Номер 21.15, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.15. Найдите углы в параллелограмме, если значение косинуса одного из его углов равно:

1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $-0,5$;

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — соседние углы параллелограмма. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Углы параллелограмма — это две пары равных углов: $\alpha, \beta, \alpha, \beta$. Зная косинус одного угла, мы можем найти сам угол, а затем и смежный с ним угол.

1) Дано, что косинус одного из углов равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, угол $\alpha$ является острым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $30^\circ$. Противоположный ему угол также равен $30^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $150^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$ и $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

2) Дано, что косинус одного из углов равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку значение косинуса положительно, угол $\alpha$ является острым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Противоположный ему угол также равен $45^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $135^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $45^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$ и $135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

3) Дано, что косинус одного из углов равен $-0,5$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $120^\circ$. Противоположный ему угол также равен $120^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $60^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

4) Дано, что косинус одного из углов равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Пусть этот угол равен $\alpha$.
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $\alpha$ является тупым. Найдём его величину:
$\alpha = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ$.
Один из углов параллелограмма равен $150^\circ$. Противоположный ему угол также равен $150^\circ$.
Найдём величину смежного угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Два других угла параллелограмма равны по $30^\circ$.
Следовательно, углы параллелограмма — это $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$ и $150^\circ$.
Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.