Страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1.2. Какие из точек $A(2; -3)$; $B(0,4; 2)$; $C(-1; 2)$; $M\left(\frac{1}{3}; \frac{4}{3}\right)$ принадлежат графику уравнения:

1) $3x - y - 9 = 0;$

2) $2x - 5y + 12 = 0;$

3) $-x^2 - 2y + 4,16 = 0;$

4) $2y + 3x^2 - 3 = 0;$

5) $y - \frac{1}{2}x^2 - 1,5 = 0;$

6) $2y - 3|x| - 1 = 0?$

Чтобы определить, какие из данных точек A(2; -3), B(0,4; 2), C(-1; 2), M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$) принадлежат графику уравнения, необходимо подставить координаты каждой точки (x; y) в уравнение. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

1) 3x - y - 9 = 0;
Проверяем каждую точку:
- A(2; -3): $3 \cdot 2 - (-3) - 9 = 6 + 3 - 9 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное. Точка A принадлежит графику.
- B(0,4; 2): $3 \cdot 0,4 - 2 - 9 = 1,2 - 2 - 9 = -9,8$. Равенство $-9,8 = 0$ неверное.
- C(-1; 2): $3 \cdot (-1) - 2 - 9 = -3 - 2 - 9 = -14$. Равенство $-14 = 0$ неверное.
- M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$): $3 \cdot \frac{1}{3} - \frac{4}{3} - 9 = 1 - \frac{4}{3} - 9 = -8 - \frac{4}{3} = -\frac{24}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{28}{3}$. Равенство $-\frac{28}{3} = 0$ неверное.
Ответ: A(2; -3).

2) 2x - 5y + 12 = 0;
Проверяем каждую точку:
- A(2; -3): $2 \cdot 2 - 5 \cdot (-3) + 12 = 4 + 15 + 12 = 31$. Равенство $31 = 0$ неверное.
- B(0,4; 2): $2 \cdot 0,4 - 5 \cdot 2 + 12 = 0,8 - 10 + 12 = 2,8$. Равенство $2,8 = 0$ неверное.
- C(-1; 2): $2 \cdot (-1) - 5 \cdot 2 + 12 = -2 - 10 + 12 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное. Точка C принадлежит графику.
- M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$): $2 \cdot \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{4}{3} + 12 = \frac{2}{3} - \frac{20}{3} + 12 = -\frac{18}{3} + 12 = -6 + 12 = 6$. Равенство $6 = 0$ неверное.
Ответ: C(-1; 2).

3) -x² - 2y + 4,16 = 0;
Проверяем каждую точку:
- A(2; -3): $-(2)^2 - 2 \cdot (-3) + 4,16 = -4 + 6 + 4,16 = 6,16$. Равенство $6,16 = 0$ неверное.
- B(0,4; 2): $-(0,4)^2 - 2 \cdot 2 + 4,16 = -0,16 - 4 + 4,16 = -4,16 + 4,16 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное. Точка B принадлежит графику.
- C(-1; 2): $-(-1)^2 - 2 \cdot 2 + 4,16 = -1 - 4 + 4,16 = -0,84$. Равенство $-0,84 = 0$ неверное.
- M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$): $-(\frac{1}{3})^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} + 4,16 = -\frac{1}{9} - \frac{8}{3} + 4,16 = -\frac{1}{9} - \frac{24}{9} + 4,16 = -\frac{25}{9} + 4,16 \ne 0$. Равенство неверное.
Ответ: B(0,4; 2).

4) 2y + 3x² - 3 = 0;
Проверяем каждую точку:
- A(2; -3): $2 \cdot (-3) + 3 \cdot (2)^2 - 3 = -6 + 3 \cdot 4 - 3 = -6 + 12 - 3 = 3$. Равенство $3 = 0$ неверное.
- B(0,4; 2): $2 \cdot 2 + 3 \cdot (0,4)^2 - 3 = 4 + 3 \cdot 0,16 - 3 = 4 + 0,48 - 3 = 1,48$. Равенство $1,48 = 0$ неверное.
- C(-1; 2): $2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1)^2 - 3 = 4 + 3 \cdot 1 - 3 = 4$. Равенство $4 = 0$ неверное.
- M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$): $2 \cdot \frac{4}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 - 3 = \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{1}{9} - 3 = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} - 3 = \frac{9}{3} - 3 = 3 - 3 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное. Точка M принадлежит графику.
Ответ: M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$).

