Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример уравнения с двумя переменными первой, второй, третьей и четвертой степени.

2. Приведите пример линейного и нелинейного уравнения с двумя переменными.

3. Что общего и в чем различие линейного и нелинейного уравнения с двумя переменными?

4. Сколько решений может иметь уравнение с двумя переменными?

5. Приведите пример уравнения, графиком которого является: парабола; гипербола; прямая; окружность.

1. Степень уравнения с двумя переменными определяется по наибольшей степени его членов. Степень члена — это сумма показателей степеней переменных, входящих в этот член.

Уравнение первой степени: Переменные входят в уравнение в первой степени. Например, $2x + 3y = 7$. Здесь степень каждого члена с переменной равна 1.

Уравнение второй степени: Наибольшая степень члена равна 2. Например, $x^2 + y^2 = 25$. Здесь степень члена $x^2$ равна 2, и степень члена $y^2$ равна 2. Другой пример: $y = 3x^2 - 5x + 1$.

Уравнение третьей степени: Наибольшая степень члена равна 3. Например, $y = x^3$. Здесь степень члена $x^3$ равна 3. Другой пример: $x^2y + x = 5$. Степень члена $x^2y$ равна $2+1=3$.

Уравнение четвертой степени: Наибольшая степень члена равна 4. Например, $x^4 + y^4 = 1$. Степень членов $x^4$ и $y^4$ равна 4.

Ответ: Первая степень: $x - y = 10$;Вторая степень: $x^2 + y = 4$;Третья степень: $y = x^3 - 2x$;Четвертая степень: $x^4 + y = 15$.

2. Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — числа, причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Нелинейное уравнение — это любое уравнение, которое не является линейным, то есть содержит переменные в степени выше первой, произведения переменных или переменные под знаком корня, модуля, тригонометрической функции и т.д.

Пример линейного уравнения: $5x - 2y = 8$. Все переменные находятся в первой степени.

Пример нелинейного уравнения: $xy = 12$. Здесь есть произведение переменных, что делает уравнение нелинейным. Другой пример: $y = x^2 + 1$. Здесь переменная $x$ во второй степени.

Ответ: Пример линейного уравнения: $3x + y = 5$.Пример нелинейного уравнения: $x^2 + y^2 = 1$.

3. Сравнение линейного и нелинейного уравнений с двумя переменными:

Общее:
1. Оба являются уравнениями, то есть равенствами, содержащими переменные.
2. Оба содержат две переменные (например, $x$ и $y$).
3. Решением для обоих уравнений является упорядоченная пара чисел $(x, y)$, которая обращает уравнение в верное числовое равенство.
4. Оба типа уравнений могут иметь бесконечное множество решений.
5. График каждого уравнения можно построить на координатной плоскости.

Различия:
1. Форма и степень: Линейное уравнение всегда можно привести к виду $ax + by = c$, его степень равна 1. Нелинейные уравнения имеют разнообразные формы, а их степень — 2 или выше.
2. График: Графиком линейного уравнения с двумя переменными всегда является прямая линия. Графиком нелинейного уравнения является кривая линия (парабола, гипербола, окружность, и т.д.) или совокупность линий.
3. Свойства: У линейного уравнения постоянный наклон (скорость изменения одной переменной относительно другой). У нелинейного уравнения наклон графика меняется.

Ответ: Общее заключается в том, что они оба являются равенствами с двумя переменными и их решениями являются пары чисел. Различие — в степени уравнения и форме графика: у линейного это всегда прямая, у нелинейного — кривая.

4. Уравнение с двумя переменными может иметь:

1. Ни одного решения. Это происходит, когда ни одна пара чисел $(x, y)$ не может удовлетворить равенству. Например, уравнение $x^2 + y^2 = -1$. Так как квадраты любых действительных чисел неотрицательны, их сумма не может быть отрицательной.

2. Конечное число решений. Обычно это одно решение. Например, уравнение $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. То есть $x - 5 = 0$ и $y + 2 = 0$, что дает единственное решение $(5, -2)$.

