Номер 20.25, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.25. Известно, что $\sin \alpha = 0,5$:

1) верно ли, что $\alpha = 30^{\circ}$?

2) Укажите несколько углов, синус которых равен 0,5;

3) укажите в общем виде все углы, синус которых равен 0,5.

1) верно ли, что α = 30°?
Утверждение не является полностью верным. Хотя $ \sin(30^\circ) $ действительно равен $0,5$, и $ \alpha = 30^\circ $ является одним из решений уравнения $ \sin\alpha = 0,5 $, это не единственное решение. Функция синуса является периодической, и также существует другой основной угол $150^\circ$, синус которого равен $0,5$, так как $ \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(150^\circ) = 0,5 $. Поскольку существуют и другие значения $ \alpha $, нельзя однозначно утверждать, что $ \alpha $ равно именно $ 30^\circ $.
Ответ: Неверно, так как это лишь одно из множества решений.

2) Укажите несколько углов, синус которых равен 0,5;
Для нахождения углов, синус которых равен $0,5$, мы можем использовать два основных значения и периодичность функции синуса.
Основные углы в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$ — это $30^\circ$ и $150^\circ$.
Так как период синуса составляет $360^\circ$, мы можем добавлять или вычитать $360^\circ$ к этим углам, чтобы получить другие решения.
Например:
$30^\circ + 360^\circ = 390^\circ$
$150^\circ + 360^\circ = 510^\circ$
$30^\circ - 360^\circ = -330^\circ$
$150^\circ - 360^\circ = -210^\circ$
Ответ: Несколько углов, синус которых равен 0,5: $30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, -210^\circ$.

3) укажите в общем виде все углы, синус которых равен 0,5.
Общая формула для нахождения всех решений уравнения $ \sin\alpha = a $ (где $ |a| \le 1 $) выглядит следующим образом:
$ \alpha = (-1)^k \arcsin(a) + 180^\circ \cdot k $, где $ k $ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $ a = 0,5 $, а главный угол $ \arcsin(0,5) $ равен $ 30^\circ $.
Подставив это значение в общую формулу, получим выражение для всех углов $ \alpha $, синус которых равен $0,5$:
$ \alpha = (-1)^k \cdot 30^\circ + 180^\circ \cdot k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^k \cdot 30^\circ + 180^\circ \cdot k, k \in \mathbb{Z} $.