5) y - $\frac{1}{2}$x² - 1,5 = 0;
Проверяем каждую точку:
- A(2; -3): $-3 - \frac{1}{2} \cdot (2)^2 - 1,5 = -3 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 1,5 = -3 - 2 - 1,5 = -6,5$. Равенство $-6,5 = 0$ неверное.
- B(0,4; 2): $2 - \frac{1}{2} \cdot (0,4)^2 - 1,5 = 2 - \frac{1}{2} \cdot 0,16 - 1,5 = 2 - 0,08 - 1,5 = 0,42$. Равенство $0,42 = 0$ неверное.
- C(-1; 2): $2 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - 1,5 = 2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 1,5 = 2 - 0,5 - 1,5 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное. Точка C принадлежит графику.
- M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$): $\frac{4}{3} - \frac{1}{2}(\frac{1}{3})^2 - 1,5 = \frac{4}{3} - \frac{1}{18} - \frac{3}{2} = \frac{24 - 1 - 27}{18} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$. Равенство $-\frac{2}{9} = 0$ неверное.
Ответ: C(-1; 2).

6) 2y - 3|x| - 1 = 0?
Проверяем каждую точку:
- A(2; -3): $2 \cdot (-3) - 3 \cdot |2| - 1 = -6 - 3 \cdot 2 - 1 = -6 - 6 - 1 = -13$. Равенство $-13 = 0$ неверное.
- B(0,4; 2): $2 \cdot 2 - 3 \cdot |0,4| - 1 = 4 - 3 \cdot 0,4 - 1 = 4 - 1,2 - 1 = 1,8$. Равенство $1,8 = 0$ неверное.
- C(-1; 2): $2 \cdot 2 - 3 \cdot |-1| - 1 = 4 - 3 \cdot 1 - 1 = 4 - 4 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное. Точка C принадлежит графику.
- M($\frac{1}{3}$; $\frac{4}{3}$): $2 \cdot \frac{4}{3} - 3 \cdot |\frac{1}{3}| - 1 = \frac{8}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{8}{3} - 1 - 1 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$. Равенство $\frac{2}{3} = 0$ неверное.
Ответ: C(-1; 2).

1.3. Найдите абсциссу точки с ординатой, равной 2 и принадлежащей графику уравнения:

1) $y - |x - 2| - 2 = 0;$

2) $y - 3|x + 1| - 6 = 0;$

3) $2y + |x + 1| - 3 = 0;$

4) $y - (x - 2)^2 - 2 = 0;$

5) $3y - (x + 1)^2 - 3 = 0;$

6) $yx - x^2 + 8 = 0.$

1) Чтобы найти абсциссу точки, подставим значение ординаты $y = 2$ в уравнение $y - |x - 2| - 2 = 0$.
$2 - |x - 2| - 2 = 0$
$-|x - 2| = 0$
$|x - 2| = 0$
Выражение под знаком модуля равно нулю:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Ответ: $2$.

2) Подставим значение ординаты $y = 2$ в уравнение $y - 3|x + 1| - 6 = 0$.
$2 - 3|x + 1| - 6 = 0$
$-3|x + 1| - 4 = 0$
$-3|x + 1| = 4$
$|x + 1| = -\frac{4}{3}$
Модуль числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Подставим значение ординаты $y = 2$ в уравнение $2y + |x + 1| - 3 = 0$.
$2 \cdot 2 + |x + 1| - 3 = 0$
$4 + |x + 1| - 3 = 0$
$1 + |x + 1| = 0$
$|x + 1| = -1$
Модуль числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

4) Подставим значение ординаты $y = 2$ в уравнение $y - (x - 2)^2 - 2 = 0$.
$2 - (x - 2)^2 - 2 = 0$
$-(x - 2)^2 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Ответ: $2$.

