Номер 20.19, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.19. Найдите несколько значений $\alpha$, при которых равно нулю значение выражения:

1) $\cos\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$;

2) $\sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha$;

3) $\sin\alpha + \cos\alpha$.

1) Чтобы найти значения $α$, при которых выражение $cos α ⋅ tg α$ равно нулю, приравняем его к нулю, учитывая область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение $tg α$ определено, если $cos α ≠ 0$, то есть $α ≠ \frac{π}{2} + πk$, где $k$ – любое целое число ($k ∈ Z$).

Упростим выражение, используя определение тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$:

$cos α ⋅ tg α = cos α ⋅ \frac{sin α}{cos α} = sin α$.

Теперь решим уравнение $sin α = 0$.

Решением этого уравнения является $α = πn$, где $n ∈ Z$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как при $α = πn$ косинус равен $cos(πn) = (-1)^n ≠ 0$.

Найдем несколько частных значений:

при $n = 0, α = 0$;

при $n = 1, α = π$ (или $180°$);

при $n = 2, α = 2π$ (или $360°$).

Ответ: например, $α = 0, α = π, α = 2π$.

2) Рассмотрим выражение $sin α ⋅ ctg α$ и найдем значения $α$, при которых оно равно нулю.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием существования $ctg α$. Котангенс $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$ определен, если $sin α ≠ 0$, то есть $α ≠ πn$, где $n ∈ Z$.

Упростим выражение:

$sin α ⋅ ctg α = sin α ⋅ \frac{cos α}{sin α} = cos α$.

Приравняем полученное выражение к нулю: $cos α = 0$.

Решением этого уравнения является $α = \frac{π}{2} + πk$, где $k ∈ Z$.

Проверим, удовлетворяют ли эти значения ОДЗ. При $α = \frac{π}{2} + πk$, синус равен $sin(\frac{π}{2} + πk) = (-1)^k ≠ 0$. Следовательно, найденные значения входят в ОДЗ.

Найдем несколько частных значений:

при $k = 0, α = \frac{π}{2}$ (или $90°$);

при $k = 1, α = \frac{3π}{2}$ (или $270°$);

при $k = -1, α = -\frac{π}{2}$ (или $-90°$).

Ответ: например, $α = \frac{π}{2}, α = \frac{3π}{2}, α = -\frac{π}{2}$.

3) Найдем значения $α$, при которых выражение $sin α + cos α$ равно нулю.

Решим уравнение $sin α + cos α = 0$.

Перенесем $cos α$ в правую часть: $sin α = -cos α$.

Разделим обе части уравнения на $cos α$. Это можно сделать, так как если бы $cos α = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $sin α = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, поскольку $sin^2α + cos^2α = 1$. Следовательно, $cos α ≠ 0$.

Получаем: $\frac{sin α}{cos α} = -1$.

Используя определение тангенса, имеем $tg α = -1$.

Решением этого уравнения является $α = arctg(-1) + πn$, где $n ∈ Z$.

Так как $arctg(-1) = -\frac{π}{4}$, общее решение имеет вид $α = -\frac{π}{4} + πn$, где $n ∈ Z$.

Найдем несколько частных значений:

при $n = 0, α = -\frac{π}{4}$ (или $-45°$);

при $n = 1, α = -\frac{π}{4} + π = \frac{3π}{4}$ (или $135°$);

при $n = 2, α = -\frac{π}{4} + 2π = \frac{7π}{4}$ (или $315°$).

Ответ: например, $α = -\frac{π}{4}, α = \frac{3π}{4}, α = \frac{7π}{4}$.