3. Бесконечно много решений. Это самый частый случай. Любая точка на графике уравнения является его решением. Например, для линейного уравнения $x + y = 3$ существует бесконечно много пар чисел, удовлетворяющих ему (например, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(3, 0)$ и т.д.). То же самое верно для нелинейного уравнения $y = x^2$.

Ответ: Уравнение с двумя переменными может не иметь решений, иметь конечное число решений (например, одно) или иметь бесконечно много решений.

5. Примеры уравнений для заданных графиков:

Парабола: График квадратичной функции. Каноническое уравнение: $y = ax^2 + bx + c$.
Пример: $y = x^2$.

Гипербола: График обратной пропорциональности. Каноническое уравнение: $y = k/x$ или $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
Пример: $y = \frac{1}{x}$ или, что то же самое, $xy = 1$.

Прямая: График линейного уравнения. Каноническое уравнение: $ax + by = c$ или $y = kx + m$.
Пример: $2x + y = 4$ или $y = -2x + 4$.

Окружность: Множество точек, равноудаленных от центра. Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
Пример окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 5: $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: Парабола: $y = 2x^2 - 1$;Гипербола: $xy = 6$;Прямая: $y = 3x - 5$;Окружность: $x^2 + y^2 = 9$.

1.1. Постройте график линии, заданной уравнением:

1) $3x - 2y + 5 = 0;$

2) $2x - 5y = 7;$

3) $-x^2 + 2y = 0;$

4) $3y + 3x^2 - 6 = 0;$

5) $y - \frac{1}{2}x^2 - 1,5 = 0;$

6) $2y - |x| + 5 = 0;$

7) $y + 2|x| - 6 = 0;$

8) $|y| - x + 2 = 0;$

9) $y - |x + 1| - 2 = 0.$

1) Дано линейное уравнение $3x - 2y + 5 = 0$. Графиком этого уравнения является прямая линия. Чтобы построить ее, выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x + 5$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ или $y = 1,5x + 2,5$.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 1,5 \cdot 0 + 2,5 = 2,5$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 2,5)$.
• При $y=0$, $0 = 1,5x + 2,5 \Rightarrow 1,5x = -2,5 \Rightarrow x = -\frac{2,5}{1,5} = -\frac{5}{3}$. Точка пересечения с осью OX: $(-\frac{5}{3}; 0)$.

Соединив эти две точки, получим искомый график.

Ответ: Графиком является прямая линия $y = 1,5x + 2,5$.

2) Дано линейное уравнение $2x - 5y = 7$. Графиком является прямая линия. Выразим $y$ через $x$:

$5y = 2x - 7$

$y = \frac{2}{5}x - \frac{7}{5}$ или $y = 0,4x - 1,4$.

Найдем две точки для построения прямой:

• При $x=0$, $y = 0,4 \cdot 0 - 1,4 = -1,4$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -1,4)$.
• При $y=0$, $0 = 0,4x - 1,4 \Rightarrow 0,4x = 1,4 \Rightarrow x = \frac{1,4}{0,4} = 3,5$. Точка пересечения с осью OX: $(3,5; 0)$.

Соединив эти две точки, получим график.

Ответ: Графиком является прямая линия $y = 0,4x - 1,4$.

3) Дано уравнение $-x^2 + 2y = 0$. Это уравнение второй степени, его графиком является парабола. Выразим $y$ через $x$:

$2y = x^2$

$y = \frac{1}{2}x^2$ или $y = 0,5x^2$.

Это каноническое уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек:

• При $x=0, y=0$.
• При $x=\pm 2, y = 0,5 \cdot (\pm 2)^2 = 2$. Точки $(\pm 2; 2)$.
• При $x=\pm 4, y = 0,5 \cdot (\pm 4)^2 = 8$. Точки $(\pm 4; 8)$.

