Вопросы, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 21. Тригонометрические функции и их свойства. Глава IV. Тригонометрия. Часть 2 - страница 31.

Условие рус.

1. Существует ли такой угол, для которого верно равенство: $\sin a = 2; \cos a = -0, \cos a = -0001; \operatorname{tg} x = 1\ 000\ 000$?

2. В какой четверти знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса одинаковые?

3. Какова связь между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов?

4. Может ли синус отрицательного угла быть положительным? Приведите пример.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Существует ли такой угол, для которого верно равенство: sinα = 2; cos α = -0, cos α = -0001; tgx = 1 000 000?

Рассмотрим каждое равенство отдельно:

• $ \sin\alpha = 2 $: Такого угла не существует. Область значений функции синус – это отрезок $ [-1; 1] $. Число 2 не входит в этот отрезок.

• $ \cos\alpha = -0 $: Такого угла существует. Равенство $ \cos\alpha = -0 $ эквивалентно $ \cos\alpha = 0 $. Это значение входит в область значений косинуса $ [-1; 1] $. Например, $ \alpha = 90^{\circ} $ или $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.

• $ \cos\alpha = -0001 $: Такого угла существует. Если предположить, что имелось в виду $ \cos\alpha = -0.001 $, то это значение принадлежит области значений косинуса $ [-1; 1] $.

• $ \text{tg}x = 1 000 000 $: Такого угла существует. Область значений функции тангенс – это все действительные числа, то есть $ (-\infty; +\infty) $. Любое действительное число, включая 1 000 000, может быть значением тангенса.

Ответ: для $ \sin\alpha = 2 $ – нет; для $ \cos\alpha = -0 $ – да; для $ \cos\alpha = -0001 $ – да; для $ \text{tg}x = 1 000 000 $ – да.

2. В какой четверти знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса одинаковые?

Рассмотрим знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности:

• I четверть (от 0° до 90°): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0 $ и $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} > 0 $. Все четыре функции имеют знак «плюс».

• II четверть (от 90° до 180°): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha < 0 $ и $ \text{ctg}\alpha < 0 $. Знаки разные.

• III четверть (от 180° до 270°): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha > 0 $ и $ \text{ctg}\alpha > 0 $. Знаки разные.

• IV четверть (от 270° до 360°): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\alpha < 0 $ и $ \text{ctg}\alpha < 0 $. Знаки разные.

Таким образом, все четыре тригонометрические функции имеют одинаковые знаки (положительные) только в первой четверти.

Ответ: В первой четверти.

3. Какова связь между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов?

Связь определяется свойством четности и нечетности тригонометрических функций. Противоположные углы – это $ \alpha $ и $ -\alpha $.

• Функция косинус является четной, что означает $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.

• Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными, что означает:

  $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $

  $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

  $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

Таким образом, при смене знака угла значение косинуса не меняется, а значения синуса, тангенса и котангенса меняют свой знак на противоположный.

Ответ: $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $; $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $; $ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $; $ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.

4. Может ли синус отрицательного угла быть положительным? Приведите пример.

Да, может. Синус отрицательного угла $ \beta $ (где $ \beta < 0 $) будет положительным, если конечная сторона этого угла при откладывании от начального луча по часовой стрелке окажется в I или II четверти.

Согласно формуле приведения для противоположных углов, $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $. Чтобы $ \sin(-\alpha) $ был положительным, необходимо, чтобы $ -\sin(\alpha) > 0 $, что равносильно $ \sin(\alpha) < 0 $.

Синус угла $ \alpha $ отрицателен, если угол $ \alpha $ находится в III или IV четверти.

Пример: Возьмем отрицательный угол $ -210^{\circ} $. Этот угол получается вращением по часовой стрелке на $ 210^{\circ} $ и его конечная сторона попадает во II четверть. Синус во II четверти положителен.

Вычислим его значение: $ \sin(-210^{\circ}) = -\sin(210^{\circ}) $. Угол $ 210^{\circ} $ находится в III четверти, где синус отрицателен: $ \sin(210^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \sin(-210^{\circ}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} $.

Значение $ \frac{1}{2} $ является положительным.

Ответ: Да, может. Например, $ \sin(-210^{\circ}) = \frac{1}{2} $.