Номер 20.27, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.27. Возможно ли равенство:

1) $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3;$

2) $3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 5;$

3) $\sin\alpha - 7\cos\alpha = -8;$

4) $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 1?$

Для проверки возможности равенств вида $A\sin\alpha + B\cos\alpha = C$ используется метод оценки диапазона значений левой части. Выражение $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ может быть преобразовано к виду $\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\phi)$, где $\phi$ - вспомогательный угол. Поскольку синус принимает значения от $-1$ до $1$, множество значений выражения $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ представляет собой отрезок $[-\sqrt{A^2+B^2}; \sqrt{A^2+B^2}]$. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда значение $C$ принадлежит этому отрезку. Это эквивалентно выполнению неравенства $|C| \le \sqrt{A^2+B^2}$ или $C^2 \le A^2+B^2$.

1) Проверим равенство $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3$.В данном случае коэффициенты $A=1$, $B=2$ и $C=3$.Найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе: $A^2 + B^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.Найдем квадрат правой части: $C^2 = 3^2 = 9$.Сравниваем значения и видим, что $9 > 5$, то есть $C^2 > A^2+B^2$.Это означает, что значение $3$ не входит в диапазон значений выражения $\sin\alpha + 2\cos\alpha$, который равен $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$. Следовательно, равенство невозможно.
Ответ: нет.

2) Проверим равенство $3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 5$.Здесь $A=3$, $B=-2$ и $C=5$.Сумма квадратов коэффициентов: $A^2 + B^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.Квадрат правой части: $C^2 = 5^2 = 25$.Поскольку $25 > 13$, то есть $C^2 > A^2+B^2$, равенство невозможно. Максимальное значение выражения $3\sin\alpha - 2\cos\alpha$ равно $\sqrt{13}$, что меньше $5$.
Ответ: нет.

3) Проверим равенство $\sin\alpha - 7\cos\alpha = -8$.Здесь $A=1$, $B=-7$ и $C=-8$.Сумма квадратов коэффициентов: $A^2 + B^2 = 1^2 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50$.Квадрат правой части: $C^2 = (-8)^2 = 64$.Так как $64 > 50$, то есть $C^2 > A^2+B^2$, равенство невозможно. Минимальное значение выражения $\sin\alpha - 7\cos\alpha$ равно $-\sqrt{50}$, а $-8$ (что равно $-\sqrt{64}$) меньше этого значения.
Ответ: нет.

4) Проверим равенство $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 1$.Здесь $A=1$, $B=2$ и $C=1$.Сумма квадратов коэффициентов: $A^2 + B^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.Квадрат правой части: $C^2 = 1^2 = 1$.В этом случае $1 \le 5$, то есть $C^2 \le A^2+B^2$.Условие выполняется, так как значение $1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$, который является множеством значений выражения $\sin\alpha + 2\cos\alpha$. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.