражения в исходное:

$-tg(a) - 2(-tg(a)) = -tg(a) + 2tg(a) = tg(a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $tg(a)$ при $a = -45°$.

$tg(-45°) = -tg(45°) = -1$.

Ответ: -1

2) Сначала упростим выражение $ctg(2\pi - a) - 2tg(-2a)$.

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$ctg(2\pi - a) = -ctg(a)$ (так как котангенс имеет период $\pi$, $ctg(2\pi - a) = ctg(-a)$, а котангенс — нечетная функция).

$tg(-2a) = -tg(2a)$ (так как тангенс — нечетная функция).

Подставляем эти выражения в исходное:

$-ctg(a) - 2(-tg(2a)) = -ctg(a) + 2tg(2a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = 30°$.

$-ctg(30°) + 2tg(2 \cdot 30°) = -ctg(30°) + 2tg(60°)$.

Зная, что $ctg(30°) = \sqrt{3}$ и $tg(60°) = \sqrt{3}$, получаем:

$-\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

3) Сначала упростим выражение $cos(3\pi - a) - 4sin(-a)$.

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

$cos(3\pi - a) = cos(2\pi + \pi - a) = cos(\pi - a) = -cos(a)$ (так как косинус имеет период $2\pi$ и отрицателен во второй четверти).

$sin(-a) = -sin(a)$ (так как синус — нечетная функция).

Подставляем эти выражения в исходное:

$-cos(a) - 4(-sin(a)) = -cos(a) + 4sin(a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -45°$.

$-cos(-45°) + 4sin(-45°)$.

Используем свойства четности и нечетности: $cos(-45°) = cos(45°)$ и $sin(-45°) = -sin(45°)$.

$-cos(45°) + 4(-sin(45°)) = -cos(45°) - 4sin(45°)$.

Зная, что $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2} = \frac{-\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{5\sqrt{2}}{2}$

4) Сначала упростим выражение $cos(3\pi - a) - 3sin(-a)$.

Упрощение аналогично предыдущему пункту:

$cos(3\pi - a) = -cos(a)$.

$sin(-a) = -sin(a)$.

Подставляем в исходное выражение:

$-cos(a) - 3(-sin(a)) = -cos(a) + 3sin(a)$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -30°$.

$-cos(-30°) + 3sin(-30°)$.

Используем свойства четности и нечетности: $cos(-30°) = cos(30°)$ и $sin(-30°) = -sin(30°)$.

$-cos(30°) + 3(-sin(30°)) = -cos(30°) - 3sin(30°)$.

Зная, что $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$