Номер 20.38, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.38. Фермер и его сын выполнили некоторую работу за 6 часов. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить эту работу, если сын затратил на нее на 5 ч больше, чем отец?

Пусть вся работа составляет 1 условную единицу. Обозначим за $x$ время в часах, за которое фермер (отец) может выполнить всю работу самостоятельно.

Согласно условию, сын затрачивает на 5 часов больше, чем отец, следовательно, время сына для выполнения работы в одиночку составляет $x+5$ часов.

Производительность труда (скорость выполнения работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени.
Производительность отца равна $\frac{1}{x}$ работы в час.
Производительность сына равна $\frac{1}{x+5}$ работы в час.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$ работы в час.

По условию задачи, вместе они выполняют всю работу за 6 часов. Это означает, что их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в час. Составим уравнение, приравняв совместную производительность, выраженную через $x$, и известную совместную производительность:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Решим это уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$
$12x+30 = x^2+5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением является $x = 10$.

Таким образом, время, за которое фермер выполнит работу в одиночку, составляет 10 часов.
Время, за которое его сын выполнит работу в одиночку, составляет $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: фермер мог бы выполнить эту работу за 10 часов, а его сын — за 15 часов.