5) Подставим значение ординаты $y = 2$ в уравнение $3y - (x + 1)^2 - 3 = 0$.
$3 \cdot 2 - (x + 1)^2 - 3 = 0$
$6 - (x + 1)^2 - 3 = 0$
$3 - (x + 1)^2 = 0$
$(x + 1)^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 1 = \sqrt{3}$ или $x + 1 = -\sqrt{3}$
$x_1 = -1 + \sqrt{3}$
$x_2 = -1 - \sqrt{3}$
Ответ: $-1 + \sqrt{3}; -1 - \sqrt{3}$.

6) Подставим значение ординаты $y = 2$ в уравнение $yx - x^2 + 8 = 0$.
$2x - x^2 + 8 = 0$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду, умножив на $-1$:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2; 4$.

1.4. Найдите степень уравнения:

1) $xy - 3x = 0;$

2) $3x^2 - xy = 5;$

3) $(2x - y)^2 + x^2 - 5 = 0;$

4) $-1\frac{3}{7}x^2 + yx^2 - x = 7;$

5) $x^2y^2 + xy = 4;$

6) $(x^2 - 3y)^2 + x^3 = 9.$

1) Степенью уравнения, приведенного к виду $P(x,y)=0$, где $P(x,y)$ — многочлен, называется степень этого многочлена. Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов (членов). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В уравнении $xy - 3x = 0$ есть два члена: $xy$ и $-3x$. Степень члена $xy$ (или $x^1y^1$) равна сумме показателей степеней переменных: $1 + 1 = 2$. Степень члена $-3x$ (или $-3x^1$) равна 1. Наибольшая из этих степеней — 2. Следовательно, степень всего уравнения равна 2.
Ответ: 2

2) Приведем уравнение $3x^2 - xy = 5$ к стандартному виду $P(x,y)=0$, перенеся все члены в левую часть: $3x^2 - xy - 5 = 0$. Рассмотрим степени каждого члена многочлена:

• Степень члена $3x^2$ равна 2.
• Степень члена $-xy$ (или $-x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.
• Степень члена $-5$ (свободный член) равна 0.

3) Для нахождения степени уравнения $(2x - y)^2 + x^2 - 5 = 0$ необходимо сначала раскрыть скобки, чтобы привести уравнение к многочлену стандартного вида. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(y) + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$. Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $4x^2 - 4xy + y^2 + x^2 - 5 = 0$. Приведем подобные члены: $5x^2 - 4xy + y^2 - 5 = 0$. Теперь определим степени членов получившегося многочлена:

• Степень члена $5x^2$ равна 2.
• Степень члена $-4xy$ равна $1 + 1 = 2$.
• Степень члена $y^2$ равна 2.
• Степень члена $-5$ равна 0.

4) Приведем уравнение $-1\frac{3}{7}x^2 + yx^2 - x = 7$ к стандартному виду $P(x,y)=0$: $-1\frac{3}{7}x^2 + yx^2 - x - 7 = 0$. Определим степени каждого члена:

• Степень члена $-1\frac{3}{7}x^2$ равна 2.
• Степень члена $yx^2$ (или $y^1x^2$) равна сумме показателей степеней: $1 + 2 = 3$.
• Степень члена $-x$ равна 1.
• Степень члена $-7$ равна 0.

5) Приведем уравнение $x^2y^2 + xy = 4$ к стандартному виду $P(x,y)=0$: $x^2y^2 + xy - 4 = 0$. Рассмотрим степени членов многочлена:

• Степень члена $x^2y^2$ равна $2 + 2 = 4$.
• Степень члена $xy$ равна $1 + 1 = 2$.
• Степень члена $-4$ равна 0.

6) В уравнении $(x^2 - 3y)^2 + x^3 = 9$ необходимо сначала раскрыть скобки. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $(x^2 - 3y)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(3y) + (3y)^2 = x^4 - 6x^2y + 9y^2$. Подставим в уравнение и приведем его к стандартному виду: $x^4 - 6x^2y + 9y^2 + x^3 = 9$ $x^4 - 6x^2y + 9y^2 + x^3 - 9 = 0$. Определим степени членов:

• Степень члена $x^4$ равна 4.
• Степень члена $-6x^2y$ равна $2 + 1 = 3$.
• Степень члена $9y^2$ равна 2.
• Степень члена $x^3$ равна 3.
• Степень члена $-9$ равна 0.

