Номер 24.14, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.14. Упростите выражение:

1) $ \cos\beta + \sin\beta - \sqrt{2} \sin (45^\circ + \beta); $

2) $ \cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \cos(60^\circ - \beta); $

3) $ \cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta); $

4) $ \sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \cos(30^\circ - \beta). $

1) $\cos\beta + \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ + \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\sin(45^\circ + \beta)$:

$\sin(45^\circ + \beta) = \sin 45^\circ \cos\beta + \cos 45^\circ \sin\beta$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения в выражение:

$\sin(45^\circ + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos\beta + \sin\beta - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)$

Упростим:

$\cos\beta + \sin\beta - \frac{2}{2}(\cos\beta + \sin\beta) = \cos\beta + \sin\beta - (\cos\beta + \sin\beta)$

$\cos\beta + \sin\beta - \cos\beta - \sin\beta = 0$

Ответ: 0

2) $\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \cos(60^\circ - \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\cos(60^\circ - \beta)$:

$\cos(60^\circ - \beta) = \cos 60^\circ \cos\beta + \sin 60^\circ \sin\beta$

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим эти значения:

$\cos(60^\circ - \beta) = \frac{1}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\beta$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \left(\frac{1}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\beta\right)$

Упростим, раскрыв скобки:

$\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\beta - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\beta$

$\cos\beta + \sqrt{3} \sin\beta - \cos\beta - \sqrt{3} \sin\beta = 0$

Ответ: 0

3) $\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\sin(45^\circ - \beta)$:

$\sin(45^\circ - \beta) = \sin 45^\circ \cos\beta - \cos 45^\circ \sin\beta$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$\sin(45^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

Упростим:

$\cos\beta - \sin\beta - \frac{2}{2}(\cos\beta - \sin\beta) = \cos\beta - \sin\beta - (\cos\beta - \sin\beta)$

$\cos\beta - \sin\beta - \cos\beta + \sin\beta = 0$

Ответ: 0

4) $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \cos(30^\circ - \beta)$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Раскроем $\cos(30^\circ - \beta)$:

$\cos(30^\circ - \beta) = \cos 30^\circ \cos\beta + \sin 30^\circ \sin\beta$

Зная, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, подставим эти значения:

$\cos(30^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\beta + \frac{1}{2} \sin\beta$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\beta + \frac{1}{2} \sin\beta\right)$

Упростим, раскрыв скобки:

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\beta - 2 \cdot \frac{1}{2} \sin\beta$

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - \sqrt{3} \cos\beta - \sin\beta = 0$

Ответ: 0