Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

63. 1) Значение суммы цифр двузначного числа равно 15. Если цифры этого двузначного числа поменять местами, то получится число, которое меньше его на 27. Найдите эти числа.

2) Значение суммы цифр двузначного числа равно 12. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет $\frac{4}{7}$ от исходного числа. Найдите эти числа.

1)

Пусть искомое двузначное число имеет $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10x + y$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет равно $10y + x$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Сумма цифр числа равна 15:
$x + y = 15$
2. Если цифры поменять местами, новое число будет меньше исходного на 27:
$(10x + y) - (10y + x) = 27$

Упростим второе уравнение:
$10x + y - 10y - x = 27$
$9x - 9y = 27$
Разделив обе части на 9, получим:
$x - y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 3$
$2x = 18$
$x = 9$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$9 + y = 15$
$y = 15 - 9$
$y = 6$

Следовательно, искомое число состоит из цифр 9 (десятки) и 6 (единицы), то есть это число 96. Число с переставленными цифрами — 69.
Проверка: сумма цифр $9 + 6 = 15$. Разность чисел $96 - 69 = 27$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 96 и 69.

2)

Пусть искомое двузначное число равно $10x + y$, где $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10y + x$.

На основе условий задачи составим систему уравнений:
1. Сумма цифр числа равна 12:
$x + y = 12$
2. Число, записанное в обратном порядке, составляет $\frac{4}{7}$ от исходного числа:
$10y + x = \frac{4}{7}(10x + y)$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 7, чтобы избавиться от дроби:
$7(10y + x) = 4(10x + y)$
$70y + 7x = 40x + 4y$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ — в другую:
$70y - 4y = 40x - 7x$
$66y = 33x$
Разделив обе части на 33, получим:
$x = 2y$

Теперь подставим выражение $x = 2y$ в первое уравнение системы:
$2y + y = 12$
$3y = 12$
$y = 4$

Теперь найдем $x$, используя соотношение $x = 2y$:
$x = 2 \cdot 4$
$x = 8$

Таким образом, исходное число — 84 (8 десятков и 4 единицы). Число с переставленными цифрами — 48.
Проверка: сумма цифр $8 + 4 = 12$. Отношение чисел $\frac{48}{84} = \frac{4 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{4}{7}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 84 и 48.

64. Предприятие предоставило текущие расходы в течение месяца в виде диаграммы (рис. 5). Общая сумма расходов составляет 2 500 000 тенге. Найдите расходы предприятия на аренду помещения и рекламу.

Аренда помещения $9p\%$

Страхование $8\%$

Реклама $p\%$

Коммунальные услуги $19\%$

Налоги $11\%$

Заработная плата $22\%$

Рис. 5

Для нахождения расходов на аренду и рекламу сперва необходимо определить значение переменной $p$. Сумма всех статей расходов в процентах должна составлять 100%.

Составим уравнение, сложив все процентные доли, указанные на диаграмме:

$9p\% + 8\% + p\% + 19\% + 11\% + 22\% = 100\%$

Упростим уравнение:

$(9p + p) + (8 + 19 + 11 + 22) = 100$

$10p + 60 = 100$

Решим уравнение относительно $p$:

$10p = 100 - 60$

$10p = 40$

$p = \frac{40}{10} = 4$

Теперь, зная что $p=4$, мы можем рассчитать процентные доли для аренды и рекламы.

Процент на аренду помещения: $9p\% = 9 \cdot 4\% = 36\%$.

Процент на рекламу: $p\% = 4\%$.

Общая сумма расходов предприятия составляет 2 500 000 тенге. Рассчитаем искомые расходы.

Расходы на аренду помещения

Чтобы найти сумму расходов на аренду, вычислим 36% от общей суммы:

$2\,500\,000 \times \frac{36}{100} = 2\,500\,000 \times 0.36 = 900\,000$ тенге.

Ответ: 900 000 тенге.

Расходы на рекламу

Чтобы найти сумму расходов на рекламу, вычислим 4% от общей суммы:

$2\,500\,000 \times \frac{4}{100} = 2\,500\,000 \times 0.04 = 100\,000$ тенге.

Ответ: 100 000 тенге.

65. Измерьте: а) рост (в см), б) массу (в кг) учащихся вашего класса.

Запишите ряд чисел.

Найдите:

1) среднее арифметическое значение этих результатов;

2) размах измерений;

3) моду измерений.

Поскольку задача требует реальных измерений, которые невозможно провести, решение будет показано на гипотетическом примере для класса из 10 учеников. Вам нужно будет подставить реальные данные вашего класса и провести аналогичные вычисления.

а) рост (в см)

Предположим, мы измерили рост 10 учеников и получили следующий ряд чисел (в см): 155, 158, 160, 160, 161, 162, 165, 168, 170, 155.

Для удобства расчетов упорядочим этот ряд по возрастанию: 155, 155, 158, 160, 160, 161, 162, 165, 168, 170.

1) среднее арифметическое значение этих результатов;

Среднее арифметическое – это сумма всех значений в ряду, деленная на их количество.
Сначала найдем сумму всех ростов:
$155 + 155 + 158 + 160 + 160 + 161 + 162 + 165 + 168 + 170 = 1614$ см.
Количество измерений (учеников): 10.
Теперь разделим сумму на количество, чтобы найти среднее арифметическое:
$M = \frac{1614}{10} = 161.4$ см.
Ответ: 161,4 см.

2) размах измерений;

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
Наибольшее значение в ряду: 170 см.
Наименьшее значение в ряду: 155 см.
Найдем разность:
$R = 170 - 155 = 15$ см.
Ответ: 15 см.

3) моду измерений.

Мода – это значение, которое встречается в ряду чаще всего.
В нашем ряду (155, 155, 158, 160, 160, 161, 162, 165, 168, 170) значения 155 и 160 встречаются по два раза каждое, что чаще, чем остальные. В этом случае у ряда есть две моды.
Ответ: 155 см и 160 см.

б) массу (в кг)

Предположим, мы измерили массу тех же 10 учеников и получили следующий ряд чисел (в кг): 45, 48, 50, 50, 51, 52, 55, 58, 60, 46.

Упорядочим этот ряд по возрастанию: 45, 46, 48, 50, 50, 51, 52, 55, 58, 60.

1) среднее арифметическое значение этих результатов;

Найдем сумму всех масс:
$45 + 46 + 48 + 50 + 50 + 51 + 52 + 55 + 58 + 60 = 515$ кг.
Количество измерений: 10.
Найдем среднее арифметическое:
$M = \frac{515}{10} = 51.5$ кг.
Ответ: 51,5 кг.

2) размах измерений;

Найдем разность между наибольшим и наименьшим значениями.
Наибольшее значение: 60 кг.
Наименьшее значение: 45 кг.
Размах:
$R = 60 - 45 = 15$ кг.
Ответ: 15 кг.

3) моду измерений.

Найдем наиболее часто встречающееся значение в ряду.
В ряду (45, 46, 48, 50, 50, 51, 52, 55, 58, 60) число 50 встречается два раза, а все остальные — по одному разу.
Ответ: 50 кг.