Номер 20.29, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.29. В какой четверти находится угол $\alpha$, если:

1) $ \sin \alpha + \cos \alpha = -1,3 $;

2) $ \sin \alpha - \cos \alpha = 1,3 $?

1)

Дано уравнение $ \sin\alpha + \cos\alpha = -1,3 $. Для определения четверти, в которой находится угол $ \alpha $, проанализируем возможные знаки и значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $.
Известно, что $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $ и $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $.
Рассмотрим знаки в каждой четверти:
- В I четверти $ \sin\alpha > 0 $ и $ \cos\alpha > 0 $, следовательно, их сумма $ \sin\alpha + \cos\alpha $ будет положительной. Это противоречит условию $ -1,3 $.
- Во II четверти ($ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $) и в IV четверти ($ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $), сумма $ \sin\alpha + \cos\alpha $ находится в диапазоне $ [-1, 1] $. Это можно показать, преобразовав выражение: $ \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) $. Так как $ -1 \le \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le 1 $, то $ -\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} $. Однако, если рассмотреть отдельно II и IV четверти, то в них сумма не выходит за пределы от -1 до 1. Поскольку $ -1,3 < -1 $, эти варианты не подходят.
- В III четверти $ \sin\alpha < 0 $ и $ \cos\alpha < 0 $. В этом случае их сумма всегда отрицательна. Минимальное значение суммы достигается при $ \alpha = \frac{5\pi}{4} $ и равно $ -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \approx -1,414 $. Максимальное значение стремится к -1 на границах четверти. Так как $ -\sqrt{2} < -1,3 < -1 $, то такое значение суммы возможно только в III четверти.

Для проверки возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (-1,3)^2 $
$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,69 $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,69 $
$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,69 $
$ \sin(2\alpha) = 0,69 $
Положительное значение $ \sin(2\alpha) $ означает, что угол $ 2\alpha $ находится в I или II четверти.Если $ \alpha $ находится в III четверти, то $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.Тогда для угла $ 2\alpha $ имеем: $ 2\pi < 2\alpha < 3\pi $. Этот интервал для $ 2\alpha $ на единичной окружности соответствует I и II четвертям, где синус положителен. Это подтверждает, что $ \alpha $ находится в III четверти.
Ответ: угол $ \alpha $ находится в III четверти.

2)

Дано уравнение $ \sin\alpha - \cos\alpha = 1,3 $. Проанализируем возможные знаки и значения в каждой четверти.
- В I четверти ($ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $) и в III четверти ($ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $) значение выражения $ \sin\alpha - \cos\alpha $ находится в диапазоне $ [-1, 1] $. Значение $ 1,3 $ больше 1, поэтому эти четверти не подходят.
- В IV четверти $ \sin\alpha < 0 $ и $ \cos\alpha > 0 $. Тогда разность $ \sin\alpha - \cos\alpha $ всегда будет отрицательной (отрицательное число минус положительное), что противоречит условию $ 1,3 > 0 $.
- Во II четверти $ \sin\alpha > 0 $ и $ \cos\alpha < 0 $. Разность $ \sin\alpha - \cos\alpha $ будет всегда положительной (положительное число минус отрицательное). Максимальное значение разности достигается при $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $ и равно $ \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1,414 $. На границах четверти значение разности равно 1. Так как $ 1 < 1,3 < \sqrt{2} $, то такое значение возможно только во II четверти.

Для проверки возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (1,3)^2 $
$ \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,69 $
$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,69 $
$ -2\sin\alpha\cos\alpha = 0,69 $
$ \sin(2\alpha) = -0,69 $
Отрицательное значение $ \sin(2\alpha) $ означает, что угол $ 2\alpha $ находится в III или IV четверти.Если $ \alpha $ находится во II четверти, то $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.Тогда для угла $ 2\alpha $ имеем: $ \pi < 2\alpha < 2\pi $. Этот интервал для $ 2\alpha $ как раз и является III и IV четвертями, где синус отрицателен. Это подтверждает, что $ \alpha $ находится во II четверти.
Ответ: угол $ \alpha $ находится во II четверти.