Ответ: Графиком является парабола $y = 0,5x^2$ с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

4) Дано уравнение $3y + 3x^2 - 6 = 0$. Это уравнение параболы. Выразим $y$ через $x$:

$3y = -3x^2 + 6$

$y = -x^2 + 2$.

Это парабола, полученная из $y=-x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$, а ветви направлены вниз. Найдем точки пересечения с осью OX ($y=0$):

$0 = -x^2 + 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1,41$.

Точки пересечения с осью OX: $(\pm\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: Графиком является парабола $y = -x^2 + 2$ с вершиной в точке $(0; 2)$ и ветвями, направленными вниз.

5) Дано уравнение $y - \frac{1}{2}x^2 - 1,5 = 0$. Это уравнение параболы. Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{1}{2}x^2 + 1,5$ или $y = 0,5x^2 + 1,5$.

Это парабола, полученная из $y=0,5x^2$ сдвигом на 1,5 единицы вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; 1,5)$, а ветви направлены вверх. Так как вершина находится выше оси OX и ветви направлены вверх, пересечений с осью OX нет.

Ответ: Графиком является парабола $y = 0,5x^2 + 1,5$ с вершиной в точке $(0; 1,5)$ и ветвями, направленными вверх.

6) Дано уравнение $2y - |x| + 5 = 0$. Оно содержит модуль $x$, поэтому график будет симметричен относительно оси OY. Выразим $y$:

$2y = |x| - 5$

$y = \frac{1}{2}|x| - \frac{5}{2}$ или $y = 0,5|x| - 2,5$.

График представляет собой "V"-образную линию. Вершина находится при $x=0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2,5 = -2,5$. Точка вершины: $(0; -2,5)$.

Раскроем модуль:

• Если $x \ge 0$, то $y = 0,5x - 2,5$ (луч, выходящий из вершины вправо-вверх).
• Если $x < 0$, то $y = -0,5x - 2,5$ (луч, выходящий из вершины влево-вверх).

Ответ: График состоит из двух лучей, образующих "V"-образную форму с вершиной в точке $(0; -2,5)$.

7) Дано уравнение $y + 2|x| - 6 = 0$. Выразим $y$:

$y = -2|x| + 6$.

График симметричен относительно оси OY. Это перевернутая "V"-образная линия. Вершина находится при $x=0$, $y = -2 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка вершины: $(0; 6)$.

Раскроем модуль:

• Если $x \ge 0$, то $y = -2x + 6$ (луч, выходящий из вершины вправо-вниз).
• Если $x < 0$, то $y = 2x + 6$ (луч, выходящий из вершины влево-вниз).

Ответ: График представляет собой перевернутую "V"-образную линию с вершиной в точке $(0; 6)$.

8) Дано уравнение $|y| - x + 2 = 0$. Оно содержит модуль $y$, поэтому график будет симметричен относительно оси OX. Выразим $|y|$:

$|y| = x - 2$.

Так как модуль числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. График существует только для $x \ge 2$.

Вершина находится при $|y|=0$, что дает $x=2$. Точка вершины: $(2; 0)$.

Раскроем модуль:

• Если $y \ge 0$, то $y = x - 2$ (луч, выходящий из вершины вправо-вверх).
• Если $y < 0$, то $-y = x - 2 \Rightarrow y = -x + 2$ (луч, выходящий из вершины вправо-вниз).

График представляет собой "V"-образную линию, "лежащую на боку" и открытую вправо.

Ответ: График состоит из двух лучей с общим началом в точке $(2; 0)$, симметричных относительно оси OX.

9) Дано уравнение $y - |x + 1| - 2 = 0$. Выразим $y$:

$y = |x + 1| + 2$.

Этот график является смещенной версией графика $y=|x|$. Сдвиг происходит на 1 единицу влево (из-за $+1$ под модулем) и на 2 единицы вверх. Вершина "V"-образной линии находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. При $x=-1$, $y=|-1+1|+2=2$. Точка вершины: $(-1; 2)$.

