Номер 21.14, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.14. Известно, что функция $y = f(x)$ имеет период $T = 3$. Найдите период функции:

1) $y = f(x) + 5$;

2) $y = f(x) - 3$;

3) $y = 2f(x)$;

4) $y = -f(x)$.

По определению, функция $y = f(x)$ имеет период $T$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. В условии задачи сказано, что функция $y = f(x)$ имеет наименьший положительный период $T=3$, то есть $f(x+3) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Рассмотрим, как преобразования функции влияют на ее период. Преобразования вида $y = A \cdot f(x) + B$, где $A$ и $B$ — константы и $A \neq 0$, являются вертикальными преобразованиями (растяжение/сжатие и сдвиг) и не изменяют период функции. Проверим это для каждого случая.

1) y = f(x) + 5
Пусть $g(x) = f(x) + 5$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $g(x)$.
$g(x+3) = f(x+3) + 5$.
Поскольку $f(x)$ имеет период 3, $f(x+3) = f(x)$. Подставим это в наше выражение:
$g(x+3) = f(x) + 5$.
Правая часть равна $g(x)$, следовательно, $g(x+3) = g(x)$.
Это преобразование является сдвигом графика функции $f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат, что не влияет на период.
Ответ: 3

2) y = f(x) - 3
Пусть $h(x) = f(x) - 3$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $h(x)$.
$h(x+3) = f(x+3) - 3$.
Так как $f(x+3) = f(x)$, получаем:
$h(x+3) = f(x) - 3 = h(x)$.
Это преобразование является сдвигом графика функции $f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат, что не влияет на период.
Ответ: 3

3) y = 2f(x)
Пусть $k(x) = 2f(x)$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $k(x)$.
$k(x+3) = 2f(x+3)$.
Так как $f(x+3) = f(x)$, получаем:
$k(x+3) = 2f(x) = k(x)$.
Это преобразование является растяжением графика функции $f(x)$ в 2 раза вдоль оси ординат, что не влияет на период.
Ответ: 3

4) y = -f(x)
Пусть $m(x) = -f(x)$. Проверим, является ли $T=3$ периодом для функции $m(x)$.
$m(x+3) = -f(x+3)$.
Так как $f(x+3) = f(x)$, получаем:
$m(x+3) = -f(x) = m(x)$.
Это преобразование является симметричным отражением графика функции $f(x)$ относительно оси абсцисс, что не влияет на период.
Ответ: 3