Номер 21.3, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.3. В какой четверти находится угол a, если:

1) $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0; $

2) $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0; $

3) $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha > 0; $

4) $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0; $

5) $ \sin \alpha < 0 $ и $ \operatorname{tg} \alpha > 0; $

6) $ \operatorname{tg} \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0? $

Для определения четверти, в которой находится угол $\alpha$, необходимо проанализировать знаки его тригонометрических функций. Знаки синуса, косинуса и тангенса в каждой из четырех координатных четвертей определяются следующим образом:

• I четверть (от 0° до 90°): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha > 0$.
• II четверть (от 90° до 180°): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tg \alpha < 0$.
• III четверть (от 180° до 270°): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tg \alpha > 0$.
• IV четверть (от 270° до 360°): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tg \alpha < 0$.

На единичной окружности синус угла соответствует координате по оси ординат (y), а косинус — координате по оси абсцисс (x). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу, $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, поэтому он положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки (I и III четверти), и отрицателен, когда их знаки различны (II и IV четверти).

Ниже представлена наглядная схема знаков тригонометрических функций по четвертям:

Теперь решим каждую задачу.

1) По условию $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$. Синус угла положителен в I и II четвертях. Косинус угла отрицателен во II и III четвертях. Единственная четверть, которая удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это II четверть.
Ответ: II четверть.

2) По условию $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Оба условия выполняются одновременно только в III четверти.
Ответ: III четверть.

3) По условию $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Косинус положителен в I и IV четвертях. Общей для этих двух условий является IV четверть.
Ответ: IV четверть.

4) По условию $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Синус положителен в I и II четвертях. Косинус положителен в I и IV четвертях. Следовательно, угол может находиться только в I четверти.
Ответ: I четверть.

5) По условию $\sin \alpha < 0$ и $\tg \alpha > 0$. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях. Пересечение этих условий ($\{\text{III, IV}\} \cap \{\text{I, III}\}$) дает III четверть.
Ответ: III четверть.

6) По условию $\tg \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$. Тангенс положителен в I и III четвертях. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Единственная общая четверть для этих условий — III четверть.
Ответ: III четверть.