1.5. Постройте график уравнения:

1) $3xy = 5;$

2) $y(x - 2) = 2;$

3) $y(x + 1) = -3;$

4) $y |x - 3| = 4;$

5) $y = |x^2 - 4|;$

6) $y = |3 - x^2|.$

1)Исходное уравнение $3xy = 5$. Чтобы построить его график, выразим $y$ через $x$. При $x \neq 0$ получаем $y = \frac{5}{3x}$ или $y = \frac{5/3}{x}$.Это уравнение обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = \frac{5}{3}$.Так как $k > 0$, график функции (гипербола) расположен в I и III координатных четвертях.Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y = 5/3 \approx 1.67$
• при $x=5/3$, $y=1$
• при $x=-1$, $y = -5/3 \approx -1.67$
• при $x=-5/3$, $y=-1$

Ответ:

2)Дано уравнение $y(x - 2) = 2$. Чтобы построить график, выразим $y$. При $x \neq 2$ имеем $y = \frac{2}{x-2}$.График этой функции — гипербола. Её можно получить из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) остается на месте.Найдем контрольные точки:

• при $x=3$, $y = \frac{2}{3-2} = 2$
• при $x=4$, $y = \frac{2}{4-2} = 1$
• при $x=1$, $y = \frac{2}{1-2} = -2$
• при $x=0$, $y = \frac{2}{0-2} = -1$

Ответ:

3)Дано уравнение $y(x + 1) = -3$. Выразим $y$ при $x \neq -1$: $y = \frac{-3}{x+1}$.График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{-3}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox.Поскольку коэффициент $k=-3 < 0$, ветви исходной гиперболы располагались во II и IV четвертях.Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) остается.Найдем точки:

• при $x=0$, $y = \frac{-3}{0+1} = -3$
• при $x=2$, $y = \frac{-3}{2+1} = -1$
• при $x=-2$, $y = \frac{-3}{-2+1} = 3$
• при $x=-4$, $y = \frac{-3}{-4+1} = 1$

Ответ:

4)Из уравнения $y|x-3| = 4$ выразим $y$: $y = \frac{4}{|x-3|}$.Область определения: $x \neq 3$. Поскольку знаменатель $|x-3|$ всегда неотрицателен (и в данном случае строго положителен), то и $y > 0$. Весь график будет лежать выше оси Ox.Рассмотрим два случая:1. Если $x-3 > 0$, т.е. $x > 3$, то $|x-3| = x-3$. Уравнение принимает вид $y = \frac{4}{x-3}$. Это правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=3$ и $y=0$.2. Если $x-3 < 0$, т.е. $x < 3$, то $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Уравнение принимает вид $y = \frac{4}{3-x}$. Это ветвь гиперболы, симметричная первой относительно прямой $x=3$.График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=3$.

Ответ:

5)Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ выполним следующие шаги:1. Построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх.2. Найдем точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x = -2$ и $x = 2$.3. Применим операцию взятия модуля. Та часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Это участок параболы между $x=-2$ и $x=2$. Части графика, которые уже находятся выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остаются без изменений.В результате отражения вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ:

6)График функции $y = |3 - x^2|$. Заметим, что $|3 - x^2| = |-(x^2 - 3)| = |x^2 - 3|$.Построение аналогично предыдущему пункту:1. Строим параболу $y = x^2 - 3$. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 3 единицы вниз. Вершина в точке $(0, -3)$, ветви вверх.2. Находим нули функции: $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$. (Примерно $\pm1.73$).3. Часть графика, лежащую ниже оси Ox (для $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Остальные части графика ($x \le -\sqrt{3}$ и $x \ge \sqrt{3}$) оставляем без изменений.Вершина $(0, -3)$ после отражения переходит в точку $(0, 3)$.