Раскроем модуль:

• Если $x+1 \ge 0$ (т.е. $x \ge -1$), то $y = (x+1)+2 = x+3$.
• Если $x+1 < 0$ (т.е. $x < -1$), то $y = -(x+1)+2 = -x+1$.

Ответ: График представляет собой "V"-образную линию с вершиной в точке $(-1; 2)$.

20.33. Найдите значение суммы и значение произведения корней уравнения:

1) $3x^2 - 5x - 27 = 0;$

2) $5x^2 - 7x - 1,2 = 0;$

3) $3,5x^2 + 7,6x + 1 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Применение теоремы Виета возможно, если уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$. Проверим это для каждого уравнения.

1) $3x^2 - 5x - 27 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -5$, $c = -27$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27) = 25 + 324 = 349$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и мы можем применить теорему Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-27}{3} = -9$.

Ответ: сумма корней равна $\frac{5}{3}$, произведение корней равно $-9$.

2) $5x^2 - 7x - 1,2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -7$, $c = -1,2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1,2) = 49 + 24 = 73$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1,2}{5} = -0,24$.

Ответ: сумма корней равна $1,4$, произведение корней равно $-0,24$.

3) $3,5x^2 + 7,6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 3,5$, $b = 7,6$, $c = 1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (7,6)^2 - 4 \cdot 3,5 \cdot 1 = 57,76 - 14 = 43,76$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7,6}{3,5} = -\frac{76}{35}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{3,5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$.

Ответ: сумма корней равна $-\frac{76}{35}$, произведение корней равно $\frac{2}{7}$.

20.34. Решите неравенство и укажите наибольшее целое решение неравенства:

1) $\frac{x^2+4x-5}{(x-3)^2} < 0;$

2) $\frac{x^2-4x-5}{(x+2)^4} < 0;$

3) $\frac{7}{x^2-5x+6} + 1 < \frac{9}{3-x}.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2+4x-5}{(x-3)^2} < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Так как выражение $(x-3)^2$ всегда положительно при $x \neq 3$, знак всей дроби определяется знаком числителя. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2+4x-5 < 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Для решения квадратного неравенства $x^2+4x-5 < 0$ найдем корни соответствующего уравнения $x^2+4x-5=0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y=x^2+4x-5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.
Таким образом, решение неравенства $x^2+4x-5 < 0$ — это интервал $x \in (-5, 1)$.
Это решение удовлетворяет условию $x \neq 3$, так как точка 3 не принадлежит интервалу $(-5, 1)$.
Проиллюстрируем решение методом интервалов. Корни числителя: -5, 1. Корень знаменателя: 3 (четной кратности, знак при переходе через него не меняется).
Интервал, где неравенство выполняется, это $(-5, 1)$.
Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -4, -3, -2, -1, 0.
Наибольшим целым решением является 0.
Ответ: $x \in (-5, 1)$; наибольшее целое решение: 0.

2) Решим неравенство $\frac{x^2-4x-5}{(x+2)^4} < 0$.
ОДЗ: $(x+2)^4 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$.
Знаменатель $(x+2)^4$ положителен при всех $x$ из ОДЗ. Значит, знак дроби совпадает со знаком числителя.
Неравенство сводится к системе:
$\begin{cases} x^2-4x-5 < 0 \\ x \neq -2 \end{cases}$
Решим $x^2-4x-5 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2-4x-5=0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-1, 5)$.
Точка $x=-2$ не входит в этот интервал, поэтому условие ОДЗ выполнено.
Проиллюстрируем решение методом интервалов. Корни числителя: -1, 5. Корень знаменателя: -2 (четной кратности).
Интервал, где неравенство выполняется, это $(-1, 5)$.
Целые решения: 0, 1, 2, 3, 4.
Наибольшее целое решение равно 4.
Ответ: $x \in (-1, 5)$; наибольшее целое решение: 4.

