Номер 20.21, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.21. Найдите четыре значения α, при которых:

1) $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Решим уравнение $sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение тригонометрического уравнения $sin\alpha = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, а главное значение арксинуса $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение имеет вид: $\alpha = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$.

Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим в формулу различные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $\alpha = (-1)^0 (-\frac{\pi}{4}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$.

2. При $k=1$: $\alpha = (-1)^1 (-\frac{\pi}{4}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

3. При $k=2$: $\alpha = (-1)^2 (-\frac{\pi}{4}) + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.

4. При $k=-1$: $\alpha = (-1)^{-1} (-\frac{\pi}{4}) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}$.

2) Решим уравнение $cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $cos\alpha = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение: $\alpha = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Это дает две серии решений. Найдем по два значения из каждой серии, подставляя различные целые значения $k$:

1. Из серии $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=0$: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

2. Из этой же серии при $k=1$: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

3. Из серии $\alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=0$: $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.

4. Из этой же серии при $k=1$: $\alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

3) Решим уравнение $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу для синуса: $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.

Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим в формулу различные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $\alpha = (-1)^0 (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3}$.

2. При $k=1$: $\alpha = (-1)^1 (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

3. При $k=2$: $\alpha = (-1)^2 (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

4. При $k=-1$: $\alpha = (-1)^{-1} (-\frac{\pi}{3}) - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$.