Страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Например:

$ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ x + y^2 = 11 \end{cases} $

2. Какие способы применяют для решения систем, состоящих из линейного уравнения и уравнения второй степени?

Способ подстановки.

3. Какие способы применяют как для решения систем линейных уравнений с двумя переменными, так и для решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными?

Способ подстановки, графический способ.

1. Приведите пример системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система уравнений называется нелинейной, если хотя бы одно из входящих в нее уравнений является нелинейным. Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ является нелинейным, если переменные в нем содержатся в степени выше первой, или есть их произведение ($xy$), или переменные находятся под знаком корня, модуля, в показателе степени, внутри тригонометрической или логарифмической функции.

Приведем пример системы, где оба уравнения являются нелинейными. Пусть одно уравнение задает окружность, а второе — гиперболу.

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = 6\end{cases}$

В этой системе первое уравнение $x^2 + y^2 = 13$ является нелинейным, так как переменные $x$ и $y$ находятся во второй степени. Второе уравнение $xy = 6$ также является нелинейным, так как содержит произведение переменных. Таким образом, вся система является нелинейной.

Ответ:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = 6\end{cases}$

2. Какие способы применяют для решения систем, состоящих из линейного уравнения и уравнения второй степени?

Для решения систем, в которых одно уравнение линейное, а другое — второй степени, наиболее эффективным и распространенным является способ подстановки.

Алгоритм решения этим способом выглядит так:

1. Из линейного уравнения выражают одну переменную через другую. Например, из уравнения $ax + by = c$ выражают $y$ через $x$ (или наоборот): $y = \frac{c-ax}{b}$.

2. Полученное выражение подставляют в уравнение второй степени. Это приводит к уравнению с одной переменной, которое, как правило, является квадратным.

3. Решают полученное квадратное уравнение. В зависимости от дискриминанта оно может иметь два, один или не иметь действительных корней.

4. Найденные значения первой переменной подставляют в выражение, полученное на первом шаге, чтобы найти соответствующие значения второй переменной.

5. Записывают ответ в виде пар чисел $(x; y)$, которые являются решениями системы.

Помимо способа подстановки, иногда можно использовать графический способ. Он заключается в построении в одной системе координат графиков обоих уравнений (в данном случае это будет прямая и кривая второго порядка — парабола, окружность, эллипс или гипербола). Координаты точек пересечения графиков будут являться решениями системы. Этот метод нагляден, но обычно дает лишь приблизительные значения, поэтому для нахождения точных решений он используется реже.

Ответ: Основным способом решения таких систем является способ подстановки. Также может применяться графический способ.

3. Какие способы применяют как для решения систем линейных уравнений с двумя переменными, так и для решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными?

Существуют универсальные методы, которые применимы для решения как систем линейных, так и систем нелинейных уравнений. К таким методам относятся:

• Способ подстановки. Как было показано в ответе на предыдущий вопрос, этот метод эффективно работает для систем с нелинейными уравнениями. Он также является одним из основных методов решения систем линейных уравнений. Его суть всегда одна: выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

• Способ алгебраического сложения (вычитания). Этот метод заключается в почленном сложении или вычитании уравнений системы для того, чтобы исключить одну из переменных. Для этого уравнения могут предварительно домножаться на некоторые коэффициенты. Этот способ является ключевым для решения линейных систем, но он также успешно применяется и для некоторых типов нелинейных систем, где есть одинаковые члены. Например, в системе$\begin{cases}2x^2 + y = 8 \\x^2 + y = 5\end{cases}$можно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $y$ и получить простое уравнение $x^2 = 3$.

• Графический способ. Этот метод абсолютно универсален. Он заключается в построении графиков всех уравнений системы в одной координатной плоскости. Решениями системы являются координаты точек пересечения этих графиков. Метод работает для любых уравнений, для которых можно построить график, будь то прямая, парабола, окружность или более сложная кривая. Его главный недостаток — невысокая точность, зависящая от масштаба и аккуратности построения.

Ответ: Способ подстановки, способ сложения (вычитания) и графический способ.

2.1. Какая из пар чисел (-2; 3) и (1; 2) является решением системы уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 9, \\ 3x - 5y = -7; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 + y = 2, \\ -x^2 + 2y^2 = 14; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} -3x^2 + 2y^2 = 5, \\ x - 5y = -9? \end{cases}$

1) Чтобы определить, какая из пар чисел является решением системы уравнений $\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 9, \\ 3x - 5y = -7 \end{cases}$, необходимо подставить координаты каждой пары в оба уравнения системы.
Проверим пару $(-2; 3)$. Подставляем $x = -2$ и $y = 3$ в первое уравнение:
$(-2)^2 + 2 \cdot 3^2 = 4 + 2 \cdot 9 = 4 + 18 = 22$.
Поскольку $22 \neq 9$, пара чисел $(-2; 3)$ не является решением данной системы. Нет необходимости проверять второе уравнение.
Проверим пару $(1; 2)$. Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в оба уравнения:
Первое уравнение: $1^2 + 2 \cdot 2^2 = 1 + 2 \cdot 4 = 1 + 8 = 9$. Равенство $9=9$ является верным.
Второе уравнение: $3 \cdot 1 - 5 \cdot 2 = 3 - 10 = -7$. Равенство $-7=-7$ является верным.
Так как оба уравнения обращаются в верные равенства, пара $(1; 2)$ является решением системы.
Ответ: $(1; 2)$.

