Номер 24.16, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.16. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)};$

2) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)};$

3) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)};$

4) $\frac{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}.$

Для решения данных задач воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (формулы простаферезиса).

Основные формулы, которые нам понадобятся:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

Во всех задачах мы можем положить $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$. В этом случае:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$

1) Упростим выражение $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле разности синусов:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле суммы синусов:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2\cos\alpha\sin\beta}{2\sin\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \cot\alpha\tan\beta$.

Ответ: $\cot\alpha\tan\beta$.

2) Упростим выражение $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле суммы косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле разности косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = -2\sin\alpha\sin\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2\cos\alpha\cos\beta}{-2\sin\alpha\sin\beta} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = -\cot\alpha\cot\beta$.

Ответ: $-\cot\alpha\cot\beta$.

3) Упростим выражение $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле суммы синусов:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле суммы косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.

Ответ: $\tan\alpha$.

4) Упростим выражение $\frac{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}$.

Преобразуем числитель по формуле разности косинусов:

$\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\alpha\sin\beta$.

Преобразуем знаменатель по формуле разности синусов:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{-2\sin\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\sin\beta} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha$.

Ответ: $-\tan\alpha$.