3) Решим неравенство $\frac{7}{x^2-5x+6} + 1 < \frac{9}{3-x}$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.
ОДЗ: $x^2-5x+6 \neq 0$ и $3-x \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.
$\frac{7}{(x-2)(x-3)} + 1 - \frac{9}{-(x-3)} < 0$
$\frac{7}{(x-2)(x-3)} + 1 + \frac{9}{x-3} < 0$
Общий знаменатель $(x-2)(x-3)$.
$\frac{7 + 1 \cdot (x-2)(x-3) + 9 \cdot (x-2)}{(x-2)(x-3)} < 0$
$\frac{7 + (x^2-5x+6) + (9x-18)}{(x-2)(x-3)} < 0$
$\frac{x^2+4x-5}{(x-2)(x-3)} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя $x^2+4x-5=0$: $x=-5$ и $x=1$.
Нули знаменателя $(x-2)(x-3)=0$: $x=2$ и $x=3$.
Нанесем точки -5, 1, 2, 3 на числовую ось. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а 2 и 3 не входят в ОДЗ. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знак будет чередоваться.
Нам нужны интервалы со знаком "минус". Это $(-5, 1)$ и $(2, 3)$.
Решение неравенства: $x \in (-5, 1) \cup (2, 3)$.
Целые числа, входящие в это объединение: -4, -3, -2, -1, 0 (из первого интервала) и ни одного из второго.
Наибольшее целое решение равно 0.
Ответ: $x \in (-5, 1) \cup (2, 3)$; наибольшее целое решение: 0.

20.35. Выясните, является ли функция четной или нечетной и постройте ее график.

1) $y = x^2 + 6|x| - 2;$

2) $y = -2x^2 + 4|x| + 1;$

3) $y = \frac{2}{1 + x^2};$

4) $y = \frac{x^2 - 1}{x}.$

1) $y = x^2 + 6|x| - 2$

Сначала исследуем функцию на четность. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^2 + 6|-x| - 2 = x^2 + 6|x| - 2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для построения графика достаточно построить его для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить относительно оси OY.
При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 6x - 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координата x вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, вершина находится вне нашей области, и на этом промежутке функция возрастает.
Найдем несколько точек для $x \ge 0$:
При $x=0$, $y = 0^2 + 6 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
При $x=1$, $y = 1^2 + 6 \cdot 1 - 2 = 5$. Точка $(1, 5)$.
При $x=2$, $y = 2^2 + 6 \cdot 2 - 2 = 14$. Точка $(2, 14)$.
Строим график для $x \ge 0$ и отражаем его симметрично относительно оси OY.

Ответ: Функция является четной.

2) $y = -2x^2 + 4|x| + 1$

Исследуем функцию на четность. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = -2(-x)^2 + 4|-x| + 1 = -2x^2 + 4|x| + 1 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция имеет вид: $y = -2x^2 + 4x + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Координата x вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.
Координата y вершины: $y_v = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$. Вершина находится в точке $(1, 3)$.
Найдем еще точки для $x \ge 0$:
При $x=0$, $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
При $x=2$, $y = -2(2)^2 + 4(2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.
Строим правую часть графика и отражаем ее симметрично относительно оси OY. В силу симметрии, вторая вершина (локальный максимум) будет в точке $(-1, 3)$.

Ответ: Функция является четной.

3) $y = \frac{2}{1 + x^2}$

Исследуем функцию на четность. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $1+x^2 > 0$ при любых $x$. Область определения симметрична.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{2}{1 + (-x)^2} = \frac{2}{1 + x^2} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика отметим, что при $x=0$, $y=2$ (максимальное значение функции). При увеличении $|x|$, знаменатель $1+x^2$ растет, а значение функции $y$ уменьшается, стремясь к нулю. Таким образом, ось OX является горизонтальной асимптотой графика.
Найдем несколько точек:
При $x=0$, $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x=1$, $y = \frac{2}{1+1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
При $x=2$, $y = \frac{2}{1+4} = 0.4$. Точка $(2, 0.4)$.
В силу четности, на графике также лежат точки $(-1, 1)$ и $(-2, 0.4)$.

