Номер 23.28, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.28. Известно, что $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Вычислите:

1) $\sin\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$, если $\cos\alpha = -0,8$;

2) $\cos\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$, если $\sin\alpha = 0,6$;

3) $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, если $\text{tg}\alpha = -4$;

4) $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, если $\text{ctg}\alpha = -6$.

1) Дано: $cos \alpha = -0,8$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Так как угол $\alpha$ принадлежит второй координатной четверти, его синус должен быть положительным ($sin \alpha > 0$), а котангенс – отрицательным ($ctg \alpha < 0$). Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$. Поскольку $sin \alpha > 0$, выбираем положительное значение корня: $sin \alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$. Теперь найдем котангенс по формуле $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. $ctg \alpha = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $sin \alpha = 0,6$; $ctg \alpha = -\frac{4}{3}$.

2) Дано: $sin \alpha = 0,6$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус и котангенс должны быть отрицательными ($cos \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$). Для нахождения $cos \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$. Поскольку $cos \alpha < 0$, выбираем отрицательное значение корня: $cos \alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$. Найдем котангенс по формуле $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. $ctg \alpha = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $cos \alpha = -0,8$; $ctg \alpha = -\frac{4}{3}$.

3) Дано: $tg \alpha = -4$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($cos \alpha < 0$). Для нахождения $cos \alpha$ используем тождество $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$. $\frac{1}{cos^2\alpha} = 1 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$. Отсюда $cos^2\alpha = \frac{1}{17}$. Так как $cos \alpha < 0$, получаем $cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$. Теперь найдем синус из соотношения $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$, откуда $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$. $sin \alpha = (-4) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}$; $cos \alpha = -\frac{\sqrt{17}}{17}$.

4) Дано: $ctg \alpha = -6$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($cos \alpha < 0$). Для нахождения $sin \alpha$ используем тождество $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$. $\frac{1}{sin^2\alpha} = 1 + (-6)^2 = 1 + 36 = 37$. Отсюда $sin^2\alpha = \frac{1}{37}$. Так как $sin \alpha > 0$, получаем $sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{37}} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$. Теперь найдем косинус из соотношения $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$, откуда $cos \alpha = ctg \alpha \cdot sin \alpha$. $cos \alpha = (-6) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{37}}\right) = -\frac{6}{\sqrt{37}} = -\frac{6\sqrt{37}}{37}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{\sqrt{37}}{37}$; $cos \alpha = -\frac{6\sqrt{37}}{37}$.