2) Проверим пары чисел для системы уравнений $\begin{cases} 2x^2 - y^2 + y = 2, \\ -x^2 + 2y^2 = 14 \end{cases}$.
Проверим пару $(-2; 3)$. Подставляем $x = -2$ и $y = 3$ в оба уравнения:
Первое уравнение: $2(-2)^2 - 3^2 + 3 = 2 \cdot 4 - 9 + 3 = 8 - 9 + 3 = 2$. Равенство $2=2$ является верным.
Второе уравнение: $-(-2)^2 + 2 \cdot 3^2 = -4 + 2 \cdot 9 = -4 + 18 = 14$. Равенство $14=14$ является верным.
Так как оба уравнения обращаются в верные равенства, пара $(-2; 3)$ является решением системы.
Проверим пару $(1; 2)$. Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в первое уравнение:
$2 \cdot 1^2 - 2^2 + 2 = 2 \cdot 1 - 4 + 2 = 0$.
Поскольку $0 \neq 2$, пара чисел $(1; 2)$ не является решением данной системы.
Ответ: $(-2; 3)$.

3) Проверим пары чисел для системы уравнений $\begin{cases} -3x^2 + 2y^2 = 5, \\ x - 5y = -9 \end{cases}$.
Проверим пару $(-2; 3)$. Подставляем $x = -2$ и $y = 3$ в первое уравнение:
$-3(-2)^2 + 2 \cdot 3^2 = -3 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = -12 + 18 = 6$.
Поскольку $6 \neq 5$, пара чисел $(-2; 3)$ не является решением данной системы.
Проверим пару $(1; 2)$. Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в оба уравнения:
Первое уравнение: $-3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 2^2 = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = -3 + 8 = 5$. Равенство $5=5$ является верным.
Второе уравнение: $1 - 5 \cdot 2 = 1 - 10 = -9$. Равенство $-9=-9$ является верным.
Так как оба уравнения обращаются в верные равенства, пара $(1; 2)$ является решением системы.
Ответ: $(1; 2)$.

2.2. Решите графическим способом систему уравнений (укажите приближенные значения ее решений):

1)

$\begin{cases} 2x + y = 3, \\ x^2 - y = -1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 + y = 2, \\ -x + 2y = 8; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} -x^2 + y = -3, \\ 4x - 2y = -5. \end{cases}$

1)

Для решения системы уравнений графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков будут являться решениями системы.

Преобразуем уравнения системы, выразив $y$ через $x$:

$\begin{cases} 2x + y = 3, \\ x^2 - y = -1; \end{cases} \implies \begin{cases} y = -2x + 3, \\ y = x^2 + 1. \end{cases}$

График первого уравнения $y = -2x + 3$ – это прямая. Для ее построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=3$; если $x=1$, то $y=1$. Получаем точки $(0, 3)$ и $(1, 1)$.

График второго уравнения $y = x^2 + 1$ – это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси $Oy$.

Построим графики в одной системе координат:

Графики пересекаются в двух точках. Определим их приближенные координаты по чертежу.

Ответ: $(0.7, 1.6)$, $(-2.7, 8.4)$.

2)

Преобразуем уравнения системы, выразив $y$ через $x$:

$\begin{cases} 2x^2 + y = 2, \\ -x + 2y = 8; \end{cases} \implies \begin{cases} y = -2x^2 + 2, \\ y = 0.5x + 4. \end{cases}$

График первого уравнения $y = -2x^2 + 2$ – это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.

График второго уравнения $y = 0.5x + 4$ – это прямая. Для ее построения найдем две точки. Если $x=0$, то $y=4$; если $x=2$, то $y=5$. Получаем точки $(0, 4)$ и $(2, 5)$.

Построим графики в одной системе координат:

Из графика видно, что прямая и парабола не пересекаются, так как вершина параболы $(0, 2)$ находится ниже точки пересечения прямой с осью $Oy$ $(0, 4)$, а ветви параболы направлены вниз.

Ответ: нет решений.

3)

Выразим $y$ из каждого уравнения системы:

$\begin{cases} -x^2 + y = -3, \\ 4x - 2y = -5; \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 - 3, \\ y = 2x + 2.5. \end{cases}$

График уравнения $y = x^2 - 3$ – это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -3)$.