Ответ:

1.6. Множество каких пар целых чисел является решением уравнения:

1) $x^2 + y^2 = 4$;

2) $3x^2 + y^2 = 7$;

3) $x^2 + 3y^2 = 16?

1) Решим уравнение $x^2 + y^2 = 4$ в целых числах. Мы ищем все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие данному уравнению.Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, их квадраты $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными целыми числами.Из уравнения следует, что $x^2 \le 4$ и $y^2 \le 4$.Это означает, что возможные значения для $x$ и $y$ лежат в диапазоне от -2 до 2.Рассмотрим возможные целые неотрицательные значения для $x^2$: 0, 1, 4. Переберем их.

• Если $x^2 = 0$, то $x=0$. Подставляем в уравнение: $0^2 + y^2 = 4$, откуда $y^2 = 4$, и $y = \pm 2$. Получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

• Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$. Подставляем в уравнение: $(\pm 1)^2 + y^2 = 4$, откуда $1 + y^2 = 4$, и $y^2 = 3$. У этого уравнения нет целых решений для $y$, так как 3 не является квадратом целого числа.

• Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$. Подставляем в уравнение: $(\pm 2)^2 + y^2 = 4$, откуда $4 + y^2 = 4$, и $y^2 = 0$. Отсюда $y = 0$. Получаем еще две пары решений: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Таким образом, множество решений состоит из четырех пар целых чисел.

Ответ: $\{(0, 2), (0, -2), (2, 0), (-2, 0)\}$.

2) Решим уравнение $3x^2 + y^2 = 7$ в целых числах.Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то и $3x^2$ является неотрицательным целым числом.Из уравнения следует, что $3x^2 \le 7$, что означает $x^2 \le \frac{7}{3}$, то есть $x^2 \le 2.33...$.Поскольку $x$ — целое число, $x^2$ может принимать только значения, являющиеся полными квадратами: 0 и 1.

• Если $x^2 = 0$, то $x=0$. Подставляем в уравнение: $3 \cdot 0^2 + y^2 = 7$, откуда $y^2 = 7$. Целых решений для $y$ нет.

• Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$. Подставляем в уравнение: $3 \cdot (\pm 1)^2 + y^2 = 7$, откуда $3 + y^2 = 7$, и $y^2 = 4$. Отсюда $y = \pm 2$. Получаем четыре пары решений: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Таким образом, множество решений состоит из четырех пар целых чисел.

Ответ: $\{(1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2)\}$.

3) Решим уравнение $x^2 + 3y^2 = 16$ в целых числах.Аналогично предыдущим пунктам, $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.Из уравнения следует, что $3y^2 \le 16$, что означает $y^2 \le \frac{16}{3}$, то есть $y^2 \le 5.33...$.Поскольку $y$ — целое число, $y^2$ может принимать только значения, являющиеся полными квадратами: 0, 1, 4.

• Если $y^2 = 0$, то $y=0$. Подставляем в уравнение: $x^2 + 3 \cdot 0^2 = 16$, откуда $x^2 = 16$, и $x = \pm 4$. Получаем две пары решений: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

• Если $y^2 = 1$, то $y = \pm 1$. Подставляем в уравнение: $x^2 + 3 \cdot (\pm 1)^2 = 16$, откуда $x^2 + 3 = 16$, и $x^2 = 13$. Целых решений для $x$ нет.

• Если $y^2 = 4$, то $y = \pm 2$. Подставляем в уравнение: $x^2 + 3 \cdot (\pm 2)^2 = 16$, откуда $x^2 + 12 = 16$, и $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm 2$. Получаем четыре пары решений: $(2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Таким образом, множество решений состоит из шести пар целых чисел.

Ответ: $\{(4, 0), (-4, 0), (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)\}$.

1.7. Какой фигурой на координатной плоскости является множество точек, координаты которых являются решением уравнения:

1) $y = 3x - 2x^2$;

2) $y = -0.3x^2 - 2x$;

3) $xy - 3 = 0$;

4) $(2x - 3)y = 2?

