Номер 20.35, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.35. Выясните, является ли функция четной или нечетной и постройте ее график.

1) $y = x^2 + 6|x| - 2;$

2) $y = -2x^2 + 4|x| + 1;$

3) $y = \frac{2}{1 + x^2};$

4) $y = \frac{x^2 - 1}{x}.$

1) $y = x^2 + 6|x| - 2$

Сначала исследуем функцию на четность. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^2 + 6|-x| - 2 = x^2 + 6|x| - 2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для построения графика достаточно построить его для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить относительно оси OY.
При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 6x - 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координата x вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, вершина находится вне нашей области, и на этом промежутке функция возрастает.
Найдем несколько точек для $x \ge 0$:
При $x=0$, $y = 0^2 + 6 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
При $x=1$, $y = 1^2 + 6 \cdot 1 - 2 = 5$. Точка $(1, 5)$.
При $x=2$, $y = 2^2 + 6 \cdot 2 - 2 = 14$. Точка $(2, 14)$.
Строим график для $x \ge 0$ и отражаем его симметрично относительно оси OY.

Ответ: Функция является четной.

2) $y = -2x^2 + 4|x| + 1$

Исследуем функцию на четность. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -2(-x)^2 + 4|-x| + 1 = -2x^2 + 4|x| + 1 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция имеет вид: $y = -2x^2 + 4x + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Координата x вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.
Координата y вершины: $y_v = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$. Вершина находится в точке $(1, 3)$.
Найдем еще точки для $x \ge 0$:
При $x=0$, $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x=2$, $y = -2(2)^2 + 4(2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.
Строим правую часть графика и отражаем ее симметрично относительно оси OY. В силу симметрии, вторая вершина (локальный максимум) будет в точке $(-1, 3)$.

Ответ: Функция является четной.

3) $y = \frac{2}{1 + x^2}$

Исследуем функцию на четность. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $1+x^2 > 0$ при любых $x$. Область определения симметрична.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{2}{1 + (-x)^2} = \frac{2}{1 + x^2} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика отметим, что при $x=0$, $y=2$ (максимальное значение функции). При увеличении $|x|$, знаменатель $1+x^2$ растет, а значение функции $y$ уменьшается, стремясь к нулю. Таким образом, ось OX является горизонтальной асимптотой графика.
Найдем несколько точек:
При $x=0$, $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x=1$, $y = \frac{2}{1+1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
При $x=2$, $y = \frac{2}{1+4} = 0.4$. Точка $(2, 0.4)$.
В силу четности, на графике также лежат точки $(-1, 1)$ и $(-2, 0.4)$.

Ответ: Функция является четной.

4) $y = \frac{x^2 - 1}{x}$

Исследуем функцию на четность. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{-x} = \frac{x^2 - 1}{-x} = - \frac{x^2 - 1}{x} = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Для построения графика достаточно построить его для $x > 0$ и затем применить центральную симметрию относительно точки $(0,0)$.
Функцию можно переписать в виде $y = x - \frac{1}{x}$.
График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x$ (т.к. при $x \to \infty$, $\frac{1}{x} \to 0$).
Найдем точки пересечения с осью OX: $y=0 \implies \frac{x^2-1}{x} = 0 \implies x^2-1=0 \implies x=\pm 1$. Для $x > 0$ имеем точку $(1, 0)$.
При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
При $x \to +\infty$, $y \to x$ (график приближается к асимптоте снизу).
Строим ветвь для $x > 0$ и отображаем ее симметрично относительно начала координат, чтобы получить ветвь для $x < 0$.

Ответ: Функция является нечетной.