График уравнения $y = 2x + 2.5$ – это прямая. Найдем две точки для построения. Если $x=0$, то $y=2.5$; если $x=1$, то $y=4.5$. Получаем точки $(0, 2.5)$ и $(1, 4.5)$.

Построим графики в одной системе координат:

Графики пересекаются в двух точках. Определим их приближенные координаты по графику.

Ответ: $(-1.6, -0.6)$, $(3.6, 9.6)$.

2.3. Найдите графическим способом число решений системы:

1) $ \begin{cases} 0,5x - y = 2, \\ x^2 - 2y = -1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 + 2y = 5, \\ -x + 3y = 6; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x^2 + 3y = -3, \\ 4x^2 - 2y = -5. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 0,5x - y = 2 \\ x^2 - 2y = -1 \end{cases} $

Чтобы найти число решений графическим способом, необходимо построить графики обеих функций в одной системе координат. Число решений системы будет равно количеству точек пересечения этих графиков.

Сначала преобразуем каждое уравнение, выразив y через x:

1. Первое уравнение: $0,5x - y = 2 \implies y = 0,5x - 2$.
Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
При $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$. Точка (4; 0).

2. Второе уравнение: $x^2 - 2y = -1 \implies 2y = x^2 + 1 \implies y = 0,5x^2 + 0,5$.
Это уравнение квадратичной функции, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=0,5$).
Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$.
$y_0 = 0,5 \cdot 0^2 + 0,5 = 0,5$.
Вершина параболы находится в точке (0; 0,5).

Построим графики функций (прямая - красная, парабола - синяя) на одной координатной плоскости:

Из графика видно, что прямая и парабола не пересекаются. Вершина параболы (0; 0,5) находится выше прямой, а ветви параболы направлены вверх, поэтому общих точек у графиков нет.

Ответ: 0.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + 2y = 5 \\ -x + 3y = 6 \end{cases} $

Выразим y через x в каждом уравнении:

1. Первое уравнение: $2x^2 + 2y = 5 \implies 2y = -2x^2 + 5 \implies y = -x^2 + 2,5$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1$).
Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = -0^2 + 2,5 = 2,5$. Точка (0; 2,5).

2. Второе уравнение: $-x + 3y = 6 \implies 3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$.
Это прямая. Для построения найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 2$. Точка (0; 2).
При $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = 3$. Точка (3; 3).

Построим графики функций (парабола - красная, прямая - синяя) на одной координатной плоскости:

На графике видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках (отмечены зеленым). Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

3)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + 3y = -3 \\ 4x^2 - 2y = -5 \end{cases} $

Выразим y через x в каждом уравнении. В этом случае оба графика являются параболами.

1. Первое уравнение: $2x^2 + 3y = -3 \implies 3y = -2x^2 - 3 \implies y = -\frac{2}{3}x^2 - 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -\frac{2}{3}$).
Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = -\frac{2}{3} \cdot 0^2 - 1 = -1$. Точка (0; -1).

2. Второе уравнение: $4x^2 - 2y = -5 \implies 2y = 4x^2 + 5 \implies y = 2x^2 + 2,5$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 2$).
Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = 2 \cdot 0^2 + 2,5 = 2,5$. Точка (0; 2,5).

Построим графики функций (первая парабола - красная, вторая - синяя) на одной координатной плоскости:

Первая парабола $y = -\frac{2}{3}x^2 - 1$ имеет вершину в точке (0; -1) и ее ветви направлены вниз.
Вторая парабола $y = 2x^2 + 2,5$ имеет вершину в точке (0; 2,5) и ее ветви направлены вверх.
Поскольку первая парабола открывается вниз от своей вершины (0; -1), а вторая — вверх от своей вершины (0; 2,5), они не могут пересечься.

Ответ: 0.

2.4. Докажите, что не имеет решений система уравнений:

1)

$\begin{cases} |x| - y = -2, \\ x - 2y = -1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 - y + 1 = 0, \\ -x^2 - 2y = 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2x^2 + y = -3, \\ 4|x| - 2y = -5. \end{cases}$

1) Рассмoтрим систему уравнений: $ \begin{cases} |x| - y = -2, \\ x - 2y = -1; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2y - 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$|2y - 1| - y = -2$
$|2y - 1| = y - 2$.
Левая часть этого уравнения, модуль числа, всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$y - 2 \ge 0$, что означает $y \ge 2$.
При условии $y \ge 2$ выражение под знаком модуля $2y - 1$ всегда будет положительным, так как $2y - 1 \ge 2(2) - 1 = 3 > 0$.
Значит, мы можем раскрыть модуль: $|2y - 1| = 2y - 1$.
Уравнение принимает вид:
$2y - 1 = y - 2$
$2y - y = -2 + 1$
$y = -1$.
Полученное значение $y = -1$ противоречит ранее установленному условию $y \ge 2$.
Таким образом, система не имеет решений.
Ответ: Доказано, что система не имеет решений.

2) Рассмoтрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - y + 1 = 0, \\ -x^2 - 2y = 4; \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x^2$:
$-x^2 = 4 + 2y$
$x^2 = -4 - 2y$.
Подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение:
$2(-4 - 2y) - y + 1 = 0$
$-8 - 4y - y + 1 = 0$
$-5y - 7 = 0$
$-5y = 7$
$y = -7/5 = -1.4$.
Теперь подставим найденное значение $y$ обратно в выражение для $x^2$:
$x^2 = -4 - 2(-7/5)$
$x^2 = -4 + 14/5$
$x^2 = -20/5 + 14/5$
$x^2 = -6/5$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2$ не может быть равен $-6/5$, уравнение не имеет действительных решений для $x$.
Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: Доказано, что система не имеет решений.

3) Рассмoтрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + y = -3, \\ 4|x| - 2y = -5. \end{cases} $
Проанализируем оба уравнения с помощью неравенств.
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = -3 - 2x^2$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $2x^2 \ge 0$, а $-2x^2 \le 0$.
Следовательно, $y = -3 + (-2x^2) \le -3$. Итак, для любого решения системы должно выполняться условие $y \le -3$.
Теперь рассмотрим второе уравнение. Выразим из него $2y$:
$2y = 4|x| + 5$.
Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $4|x| \ge 0$.
Следовательно, $2y = 4|x| + 5 \ge 5$, что означает $y \ge 5/2$ или $y \ge 2.5$.
Мы получили два условия для переменной $y$: $y \le -3$ и $y \ge 2.5$.
Эти два условия не могут выполняться одновременно, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -3 и больше или равно 2.5.
Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: Доказано, что система не имеет решений.

2.5. Решите графическим способом систему уравнений:

1)

$\begin{cases} xy = 2, \\ x^2 - 2y = -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 + 2y = 10, \\ -x + 3y = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + 3y = 6, \\ -x^2 - 2y = -7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y^2 + x^2 = 4, \\ y + x = 0. \end{cases}$

1)

Для решения системы графическим способом построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение $xy = 2$, которое можно записать как $y = \frac{2}{x}$, — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях, а асимптотами служат оси координат.

Второе уравнение $x^2 - 2y = -3$ преобразуем к виду $2y = x^2 + 3$, или $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; 1,5)$.

На графике видно, что гипербола и парабола пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

2)

Построим графики уравнений системы.

Первое уравнение $2x^2 + 2y = 10$ можно упростить, разделив на 2: $x^2 + y = 5$, откуда $y = -x^2 + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 5)$.

Второе уравнение $-x + 3y = 1$ преобразуем к виду $3y = x + 1$, или $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. Это прямая, проходящая, например, через точки $(-1; 0)$ и $(2; 1)$.

Графики пересекаются в двух точках. Из графика видно, что одна точка пересечения имеет координаты $(2; 1)$. Вторую точку можно найти с большей точностью аналитически: $(-\frac{7}{3}; -\frac{4}{9})$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-\frac{7}{3}; -\frac{4}{9})$.

3)

Построим графики уравнений системы. Оба уравнения являются параболами.

Первое уравнение $x^2 + 3y = 6$ преобразуется в $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0; 2)$.

Второе уравнение $-x^2 - 2y = -7$ преобразуется в $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3,5$. Это также парабола с ветвями вниз, но с вершиной в точке $(0; 3,5)$.

Параболы пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси OY. Координаты этих точек: $(3; -1)$ и $(-3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$, $(-3; -1)$.

4)

Построим графики уравнений системы.

Первое уравнение $y^2 + x^2 = 4$, или $x^2 + y^2 = 2^2$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $r=2$.

Второе уравнение $y + x = 0$, или $y = -x$, — это уравнение прямой, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Окружность и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: $(\sqrt{2}; -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{2}; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

1. Существует ли такой угол, для которого верно равенство: $\sin a = 2; \cos a = -0, \cos a = -0001; \operatorname{tg} x = 1\ 000\ 000$?

2. В какой четверти знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса одинаковые?

3. Какова связь между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов?

4. Может ли синус отрицательного угла быть положительным? Приведите пример.

1. Существует ли такой угол, для которого верно равенство: sinα = 2; cos α = -0, cos α = -0001; tgx = 1 000 000?

Рассмотрим каждое равенство отдельно:

• $ \sin\alpha = 2 $: Такого угла не существует. Область значений функции синус – это отрезок $ [-1; 1] $. Число 2 не входит в этот отрезок.

