Номер 21.16, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.16. Найдите углы в параллелограмме, если значение тангенса одного из его углов равно:

1) $ \frac{\sqrt{3}}{3} $;

2) $ \sqrt{3} $;

3) $ -1 $;

4) $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма смежных (соседних) углов равна $180^\circ$. Углы параллелограмма находятся в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. Если тангенс угла положителен, то угол острый (меньше $90^\circ$). Если тангенс отрицателен, то угол тупой (больше $90^\circ$).

1) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Поскольку значение тангенса положительно, угол $\alpha$ является острым. Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, $\alpha = 30^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

2) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = \sqrt{3}$. Поскольку значение тангенса положительно, угол $\alpha$ является острым. Известно, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, следовательно, $\alpha = 60^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

3) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = -1$. Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Используя формулу приведения $\tan(180^\circ - x) = -\tan(x)$ и зная, что $\tan(45^\circ)=1$, находим угол: $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

4) Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. По условию, $\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Используя формулу приведения $\tan(180^\circ - x) = -\tan(x)$ и зная, что $\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, находим угол: $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. В параллелограмме есть два таких угла. Найдем смежный с ним угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Два других угла параллелограмма равны $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.