Номер 20.39, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.39. Найдите множество значений функции:

1) $y = x^2 - 4x + 1;$

2) $y = -x^2 + 2x + 3;$

3) $y = \sqrt{x + 1} - 1;$

4) $y = 2 - \sqrt{1 - x}.$

1) Функция $y = x^2 - 4x + 1$ является квадратичной, ее график – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Множество значений такой функции ограничено снизу ординатой вершины параболы.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1, b=-4$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины (минимальное значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно -3. Поскольку ветви параболы уходят в бесконечность, множество значений функции – это все числа, не меньшие -3.
Другой способ – выделить полный квадрат:
$y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$.
Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x - 2)^2$ равно 0. Следовательно, наименьшее значение $y$ равно $0 - 3 = -3$.
Ответ: $E(y) = [-3; +\infty)$.

2) Функция $y = -x^2 + 2x + 3$ является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Множество значений такой функции ограничено сверху ординатой вершины параболы.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1, b=2$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Ордината вершины (максимальное значение функции):
$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 4. Множество значений функции – это все числа, не большие 4.
Другой способ – выделить полный квадрат:
$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = -(x-1)^2 + 1 + 3 = 4 - (x-1)^2$.
Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, то $-(x - 1)^2 \le 0$. Следовательно, наибольшее значение $y$ равно $4 - 0 = 4$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x + 1} - 1$.
Область определения функции задается условием $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x+1}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x+1} \ge 0$.
Наименьшее значение выражение $\sqrt{x+1}$ принимает при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=-1$. Это значение равно $\sqrt{-1+1} = \sqrt{0} = 0$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $0 - 1 = -1$.
Когда $x$ неограниченно возрастает, $\sqrt{x+1}$ также неограниченно возрастает, а значит и $y$ неограниченно возрастает.
Таким образом, множество значений функции – это все числа, не меньшие -1.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = 2 - \sqrt{1 - x}$.
Область определения функции задается условием $1 - x \ge 0$, то есть $x \le 1$.
Выражение $\sqrt{1-x}$ принимает неотрицательные значения: $\sqrt{1-x} \ge 0$.
Следовательно, выражение $-\sqrt{1-x}$ принимает неположительные значения: $-\sqrt{1-x} \le 0$.
Тогда $y = 2 - \sqrt{1-x} \le 2 + 0 = 2$.
Наибольшее значение функции достигается, когда вычитаемое $\sqrt{1-x}$ минимально, то есть равно 0. Это происходит при $x=1$.
$y_{max} = 2 - \sqrt{1-1} = 2 - 0 = 2$.
Когда $x$ неограниченно убывает ($x \to -\infty$), выражение $1-x$ неограниченно возрастает, $\sqrt{1-x}$ также неограниченно возрастает, а $y = 2 - \sqrt{1-x}$ неограниченно убывает.
Таким образом, множество значений функции – это все числа, не большие 2.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.