• $ \cos\alpha = -0 $: Такого угла существует. Равенство $ \cos\alpha = -0 $ эквивалентно $ \cos\alpha = 0 $. Это значение входит в область значений косинуса $ [-1; 1] $. Например, $ \alpha = 90^{\circ} $ или $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.

• $ \cos\alpha = -0001 $: Такого угла существует. Если предположить, что имелось в виду $ \cos\alpha = -0.001 $, то это значение принадлежит области значений косинуса $ [-1; 1] $.

• $ \text{tg}x = 1 000 000 $: Такого угла существует. Область значений функции тангенс – это все действительные числа, то есть $ (-\infty; +\infty) $. Любое действительное число, включая 1 000 000, может быть значением тангенса.

Ответ: для $ \sin\alpha = 2 $ – нет; для $ \cos\alpha = -0 $ – да; для $ \cos\alpha = -0001 $ – да; для $ \text{tg}x = 1 000 000 $ – да.

2. В какой четверти знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса одинаковые?

Рассмотрим знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности:

• I четверть (от 0° до 90°): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0 $ и $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} > 0 $. Все четыре функции имеют знак «плюс».

• II четверть (от 90° до 180°): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha < 0 $ и $ \text{ctg}\alpha < 0 $. Знаки разные.

• III четверть (от 180° до 270°): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha > 0 $ и $ \text{ctg}\alpha > 0 $. Знаки разные.

• IV четверть (от 270° до 360°): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha < 0 $ и $ \text{ctg}\alpha < 0 $. Знаки разные.

Таким образом, все четыре тригонометрические функции имеют одинаковые знаки (положительные) только в первой четверти.

Ответ: В первой четверти.

3. Какова связь между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов?

Связь определяется свойством четности и нечетности тригонометрических функций. Противоположные углы – это $ \alpha $ и $ -\alpha $.

• Функция косинус является четной, что означает $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.

• Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными, что означает:

  $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $

  $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

  $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

Таким образом, при смене знака угла значение косинуса не меняется, а значения синуса, тангенса и котангенса меняют свой знак на противоположный.

Ответ: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $; $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $; $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $; $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.

4. Может ли синус отрицательного угла быть положительным? Приведите пример.

Да, может. Синус отрицательного угла $ \beta $ (где $ \beta < 0 $) будет положительным, если конечная сторона этого угла при откладывании от начального луча по часовой стрелке окажется в I или II четверти.

Согласно формуле приведения для противоположных углов, $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $. Чтобы $ \sin(-\alpha) $ был положительным, необходимо, чтобы $ -\sin(\alpha) > 0 $, что равносильно $ \sin(\alpha) < 0 $.

Синус угла $ \alpha $ отрицателен, если угол $ \alpha $ находится в III или IV четверти.

Пример: Возьмем отрицательный угол $ -210^{\circ} $. Этот угол получается вращением по часовой стрелке на $ 210^{\circ} $ и его конечная сторона попадает во II четверть. Синус во II четверти положителен.

Вычислим его значение: $ \sin(-210^{\circ}) = -\sin(210^{\circ}) $. Угол $ 210^{\circ} $ находится в III четверти, где синус отрицателен: $ \sin(210^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \sin(-210^{\circ}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} $.

Значение $ \frac{1}{2} $ является положительным.

Ответ: Да, может. Например, $ \sin(-210^{\circ}) = \frac{1}{2} $.

21.1. Какие знаки имеют значения выражений $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, если:

1) $ \alpha = 67^\circ $;

2) $ \alpha = 127^\circ $;

3) $ \alpha = 267^\circ $;

4) $ \alpha = 319^\circ $?

Для определения знаков тригонометрических функций $sin(\alpha)$, $cos(\alpha)$ и $\operatorname{tg}(\alpha)$ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Знаки функций зависят от знаков координат точки на единичной окружности: $sin(\alpha)$ соответствует знаку ординаты (y), $cos(\alpha)$ — знаку абсциссы (x), а $\operatorname{tg}(\alpha)$ — знаку их отношения $\frac{y}{x}$.

Правила знаков по четвертям:

I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$): $sin(\alpha)$ (+), $cos(\alpha)$ (+), $\operatorname{tg}(\alpha)$ (+).

II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$): $sin(\alpha)$ (+), $cos(\alpha)$ (-), $\operatorname{tg}(\alpha)$ (-).

III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$): $sin(\alpha)$ (-), $cos(\alpha)$ (-), $\operatorname{tg}(\alpha)$ (+).

IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$): $sin(\alpha)$ (-), $cos(\alpha)$ (+), $\operatorname{tg}(\alpha)$ (-).