Ответ: Функция является четной.

4) $y = \frac{x^2 - 1}{x}$

Исследуем функцию на четность. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{-x} = \frac{x^2 - 1}{-x} = - \frac{x^2 - 1}{x} = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Для построения графика достаточно построить его для $x > 0$ и затем применить центральную симметрию относительно точки $(0,0)$.
Функцию можно переписать в виде $y = x - \frac{1}{x}$.
График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x$ (т.к. при $x \to \infty$, $\frac{1}{x} \to 0$).
Найдем точки пересечения с осью OX: $y=0 \implies \frac{x^2-1}{x} = 0 \implies x^2-1=0 \implies x=\pm 1$. Для $x > 0$ имеем точку $(1, 0)$.
При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
При $x \to +\infty$, $y \to x$ (график приближается к асимптоте снизу).
Строим ветвь для $x > 0$ и отображаем ее симметрично относительно начала координат, чтобы получить ветвь для $x < 0$.

Ответ: Функция является нечетной.

20.36. Найдите все целые положительные значения переменной x,

удовлетворяющие двойному неравенству:

1) $1 < \frac{x+2}{5-x} < 6;$

2) $-1 < \frac{x-8}{x+1} < 3.$

1)

Дано двойное неравенство $1 < \frac{x+2}{5-x} < 6$.

Для решения данного двойного неравенства, представим его в виде системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

1. $\frac{x+2}{5-x} > 1$

2. $\frac{x+2}{5-x} < 6$

Решим первое неравенство:

$\frac{x+2}{5-x} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+2 - (5-x)}{5-x} > 0$

$\frac{x+2 - 5 + x}{5-x} > 0$

$\frac{2x-3}{5-x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $2x-3=0 \implies x = 1.5$ и $5-x=0 \implies x = 5$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определив знаки выражения на каждом интервале, находим, что неравенство выполняется при $x \in (1.5, 5)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x+2}{5-x} - 6 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+2 - 6(5-x)}{5-x} < 0$

$\frac{x+2 - 30 + 6x}{5-x} < 0$

$\frac{7x-28}{5-x} < 0$

Снова используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $7x-28=0 \implies x = 4$ и $5-x=0 \implies x = 5$. Определив знаки, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.

Общее решение системы является пересечением решений обоих неравенств:

$x \in (1.5, 5) \cap ((-\infty, 4) \cup (5, \infty))$

Пересечением является интервал $(1.5, 4)$.

По условию задачи требуется найти все целые положительные значения $x$. В интервале $(1.5, 4)$ находятся целые числа 2 и 3. Оба они положительные.

Ответ: 2, 3.

2)

Дано двойное неравенство $-1 < \frac{x-8}{x+1} < 3$.

По условию задачи, $x$ является целым положительным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Это означает, что знаменатель дроби $x+1$ всегда положителен (так как $x \ge 1 \implies x+1 \ge 2$).

Так как знаменатель $x+1$ строго положителен, мы можем умножить все части двойного неравенства на него, сохранив знаки неравенств:

$-1 \cdot (x+1) < x-8 < 3 \cdot (x+1)$

Это двойное неравенство равносильно системе двух линейных неравенств:

1. $-1(x+1) < x-8$

2. $x-8 < 3(x+1)$

Решим первое неравенство:

$-x-1 < x-8$

$8-1 < x+x$

$7 < 2x$

$x > 3.5$

Решим второе неравенство:

$x-8 < 3x+3$

$-8-3 < 3x-x$

$-11 < 2x$

$x > -5.5$

Решением системы является пересечение условий $x > 3.5$ и $x > -5.5$. Так как любое число, большее 3.5, автоматически больше и -5.5, общим решением является $x > 3.5$.

Мы ищем все целые положительные значения $x$, удовлетворяющие этому условию. Это все целые числа, которые строго больше 3.5.

Следовательно, искомые значения $x$ — это все целые числа, начиная с 4.

Ответ: все целые числа $x \ge 4$.