Номер 21.17, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.17. Найдите углы в равнобокой трапеции, если значение косинуса одного из ее углов равно:

1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $-0,5$;

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Это означает, что трапеция имеет две пары равных углов: два острых и два тупых (за исключением случая прямоугольника), причем сумма острого и тупого углов составляет $180^\circ$. Обозначим острый угол как $\alpha$, а тупой как $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Если косинус угла положителен, то это острый угол. Если косинус отрицателен, то это тупой угол.

1) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, этот угол является острым.
Находим величину угла: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Это острые углы трапеции. Другая пара углов (тупые) будет равна: $\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $30^\circ$ и два по $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 150^\circ, 30^\circ$.

2) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, этот угол является острым.
Находим величину угла: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.
Это острые углы трапеции. Тупые углы равны: $\beta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $45^\circ$ и два по $135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

3) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\beta) = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, этот угол является тупым.
Находим величину угла: $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.
Это тупые углы трапеции. Острые углы равны: $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $60^\circ$ и два по $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

4) Дано значение косинуса одного из углов: $\cos(\beta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, этот угол является тупым.
Находим величину угла: $\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ$.
Это тупые углы трапеции. Острые углы равны: $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Таким образом, углы трапеции: два по $30^\circ$ и два по $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 150^\circ, 30^\circ$.