1) Уравнение $y = 3x - 2x^2$ является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -2$, $b = 3$, $c = 0$. Графиком квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при старшем члене $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$:
$x_0 = \frac{-3}{2 \cdot (-2)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$
$y_0 = 3(\frac{3}{4}) - 2(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{4} - 2(\frac{9}{16}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{8} = \frac{18}{8} - \frac{9}{8} = \frac{9}{8}$
Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}, \frac{9}{8})$.
Ответ: парабола.

2) Уравнение $y = -0.3x^2 - 2x$ также является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -0.3$, $b = -2$, $c = 0$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент $a = -0.3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-0.3)} = \frac{2}{-0.6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}$
$y_0 = -0.3(-\frac{10}{3})^2 - 2(-\frac{10}{3}) = -\frac{3}{10} \cdot \frac{100}{9} + \frac{20}{3} = -\frac{10}{3} + \frac{20}{3} = \frac{10}{3}$
Вершина параболы находится в точке $(-\frac{10}{3}, \frac{10}{3})$.
Ответ: парабола.

3) Преобразуем уравнение $xy - 3 = 0$.
$xy = 3$
При $x \neq 0$ можно выразить $y$:
$y = \frac{3}{x}$
Это уравнение является уравнением обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=3 > 0$. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Ответ: гипербола.

4) Рассмотрим уравнение $(2x - 3)y = 2$.
Чтобы выразить $y$ через $x$, необходимо, чтобы множитель $(2x - 3)$ не был равен нулю, то есть $2x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq \frac{3}{2}$.
При этом условии: $y = \frac{2}{2x - 3}$.
Это уравнение также задает гиперболу. Ее можно получить из графика $y = \frac{1}{x}$ с помощью преобразований. Запишем $y = \frac{2}{2(x - 3/2)} = \frac{1}{x - 3/2}$. Это гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{1}{x}$ вправо на $\frac{3}{2}$ единицы по оси Ox.
Вертикальной асимптотой является прямая $x = \frac{3}{2}$. Горизонтальной асимптотой является прямая $y = 0$.
Ответ: гипербола.

20.37. На координатной плоскости изобразите множество решений системы неравенств:

1)

$$ \begin{cases} 2 \le x \le 6, \\ -1 \le y \le 3; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} -1 \le x \le 3, \\ -1 \le y \le 4; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} 0 \le x \le 4, \\ y \le 3 - x; \end{cases} $$

4)

$$ \begin{cases} -2 \le x \le 2, \\ y \le x^2 - 1. \end{cases} $$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 2 \le x \le 6 \\ -1 \le y \le 3 \end{cases} $
Первое неравенство $2 \le x \le 6$ задает вертикальную полосу, ограниченную прямыми $x=2$ и $x=6$.
Второе неравенство $-1 \le y \le 3$ задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y=-1$ и $y=3$.
Множество решений системы является пересечением этих двух полос, что представляет собой прямоугольник с вершинами в точках $(2, -1)$, $(6, -1)$, $(6, 3)$ и $(2, 3)$. Поскольку неравенства нестрогие, границы прямоугольника включаются в множество решений.

Ответ: Множество решений представляет собой прямоугольник, ограниченный прямыми $x=2$, $x=6$, $y=-1$ и $y=3$, включая сами прямые.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} -1 \le x \le 3 \\ -1 \le y \le 4 \end{cases} $
Первое неравенство $-1 \le x \le 3$ задает вертикальную полосу между прямыми $x=-1$ и $x=3$.
Второе неравенство $-1 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y=-1$ и $y=4$.
Множество решений системы — это пересечение этих полос, которое является прямоугольником с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(3, -1)$, $(3, 4)$ и $(-1, 4)$. Границы включены в решение, так как неравенства нестрогие.

Ответ: Множество решений представляет собой прямоугольник, ограниченный прямыми $x=-1$, $x=3$, $y=-1$, $y=4$, включая сами прямые.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ y \le 3-x \end{cases} $
Первое неравенство $0 \le x \le 4$ задает вертикальную полосу между осью ординат ($x=0$) и прямой $x=4$.
Второе неравенство $y \le 3-x$ задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 3-x$ (включая саму прямую). Эта прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. В результате получается бесконечная фигура, ограниченная сверху отрезком прямой $y=3-x$ (для $x$ от 0 до 4), слева — лучом прямой $x=0$ (для $y \le 3$), и справа — лучом прямой $x=4$ (для $y \le -1$).

