Номер 20.33, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.33. Найдите значение суммы и значение произведения корней уравнения:

1) $3x^2 - 5x - 27 = 0;$

2) $5x^2 - 7x - 1,2 = 0;$

3) $3,5x^2 + 7,6x + 1 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Применение теоремы Виета возможно, если уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$. Проверим это для каждого уравнения.

1) $3x^2 - 5x - 27 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -5$, $c = -27$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27) = 25 + 324 = 349$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и мы можем применить теорему Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-27}{3} = -9$.

Ответ: сумма корней равна $\frac{5}{3}$, произведение корней равно $-9$.

2) $5x^2 - 7x - 1,2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -7$, $c = -1,2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1,2) = 49 + 24 = 73$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1,2}{5} = -0,24$.

Ответ: сумма корней равна $1,4$, произведение корней равно $-0,24$.

3) $3,5x^2 + 7,6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 3,5$, $b = 7,6$, $c = 1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (7,6)^2 - 4 \cdot 3,5 \cdot 1 = 57,76 - 14 = 43,76$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7,6}{3,5} = -\frac{76}{35}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{3,5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$.

Ответ: сумма корней равна $-\frac{76}{35}$, произведение корней равно $\frac{2}{7}$.