Это можно наглядно представить на единичной окружности:

1) α = 67°; Угол $\alpha = 67^\circ$ принадлежит I-й координатной четверти, так как $0^\circ < 67^\circ < 90^\circ$. В этой четверти значения всех основных тригонометрических функций положительны.
Ответ: $sin(67^\circ) > 0$, $cos(67^\circ) > 0$, $\operatorname{tg}(67^\circ) > 0$.

2) α = 127°; Угол $\alpha = 127^\circ$ принадлежит II-й координатной четверти, так как $90^\circ < 127^\circ < 180^\circ$. В этой четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Ответ: $sin(127^\circ) > 0$, $cos(127^\circ) < 0$, $\operatorname{tg}(127^\circ) < 0$.

3) α = 267°; Угол $\alpha = 267^\circ$ принадлежит III-й координатной четверти, так как $180^\circ < 267^\circ < 270^\circ$. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс (как отношение двух отрицательных величин) положителен.
Ответ: $sin(267^\circ) < 0$, $cos(267^\circ) < 0$, $\operatorname{tg}(267^\circ) > 0$.

4) α = 319°; Угол $\alpha = 319^\circ$ принадлежит IV-й координатной четверти, так как $270^\circ < 319^\circ < 360^\circ$. В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны.
Ответ: $sin(319^\circ) < 0$, $cos(319^\circ) > 0$, $\operatorname{tg}(319^\circ) < 0$.

21.2. Найдите знак значения выражения:

1) $\sin 79^{\circ}$;

2) $\sin 187^{\circ}$;

3) $\cos 145^{\circ}$;

4) $\cos 235^{\circ}$;

5) $\text{tg } 123^{\circ}$;

6) $\text{tg } 247^{\circ}$;

7) $\sin 88^{\circ} \cdot \cos 124^{\circ}$;

8) $\sin 128^{\circ} \cdot \cos 224^{\circ}$;

9) $\sin 280^{\circ} \cdot \cos 254^{\circ}$;

10) $\sin 258^{\circ} \cdot \cos 184^{\circ}$.

Для определения знака значения тригонометрического выражения необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол, и вспомнить правила знаков для синуса, косинуса и тангенса в каждой из четвертей.

Правила знаков по четвертям:
- I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$): $\sin(\alpha) > 0$, $\cos(\alpha) > 0$, $\operatorname{tg}(\alpha) > 0$.
- II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$): $\sin(\alpha) > 0$, $\cos(\alpha) < 0$, $\operatorname{tg}(\alpha) < 0$.
- III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$): $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) < 0$, $\operatorname{tg}(\alpha) > 0$.
- IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$): $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) > 0$, $\operatorname{tg}(\alpha) < 0$.

1) $\sin 79^\circ$

Угол $79^\circ$ находится в I четверти, так как $0^\circ < 79^\circ < 90^\circ$. В этой четверти синус положителен. Следовательно, $\sin 79^\circ > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

2) $\sin 187^\circ$

Угол $187^\circ$ находится в III четверти, так как $180^\circ < 187^\circ < 270^\circ$. В этой четверти синус отрицателен. Следовательно, $\sin 187^\circ < 0$.
Ответ: знак минус (-).

3) $\cos 145^\circ$

Угол $145^\circ$ находится во II четверти, так как $90^\circ < 145^\circ < 180^\circ$. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 145^\circ < 0$.
Ответ: знак минус (-).

4) $\cos 235^\circ$

Угол $235^\circ$ находится в III четверти, так как $180^\circ < 235^\circ < 270^\circ$. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 235^\circ < 0$.
Ответ: знак минус (-).

5) $\operatorname{tg} 123^\circ$

Угол $123^\circ$ находится во II четверти, так как $90^\circ < 123^\circ < 180^\circ$. В этой четверти тангенс отрицателен. Следовательно, $\operatorname{tg} 123^\circ < 0$.
Ответ: знак минус (-).

6) $\operatorname{tg} 247^\circ$

Угол $247^\circ$ находится в III четверти, так как $180^\circ < 247^\circ < 270^\circ$. В этой четверти тангенс положителен. Следовательно, $\operatorname{tg} 247^\circ > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

7) $\sin 88^\circ \cdot \cos 124^\circ$

Определим знак каждого множителя.
Угол $88^\circ$ находится в I четверти, поэтому $\sin 88^\circ > 0$ (знак плюс).
Угол $124^\circ$ находится во II четверти, поэтому $\cos 124^\circ < 0$ (знак минус).
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $(+) \cdot (-) = (-)$.
Следовательно, $\sin 88^\circ \cdot \cos 124^\circ < 0$.
Ответ: знак минус (-).

8) $\sin 128^\circ \cdot \cos 224^\circ$

Определим знак каждого множителя.
Угол $128^\circ$ находится во II четверти, поэтому $\sin 128^\circ > 0$ (знак плюс).
Угол $224^\circ$ находится в III четверти, поэтому $\cos 224^\circ < 0$ (знак минус).
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $(+) \cdot (-) = (-)$.
Следовательно, $\sin 128^\circ \cdot \cos 224^\circ < 0$.
Ответ: знак минус (-).