Ответ: Множество решений представляет собой неограниченную снизу область, заключенную между прямыми $x=0$ и $x=4$ и находящуюся под прямой $y=3-x$.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y \le x^2 - 1 \end{cases} $
Первое неравенство $-2 \le x \le 2$ задает вертикальную полосу, ограниченную прямыми $x=-2$ и $x=2$.
Второе неравенство $y \le x^2 - 1$ задает область, расположенную ниже параболы $y = x^2 - 1$ (включая саму параболу). Вершина этой параболы находится в точке $(0, -1)$.
Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. Это неограниченная снизу фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = x^2 - 1$ на отрезке $x \in [-2, 2]$, слева — лучом прямой $x=-2$ (для $y \le 3$), и справа — лучом прямой $x=2$ (для $y \le 3$).

Ответ: Множество решений представляет собой неограниченную снизу область, заключенную между прямыми $x=-2$ и $x=2$ и находящуюся под параболой $y=x^2-1$.

20.38. Фермер и его сын выполнили некоторую работу за 6 часов. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить эту работу, если сын затратил на нее на 5 ч больше, чем отец?

Пусть вся работа составляет 1 условную единицу. Обозначим за $x$ время в часах, за которое фермер (отец) может выполнить всю работу самостоятельно.

Согласно условию, сын затрачивает на 5 часов больше, чем отец, следовательно, время сына для выполнения работы в одиночку составляет $x+5$ часов.

Производительность труда (скорость выполнения работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени.
Производительность отца равна $\frac{1}{x}$ работы в час.
Производительность сына равна $\frac{1}{x+5}$ работы в час.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$ работы в час.

По условию задачи, вместе они выполняют всю работу за 6 часов. Это означает, что их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в час. Составим уравнение, приравняв совместную производительность, выраженную через $x$, и известную совместную производительность:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Решим это уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$
$12x+30 = x^2+5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением является $x = 10$.

Таким образом, время, за которое фермер выполнит работу в одиночку, составляет 10 часов.
Время, за которое его сын выполнит работу в одиночку, составляет $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: фермер мог бы выполнить эту работу за 10 часов, а его сын — за 15 часов.

20.39. Найдите множество значений функции:

1) $y = x^2 - 4x + 1;$

2) $y = -x^2 + 2x + 3;$

3) $y = \sqrt{x + 1} - 1;$

4) $y = 2 - \sqrt{1 - x}.$

1) Функция $y = x^2 - 4x + 1$ является квадратичной, ее график – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Множество значений такой функции ограничено снизу ординатой вершины параболы.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=-4$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины (минимальное значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно -3. Поскольку ветви параболы уходят в бесконечность, множество значений функции – это все числа, не меньшие -3.
Другой способ – выделить полный квадрат:
$y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$.
Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x - 2)^2$ равно 0. Следовательно, наименьшее значение $y$ равно $0 - 3 = -3$.
Ответ: $E(y) = [-3; +\infty)$.

