Номер 21.7, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.7. Известно, что функция $f(x)$ задана на множестве $R$. При $x = 2$ имеем $f(2 + a) = f(2)$ и при $x = 5$ имеем $f(5 + a) = f(5)$.

Можно ли утверждать, что функция $f(x)$ периодическая и имеет период $T = a$?

Нет, этого утверждать нельзя.

По определению, функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из области определения функции (в данном случае, для любого $x \in R$) выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

В условии задачи дано, что равенство $f(x+a)=f(x)$ выполняется только для двух конкретных значений: $x=2$ и $x=5$. То есть, нам известно лишь, что:

$f(2+a) = f(2)$

$f(5+a) = f(5)$

Эта информация не является достаточной, чтобы сделать вывод о периодичности функции на всем множестве действительных чисел. Чтобы доказать, что такое утверждение в общем случае неверно, достаточно привести контрпример — то есть, построить функцию, которая удовлетворяет заданным условиям, но не является периодической с периодом $a$.

Рассмотрим следующую функцию, определённую на множестве $R$ (для определённости положим, что $a \neq 0$ и $a \neq 3$):

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in \{2, 2+a, 5, 5+a\} \\ 0, & \text{во всех остальных случаях} \end{cases}$

Проверим, выполняются ли для этой функции заданные в условии равенства:

1. При $x=2$: $f(2)=1$ и $f(2+a)=1$. Следовательно, равенство $f(2+a) = f(2)$ выполняется.

2. При $x=5$: $f(5)=1$ и $f(5+a)=1$. Следовательно, равенство $f(5+a) = f(5)$ выполняется.

Оба условия задачи удовлетворены. Теперь проверим, является ли эта функция периодической с периодом $T=a$. Для этого нужно выяснить, выполняется ли равенство $f(x+a)=f(x)$ для всех $x \in R$.

Возьмём в качестве $x$ точку $2+a$.

Значение функции в этой точке: $f(x) = f(2+a) = 1$.

Теперь найдём значение функции в точке $x+a = (2+a)+a = 2+2a$.

Поскольку мы предположили, что $a \neq 0$ и $a \neq 3$, точка $2+2a$ не принадлежит множеству $\{2, 2+a, 5, 5+a\}$. Тогда, согласно определению нашей функции, $f(2+2a) = 0$.

Таким образом, мы получили, что для точки $x = 2+a$ равенство $f(x+a) = f(x)$ не выполняется, так как $f(2+2a) = 0$, а $f(2+a) = 1$.

Поскольку мы нашли хотя бы одну точку, для которой условие периодичности не выполняется, мы можем заключить, что построенная нами функция не является периодической с периодом $a$.

Ответ: Нет, утверждать, что функция $f(x)$ периодическая и имеет период $T=a$, нельзя.