Номер 20.16, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.16. Выразите значение алгебраической суммы чисел $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$ через:

1) тангенсы острых углов;

2) котангенсы острых углов.

1) тангенсы острых углов

Задача состоит в том, чтобы выразить значение выражения $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$ через тангенсы острых углов. Острый угол — это угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Вспомним табличные значения тангенсов для некоторых стандартных острых углов:

$\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan(45^\circ) = 1$

Мы видим, что оба числа в исходной алгебраической сумме, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $1$, могут быть представлены как значения тангенсов острых углов.

Произведем замену этих чисел на соответствующие им тригонометрические функции:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 = \tan(30^\circ) - \tan(45^\circ)$

Таким образом, мы выразили заданное значение через разность тангенсов двух острых углов ($30^\circ$ и $45^\circ$).

Ответ: $\tan(30^\circ) - \tan(45^\circ)$.

2) котангенсы острых углов

Теперь необходимо выразить то же значение, $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$, через котангенсы острых углов.

Вспомним табличные значения котангенсов для стандартных острых углов:

$\cot(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot(45^\circ) = 1$

Как и в предыдущем пункте, числа в исходном выражении можно заменить на значения котангенсов острых углов. В данном случае это углы $60^\circ$ и $45^\circ$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 = \cot(60^\circ) - \cot(45^\circ)$

Итак, мы представили заданную алгебраическую сумму в виде разности котангенсов двух острых углов.

Ответ: $\cot(60^\circ) - \cot(45^\circ)$.