2) Функция $y = -x^2 + 2x + 3$ является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Множество значений такой функции ограничено сверху ординатой вершины параболы.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1, b=2$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Ордината вершины (максимальное значение функции):
$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 4. Множество значений функции – это все числа, не большие 4.
Другой способ – выделить полный квадрат:
$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = -(x-1)^2 + 1 + 3 = 4 - (x-1)^2$.
Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, то $-(x - 1)^2 \le 0$. Следовательно, наибольшее значение $y$ равно $4 - 0 = 4$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x + 1} - 1$.
Область определения функции задается условием $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x+1}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x+1} \ge 0$.
Наименьшее значение выражение $\sqrt{x+1}$ принимает при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=-1$. Это значение равно $\sqrt{-1+1} = \sqrt{0} = 0$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $0 - 1 = -1$.
Когда $x$ неограниченно возрастает, $\sqrt{x+1}$ также неограниченно возрастает, а значит и $y$ неограниченно возрастает.
Таким образом, множество значений функции – это все числа, не меньшие -1.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = 2 - \sqrt{1 - x}$.
Область определения функции задается условием $1 - x \ge 0$, то есть $x \le 1$.
Выражение $\sqrt{1-x}$ принимает неотрицательные значения: $\sqrt{1-x} \ge 0$.
Следовательно, выражение $-\sqrt{1-x}$ принимает неположительные значения: $-\sqrt{1-x} \le 0$.
Тогда $y = 2 - \sqrt{1-x} \le 2 + 0 = 2$.
Наибольшее значение функции достигается, когда вычитаемое $\sqrt{1-x}$ минимально, то есть равно 0. Это происходит при $x=1$.
$y_{max} = 2 - \sqrt{1-1} = 2 - 0 = 2$.
Когда $x$ неограниченно убывает ($x \to -\infty$), выражение $1-x$ неограниченно возрастает, $\sqrt{1-x}$ также неограниченно возрастает, а $y = 2 - \sqrt{1-x}$ неограниченно убывает.
Таким образом, множество значений функции – это все числа, не большие 2.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.

20.40. На одной координатной плоскости постройте график функции и найдите координаты их точек пересечения (приближенно):

1) $y = x^2 - 2x$ и $y = x - 2;$

2) $y = -x^2 - 4x$ и $y = x^2 - 2.$

1)

Для построения графиков функций $y = x^2 - 2x$ и $y = x - 2$ на одной координатной плоскости проанализируем каждую функцию.

График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_0 = (1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y=0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 0)$.
При $y=0$, $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$. Точки пересечения с осью Ox — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

График функции $y = x - 2$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

При $x=0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
При $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построим графики на координатной плоскости. Парабола $y=x^2-2x$ изображена синим цветом, прямая $y=x-2$ — зеленым. Точки их пересечения отмечены красным.

Для нахождения точных координат точек пересечения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 2x \\ y = x - 2 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений: $x^2 - 2x = x - 2$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 - 2 = -1$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 - 2 = 0$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1, -1)$ и $(2, 0)$, что совпадает с точками на графике.

Ответ: $(1, -1)$ и $(2, 0)$.

2)

Построим графики функций $y = -x^2 - 4x$ и $y = x^2 - 2$ на одной координатной плоскости.

График функции $y = -x^2 - 4x$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви направлены вниз. Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$

$y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$

Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$.

График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$

$y_0 = 0^2 - 2 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

Построим графики. Парабола $y = -x^2 - 4x$ изображена синим цветом, парабола $y = x^2 - 2$ — зеленым. Точки их пересечения отмечены красным.

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = x^2 - 2 \end{cases}$

Приравняем правые части: $-x^2 - 4x = x^2 - 2$.

Перенесем все члены в правую часть: $0 = 2x^2 + 4x - 2$.

Разделим уравнение на 2: $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Получаем два значения для $x$: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y=x^2-2$:

При $x_1 = -1 + \sqrt{2}$: $y_1 = (-1 + \sqrt{2})^2 - 2 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 = 1 - 2\sqrt{2}$.

При $x_2 = -1 - \sqrt{2}$: $y_2 = (-1 - \sqrt{2})^2 - 2 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 2 = 1 + 2\sqrt{2}$.

Приближенные значения, используя $\sqrt{2} \approx 1.41$:

$x_1 \approx -1 + 1.41 = 0.41$, $y_1 \approx 1 - 2 \cdot 1.41 = 1 - 2.82 = -1.82$. Точка $\approx (0.4, -1.8)$.

$x_2 \approx -1 - 1.41 = -2.41$, $y_2 \approx 1 + 2 \cdot 1.41 = 1 + 2.82 = 3.82$. Точка $\approx (-2.4, 3.8)$.

Ответ: $(-1 + \sqrt{2}, 1 - 2\sqrt{2})$ и $(-1 - \sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$, что приблизительно равно $(0.4, -1.8)$ и $(-2.4, 3.8)$.