9) $\sin 280^\circ \cdot \cos 254^\circ$

Определим знак каждого множителя.
Угол $280^\circ$ находится в IV четверти, поэтому $\sin 280^\circ < 0$ (знак минус).
Угол $254^\circ$ находится в III четверти, поэтому $\cos 254^\circ < 0$ (знак минус).
Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-) \cdot (-) = (+)$.
Следовательно, $\sin 280^\circ \cdot \cos 254^\circ > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

10) $\sin 258^\circ \cdot \cos 184^\circ$

Определим знак каждого множителя.
Угол $258^\circ$ находится в III четверти, поэтому $\sin 258^\circ < 0$ (знак минус).
Угол $184^\circ$ находится в III четверти, поэтому $\cos 184^\circ < 0$ (знак минус).
Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-) \cdot (-) = (+)$.
Следовательно, $\sin 258^\circ \cdot \cos 184^\circ > 0$.
Ответ: знак плюс (+).

21.3. В какой четверти находится угол a, если:

1) $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0; $

2) $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0; $

3) $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha > 0; $

4) $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0; $

5) $ \sin \alpha < 0 $ и $ \operatorname{tg} \alpha > 0; $

6) $ \operatorname{tg} \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0? $

Для определения четверти, в которой находится угол $\alpha$, необходимо проанализировать знаки его тригонометрических функций. Знаки синуса, косинуса и тангенса в каждой из четырех координатных четвертей определяются следующим образом:

• I четверть (от 0° до 90°): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha > 0$.
• II четверть (от 90° до 180°): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tg \alpha < 0$.
• III четверть (от 180° до 270°): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tg \alpha > 0$.
• IV четверть (от 270° до 360°): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha < 0$.

На единичной окружности синус угла соответствует координате по оси ординат (y), а косинус — координате по оси абсцисс (x). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу, $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, поэтому он положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки (I и III четверти), и отрицателен, когда их знаки различны (II и IV четверти).

Ниже представлена наглядная схема знаков тригонометрических функций по четвертям:

Теперь решим каждую задачу.

1) По условию $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$. Синус угла положителен в I и II четвертях. Косинус угла отрицателен во II и III четвертях. Единственная четверть, которая удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это II четверть.
Ответ: II четверть.

2) По условию $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Оба условия выполняются одновременно только в III четверти.
Ответ: III четверть.

3) По условию $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Косинус положителен в I и IV четвертях. Общей для этих двух условий является IV четверть.
Ответ: IV четверть.

4) По условию $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Синус положителен в I и II четвертях. Косинус положителен в I и IV четвертях. Следовательно, угол может находиться только в I четверти.
Ответ: I четверть.

5) По условию $\sin \alpha < 0$ и $\tg \alpha > 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях. Пересечение этих условий ($\{\text{III, IV}\} \cap \{\text{I, III}\}$) дает III четверть.
Ответ: III четверть.

6) По условию $\tg \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$. Тангенс положителен в I и III четвертях. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Единственная общая четверть для этих условий — III четверть.
Ответ: III четверть.

21.4. Найдите знак значения выражения:

1) $\sin \frac{3\pi}{5}$;

2) $\sin \frac{7\pi}{4}$;

3) $\cos \frac{13\pi}{3}$;

4) $\cos \frac{31\pi}{7}$;

5) $\tan \frac{15\pi}{4}$;

6) $\cot \frac{36\pi}{11}$;

7) $\sin 2,7\pi$;

8) $\sin (-1,4\pi)$;

9) $\cos (-3,5\pi)$;

10) $\cos (-5,6\pi)$;

11) $\tan (-4,2\pi)$;

12) $\cot (-5,2\pi)$.

1) $\sin\frac{3\pi}{5}$: Для определения знака значения выражения найдем, в какой координатной четверти находится угол $\alpha = \frac{3\pi}{5}$. Сравним его с граничными значениями четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{2,5\pi}{5}$ и $\pi = \frac{5\pi}{5}$, то выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$. Следовательно, угол находится во второй четверти. Функция синус во второй четверти имеет положительное значение.
Ответ: +.

2) $\sin\frac{7\pi}{4}$: Угол $\alpha = \frac{7\pi}{4}$. Сравним его с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$, угол находится в четвертой четверти. Синус в четвертой четверти отрицателен.
Ответ: –.

3) $\cos\frac{13\pi}{3}$: Упростим угол, используя периодичность функции косинус (период $2\pi$). Выделим целое число оборотов ($2\pi$): $\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\cos\frac{13\pi}{3} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен.
Ответ: +.

