Номер 21.8, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.8. Найдите знак значения разности:

1) $ \sin 30^\circ - 2 \cos(-60^\circ) $;

2) $ 2 \operatorname{tg} 225^\circ - \cos 45^\circ $;

3) $ 3 \cos 270^\circ - \operatorname{ctg} 250^\circ $;

4) $ 4 \sin 60^\circ - \operatorname{ctg}(-60^\circ) $.

1) $\sin30^\circ - 2\cos(-60^\circ)$
Для нахождения знака разности вычислим ее точное значение. Используем известные значения тригонометрических функций: $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$. Функция косинус является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: $\sin30^\circ - 2\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. Полученное значение является отрицательным.
Ответ: знак минус (-).

2) $2\tg225^\circ - \cos45^\circ$
Найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти. Мы можем использовать формулу приведения: $\tg(225^\circ) = \tg(180^\circ + 45^\circ) = \tg(45^\circ) = 1$. Значение косинуса для угла $45^\circ$ является табличным: $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим найденные значения в выражение: $2\tg225^\circ - \cos45^\circ = 2 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы определить знак, сравним числа $2$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Поскольку $2 > 0,707$, разность $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет положительной.
Ответ: знак плюс (+).

3) $3\cos270^\circ - \ctg250^\circ$
Определим значения и знаки каждого члена выражения. Значение косинуса для угла $270^\circ$ равно нулю: $\cos270^\circ = 0$. Угол $250^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Котангенс, как отношение косинуса к синусу, будет положительным: $\ctg250^\circ > 0$. Подставим значения в выражение: $3\cos270^\circ - \ctg250^\circ = 3 \cdot 0 - \ctg250^\circ = -\ctg250^\circ$. Поскольку $\ctg250^\circ$ — положительное число, то выражение $-\ctg250^\circ$ будет отрицательным.
Ответ: знак минус (-).

4) $4\sin60^\circ - \ctg(-60^\circ)$
Найдем значения тригонометрических функций. Табличное значение синуса для $60^\circ$: $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Функция котангенс является нечетной, то есть $\ctg(-x) = -\ctg(x)$. Поэтому $\ctg(-60^\circ) = -\ctg(60^\circ)$. Табличное значение котангенса для $60^\circ$: $\ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\ctg(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим значения в выражение: $4\sin60^\circ - \ctg(-60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, оба слагаемых ($2\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$) являются положительными числами. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.
Ответ: знак плюс (+).