Номер 20.34, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.34. Решите неравенство и укажите наибольшее целое решение неравенства:

1) $\frac{x^2+4x-5}{(x-3)^2} < 0;$

2) $\frac{x^2-4x-5}{(x+2)^4} < 0;$

3) $\frac{7}{x^2-5x+6} + 1 < \frac{9}{3-x}.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2+4x-5}{(x-3)^2} < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Так как выражение $(x-3)^2$ всегда положительно при $x \neq 3$, знак всей дроби определяется знаком числителя. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2+4x-5 < 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Для решения квадратного неравенства $x^2+4x-5 < 0$ найдем корни соответствующего уравнения $x^2+4x-5=0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y=x^2+4x-5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.
Таким образом, решение неравенства $x^2+4x-5 < 0$ — это интервал $x \in (-5, 1)$.
Это решение удовлетворяет условию $x \neq 3$, так как точка 3 не принадлежит интервалу $(-5, 1)$.
Проиллюстрируем решение методом интервалов. Корни числителя: -5, 1. Корень знаменателя: 3 (четной кратности, знак при переходе через него не меняется).
Интервал, где неравенство выполняется, это $(-5, 1)$.
Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -4, -3, -2, -1, 0.
Наибольшим целым решением является 0.
Ответ: $x \in (-5, 1)$; наибольшее целое решение: 0.

2) Решим неравенство $\frac{x^2-4x-5}{(x+2)^4} < 0$.
ОДЗ: $(x+2)^4 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$.
Знаменатель $(x+2)^4$ положителен при всех $x$ из ОДЗ. Значит, знак дроби совпадает со знаком числителя.
Неравенство сводится к системе:
$\begin{cases} x^2-4x-5 < 0 \\ x \neq -2 \end{cases}$
Решим $x^2-4x-5 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2-4x-5=0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-1, 5)$.
Точка $x=-2$ не входит в этот интервал, поэтому условие ОДЗ выполнено.
Проиллюстрируем решение методом интервалов. Корни числителя: -1, 5. Корень знаменателя: -2 (четной кратности).
Интервал, где неравенство выполняется, это $(-1, 5)$.
Целые решения: 0, 1, 2, 3, 4.
Наибольшее целое решение равно 4.
Ответ: $x \in (-1, 5)$; наибольшее целое решение: 4.

3) Решим неравенство $\frac{7}{x^2-5x+6} + 1 < \frac{9}{3-x}$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.
ОДЗ: $x^2-5x+6 \neq 0$ и $3-x \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.
$\frac{7}{(x-2)(x-3)} + 1 - \frac{9}{-(x-3)} < 0$
$\frac{7}{(x-2)(x-3)} + 1 + \frac{9}{x-3} < 0$
Общий знаменатель $(x-2)(x-3)$.
$\frac{7 + 1 \cdot (x-2)(x-3) + 9 \cdot (x-2)}{(x-2)(x-3)} < 0$
$\frac{7 + (x^2-5x+6) + (9x-18)}{(x-2)(x-3)} < 0$
$\frac{x^2+4x-5}{(x-2)(x-3)} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя $x^2+4x-5=0$: $x=-5$ и $x=1$.
Нули знаменателя $(x-2)(x-3)=0$: $x=2$ и $x=3$.
Нанесем точки -5, 1, 2, 3 на числовую ось. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а 2 и 3 не входят в ОДЗ. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знак будет чередоваться.
Нам нужны интервалы со знаком "минус". Это $(-5, 1)$ и $(2, 3)$.
Решение неравенства: $x \in (-5, 1) \cup (2, 3)$.
Целые числа, входящие в это объединение: -4, -3, -2, -1, 0 (из первого интервала) и ни одного из второго.
Наибольшее целое решение равно 0.
Ответ: $x \in (-5, 1) \cup (2, 3)$; наибольшее целое решение: 0.