4) $\cos\frac{31\pi}{7}$: Упростим угол, используя периодичность косинуса (период $2\pi$): $\frac{31\pi}{7} = \frac{28\pi + 3\pi}{7} = 4\pi + \frac{3\pi}{7}$. Следовательно, $\cos\frac{31\pi}{7} = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{7}) = \cos\frac{3\pi}{7}$. Определим четверть для угла $\frac{3\pi}{7}$. Сравним с $\frac{\pi}{2} = \frac{3,5\pi}{7}$. Так как $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в первой четверти, где косинус положителен.
Ответ: +.

5) $\operatorname{tg}\frac{15\pi}{4}$: Упростим угол, используя периодичность тангенса (период $\pi$): $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\operatorname{tg}\frac{15\pi}{4} = \operatorname{tg}(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})$. Тангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$. Угол $\frac{\pi}{4}$ в первой четверти, $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) > 0$, значит $-\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) < 0$. Также можно сказать, что угол $-\frac{\pi}{4}$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.
Ответ: –.

6) $\operatorname{ctg}\frac{36\pi}{11}$: Упростим угол, используя периодичность котангенса (период $\pi$): $\frac{36\pi}{11} = \frac{33\pi + 3\pi}{11} = 3\pi + \frac{3\pi}{11}$. Таким образом, $\operatorname{ctg}\frac{36\pi}{11} = \operatorname{ctg}(3\pi + \frac{3\pi}{11}) = \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{11}$. Определим четверть для угла $\frac{3\pi}{11}$. Сравним с $\frac{\pi}{2} = \frac{5,5\pi}{11}$. Так как $0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в первой четверти, где котангенс положителен.
Ответ: +.

7) $\sin(2,7\pi)$: Упростим угол, используя периодичность синуса (период $2\pi$): $2,7\pi = 2\pi + 0,7\pi$. Таким образом, $\sin(2,7\pi) = \sin(2\pi + 0,7\pi) = \sin(0,7\pi)$. Угол $0,7\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,7\pi < \pi$ (поскольку $0,5\pi < 0,7\pi < \pi$). Синус во второй четверти положителен.
Ответ: +.

8) $\sin(-1,4\pi)$: Используем периодичность синуса (период $2\pi$). Прибавим к аргументу $2\pi$, чтобы получить положительный угол в пределах одного оборота: $\sin(-1,4\pi) = \sin(-1,4\pi + 2\pi) = \sin(0,6\pi)$. Угол $0,6\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,6\pi < \pi$ (поскольку $0,5\pi < 0,6\pi < \pi$). Синус во второй четверти положителен.
Ответ: +.

9) $\cos(-3,5\pi)$: Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-3,5\pi) = \cos(3,5\pi)$. Используя периодичность (период $2\pi$), получаем: $\cos(3,5\pi) = \cos(2\pi + 1,5\pi) = \cos(1,5\pi) = \cos(\frac{3\pi}{2})$. Значение косинуса в этой точке равно 0. Выражение не является ни положительным, ни отрицательным.
Ответ: 0.

10) $\cos(-5,6\pi)$: Косинус — четная функция: $\cos(-5,6\pi) = \cos(5,6\pi)$. Используя периодичность (период $2\pi$), получаем: $\cos(5,6\pi) = \cos(4\pi + 1,6\pi) = \cos(1,6\pi)$. Угол $1,6\pi$ находится в четвертой четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 1,6\pi < 2\pi$ (поскольку $1,5\pi < 1,6\pi < 2\pi$). Косинус в четвертой четверти положителен.
Ответ: +.

11) $\operatorname{tg}(-4,2\pi)$: Тангенс — нечетная функция: $\operatorname{tg}(-4,2\pi) = -\operatorname{tg}(4,2\pi)$. Упростим угол $4,2\pi$ используя периодичность тангенса (период $\pi$): $4,2\pi = 4\pi + 0,2\pi$. Тогда $\operatorname{tg}(4,2\pi) = \operatorname{tg}(0,2\pi)$. Угол $0,2\pi$ находится в первой четверти, где тангенс положителен. Значит, $-\operatorname{tg}(0,2\pi)$ отрицателен.
Ответ: –.

12) $\operatorname{ctg}(-5,2\pi)$: Котангенс — нечетная функция: $\operatorname{ctg}(-5,2\pi) = -\operatorname{ctg}(5,2\pi)$. Упростим угол $5,2\pi$ используя периодичность котангенса (период $\pi$): $5,2\pi = 5\pi + 0,2\pi$. Тогда $\operatorname{ctg}(5,2\pi) = \operatorname{ctg}(0,2\pi)$. Угол $0,2\pi$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Значит, $-\operatorname{ctg}(0,2\pi)$ отрицателен.
Ответ: –.