Номер 24.18, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.18. Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – углы треугольника, то верно равенство:

1) $\sin\alpha = \sin\beta \sin\gamma + \cos\beta \sin\gamma$;

2) $\cos\alpha = \sin\beta \sin\gamma - \cos\beta \cos\gamma$.

1)

В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Равенство $sin\alpha = sin\beta sin\gamma + cos\beta sin\gamma$ в общем случае неверно. Например, для равностороннего треугольника, где $\alpha = \beta = \gamma = \pi/3$, левая часть равна $sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$. Правая часть равна $sin(\pi/3)sin(\pi/3) + cos(\pi/3)sin(\pi/3) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3+\sqrt{3}}{4}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{3+\sqrt{3}}{4}$, равенство не выполняется.

Правильное равенство, которое, скорее всего, имелось в виду: $sin\alpha = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$. Докажем его.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан ($180^\circ$):

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Выразим из этого равенства угол $\alpha$:

$\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$

Теперь найдем синус угла $\alpha$, используя полученное выражение:

$sin\alpha = sin(\pi - (\beta + \gamma))$

Согласно формуле приведения $sin(\pi - x) = sinx$, получаем:

$sin\alpha = sin(\beta + \gamma)$

Далее, используем формулу синуса суммы двух углов $sin(x+y) = sinx cos y + cosx siny$:

$sin(\beta + \gamma) = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$

Таким образом, мы приходим к равенству:

$sin\alpha = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin\alpha = sin\beta cos\gamma + cos\beta sin\gamma$ доказано.

2)

Докажем равенство $cos\alpha = sin\beta sin\gamma - cos\beta cos\gamma$.

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна $\pi$:

$\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$

Найдем косинус угла $\alpha$:

$cos\alpha = cos(\pi - (\beta + \gamma))$

Применим формулу приведения $cos(\pi - x) = -cosx$:

$cos\alpha = -cos(\beta + \gamma)$

Теперь используем формулу косинуса суммы двух углов $cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny$:

$cos\alpha = -(cos\beta cos\gamma - sin\beta sin\gamma)$

Раскроем скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри:

$cos\alpha = -cos\beta cos\gamma + sin\beta sin\gamma$

Переставив слагаемые, получим требуемое равенство:

$cos\alpha = sin\beta sin\gamma - cos\beta cos\gamma$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $cos\alpha = sin\beta sin\gamma - cos\beta cos\gamma$ доказано.