Номер 23.27, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.27. Вычислите:

1) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ;$

2) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 60^\circ + \dots + \tan 160^\circ + \tan 180^\circ;$

3) $\cot 15^\circ + \cot 30^\circ + \cot 45^\circ + \dots + \cot 150^\circ + \cot 165^\circ.$

1)

Рассмотрим сумму $S = \cos20^\circ + \cos40^\circ + \cos60^\circ + \dots + \cos160^\circ + \cos180^\circ$.

Углы в данной сумме образуют арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и шагом $20^\circ$. Полный список слагаемых выглядит так:

$S = \cos20^\circ + \cos40^\circ + \cos60^\circ + \cos80^\circ + \cos100^\circ + \cos120^\circ + \cos140^\circ + \cos160^\circ + \cos180^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. С ее помощью можно сгруппировать слагаемые попарно:

$\cos160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos20^\circ$

$\cos140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos40^\circ$

$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ$

$\cos100^\circ = \cos(180^\circ - 80^\circ) = -\cos80^\circ$

Теперь перепишем исходную сумму, сгруппировав слагаемые. Член $\cos180^\circ$ остается без пары.

$S = (\cos20^\circ + \cos160^\circ) + (\cos40^\circ + \cos140^\circ) + (\cos60^\circ + \cos120^\circ) + (\cos80^\circ + \cos100^\circ) + \cos180^\circ$

Подставим значения из формул приведения:

$S = (\cos20^\circ - \cos20^\circ) + (\cos40^\circ - \cos40^\circ) + (\cos60^\circ - \cos60^\circ) + (\cos80^\circ - \cos80^\circ) + \cos180^\circ$

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \cos180^\circ = \cos180^\circ$

Так как значение $\cos180^\circ = -1$, то итоговая сумма равна $-1$.

Ответ: $-1$

2)

Рассмотрим сумму $S = \operatorname{tg}20^\circ + \operatorname{tg}40^\circ + \operatorname{tg}60^\circ + \dots + \operatorname{tg}160^\circ + \operatorname{tg}180^\circ$.

Полный список слагаемых в этой сумме:

$S = \operatorname{tg}20^\circ + \operatorname{tg}40^\circ + \operatorname{tg}60^\circ + \operatorname{tg}80^\circ + \operatorname{tg}100^\circ + \operatorname{tg}120^\circ + \operatorname{tg}140^\circ + \operatorname{tg}160^\circ + \operatorname{tg}180^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$\operatorname{tg}160^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{tg}20^\circ$

$\operatorname{tg}140^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 40^\circ) = -\operatorname{tg}40^\circ$

...и так далее.

Перепишем сумму с учетом группировки. Член $\operatorname{tg}180^\circ$ остается без пары.

$S = (\operatorname{tg}20^\circ + \operatorname{tg}160^\circ) + (\operatorname{tg}40^\circ + \operatorname{tg}140^\circ) + (\operatorname{tg}60^\circ + \operatorname{tg}120^\circ) + (\operatorname{tg}80^\circ + \operatorname{tg}100^\circ) + \operatorname{tg}180^\circ$

Подставив значения из формул приведения, получим:

$S = (\operatorname{tg}20^\circ - \operatorname{tg}20^\circ) + (\operatorname{tg}40^\circ - \operatorname{tg}40^\circ) + (\operatorname{tg}60^\circ - \operatorname{tg}60^\circ) + (\operatorname{tg}80^\circ - \operatorname{tg}80^\circ) + \operatorname{tg}180^\circ$

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + \operatorname{tg}180^\circ = \operatorname{tg}180^\circ$

Так как значение $\operatorname{tg}180^\circ = 0$, то итоговая сумма равна $0$.

Ответ: $0$

3)

Рассмотрим сумму $S = \operatorname{ctg}15^\circ + \operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{ctg}45^\circ + \dots + \operatorname{ctg}150^\circ + \operatorname{ctg}165^\circ$.

Углы в данной сумме образуют арифметическую прогрессию с шагом $15^\circ$. Полный список слагаемых (всего 11 членов):

$S = \operatorname{ctg}15^\circ + \operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{ctg}45^\circ + \operatorname{ctg}60^\circ + \operatorname{ctg}75^\circ + \operatorname{ctg}90^\circ + \operatorname{ctg}105^\circ + \operatorname{ctg}120^\circ + \operatorname{ctg}135^\circ + \operatorname{ctg}150^\circ + \operatorname{ctg}165^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно. Например, $\operatorname{ctg}165^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 15^\circ) = -\operatorname{ctg}15^\circ$.

Центральным членом суммы, который не имеет пары, является $\operatorname{ctg}90^\circ$. Перепишем сумму:

$S = (\operatorname{ctg}15^\circ + \operatorname{ctg}165^\circ) + (\operatorname{ctg}30^\circ + \operatorname{ctg}150^\circ) + (\operatorname{ctg}45^\circ + \operatorname{ctg}135^\circ) + (\operatorname{ctg}60^\circ + \operatorname{ctg}120^\circ) + (\operatorname{ctg}75^\circ + \operatorname{ctg}105^\circ) + \operatorname{ctg}90^\circ$

После подстановки значений из формул приведения:

$S = (\operatorname{ctg}15^\circ - \operatorname{ctg}15^\circ) + (\operatorname{ctg}30^\circ - \operatorname{ctg}30^\circ) + (\operatorname{ctg}45^\circ - \operatorname{ctg}45^\circ) + (\operatorname{ctg}60^\circ - \operatorname{ctg}60^\circ) + (\operatorname{ctg}75^\circ - \operatorname{ctg}75^\circ) + \operatorname{ctg}90^\circ$

$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + \operatorname{ctg}90^\circ = \operatorname{ctg}90^\circ$

Так как значение $\operatorname{ctg}90^\circ = 0$, то итоговая сумма равна $0$.

Ответ: $0$