Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

50. Постройте график функции:

1) $y = \frac{3x - 2}{x}$;

2) $y = \frac{2x + 3}{2x}$;

3) $y = \sqrt{x - 2}$;

4) $y = 1 - \sqrt{(x - 2)^2}$;

5) $y = \frac{3}{|x|}$;

6) $y = \frac{1}{|x - 3|}$;

7) $y = -x|x| + 2x^2$;

8) $y = \frac{|x|}{x^2} + 2$.

1) $y = \frac{3x - 2}{x}$

Преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{3x}{x} - \frac{2}{x} = 3 - \frac{2}{x}$. Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График этой функции получается из графика гиперболы $y = -\frac{2}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Асимптоты графика: - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy). - горизонтальная асимптота: $y = 3$. Найдем несколько точек для построения: - если $x = 1$, то $y = 3 - 2/1 = 1$. - если $x = 2$, то $y = 3 - 2/2 = 2$. - если $x = -1$, то $y = 3 - 2/(-1) = 5$. - если $x = -2$, то $y = 3 - 2/(-2) = 4$. - точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 3 - 2/x \implies 2/x = 3 \implies x = 2/3$.

Ответ: График функции – гипербола, полученная сдвигом графика $y = -2/x$ на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=3$.

2) $y = \frac{2x + 3}{2x}$

Преобразуем функцию: $y = \frac{2x}{2x} + \frac{3}{2x} = 1 + \frac{1.5}{x}$. Область определения функции: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График этой функции получается из графика гиперболы $y = \frac{1.5}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Асимптоты графика: - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy). - горизонтальная асимптота: $y = 1$. Найдем несколько точек для построения: - если $x = 1$, то $y = 1 + 1.5/1 = 2.5$. - если $x = 1.5$, то $y = 1 + 1.5/1.5 = 2$. - если $x = -1$, то $y = 1 + 1.5/(-1) = -0.5$. - если $x = -1.5$, то $y = 1 + 1.5/(-1.5) = 0$.

Ответ: График функции – гипербола, полученная сдвигом графика $y = 1.5/x$ на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

3) $y = \sqrt{x - 2}$

Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$. Область значений: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$. График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Найдем несколько точек для построения: - начальная точка графика: $x=2, y=\sqrt{2-2}=0$. Точка (2, 0). - если $x = 3$, то $y = \sqrt{3-2} = 1$. Точка (3, 1). - если $x = 6$, то $y = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$. Точка (6, 2). - если $x = 11$, то $y = \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$. Точка (11, 3).

Ответ: График функции – ветвь параболы, выходящая из точки (2, 0) и направленная вправо и вверх.

4) $y = 1 - \sqrt{(x-2)^2}$

Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $y = 1 - |x - 2|$. Это функция с модулем. Ее график представляет собой "галочку", перевернутую вниз. Раскроем модуль по определению: - если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид $y = 1 - (x-2) = 1 - x + 2 = 3 - x$. - если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Функция принимает вид $y = 1 - (2-x) = 1 - 2 + x = x - 1$. Таким образом, $y = \begin{cases} 3-x, & x \ge 2 \\ x-1, & x < 2 \end{cases}$. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x=2$. При $x=2, y=1-|2-2|=1$. Вершина в точке (2, 1). Точки пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 1 - |x-2| \implies |x-2|=1$. $x-2 = 1 \implies x=3$. $x-2 = -1 \implies x=1$. Точки (1, 0) и (3, 0).

Ответ: График состоит из двух лучей, выходящих из точки (2, 1). Для $x \ge 2$ это часть прямой $y=3-x$, а для $x < 2$ – часть прямой $y=x-1$.

5) $y = \frac{3}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$. Так как $y(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|} = y(x)$, функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. Рассмотрим случай $x > 0$: $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{3}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Для $x < 0$ график получается отражением части для $x>0$ относительно оси Oy. Ключевые точки: - для $x > 0$: (1, 3), (3, 1). - для $x < 0$: (-1, 3), (-3, 1).

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Асимптоты – оси координат. График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях.

6) $y = \frac{1}{|x - 3|}$

Область определения функции: $|x - 3| \neq 0 \implies x \neq 3$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ (рассмотренной в предыдущем пункте, с коэффициентом 1 вместо 3) путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Асимптоты: - вертикальная асимптота: $x = 3$. - горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox). График симметричен относительно прямой $x = 3$ и полностью лежит выше оси Ox. Ключевые точки: - при $x=4, y = \frac{1}{|4-3|} = 1$. - при $x=2, y = \frac{1}{|2-3|} = 1$. - при $x=0, y = \frac{1}{|0-3|} = 1/3$.

Ответ: График функции $y=1/|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=0$. График расположен над осью Ox.

7) $y = -x|x| + 2x^2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая: - если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -x(x) + 2x^2 = -x^2 + 2x^2 = x^2$. - если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x(-x) + 2x^2 = x^2 + 2x^2 = 3x^2$. Получаем кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ 3x^2, & x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух частей парабол, сходящихся в точке (0, 0). Для $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y=x^2$. Точки: (0,0), (1,1), (2,4). Для $x < 0$ это левая ветвь параболы $y=3x^2$. Точки: (-1,3), (-2,12).

Ответ: График состоит из двух частей парабол, соединенных в начале координат. При $x \ge 0$ это график $y=x^2$, при $x < 0$ это график $y=3x^2$.

8) $y = \frac{|x|}{x^2} + 2$

Область определения: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. Упростим выражение: так как $x^2 = |x|^2$, то $\frac{|x|}{x^2} = \frac{|x|}{|x|^2} = \frac{1}{|x|}$ для $x \neq 0$. Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{1}{|x|} + 2$. График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{|x|}$ (см. пункт 5) сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy. Асимптоты: - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy). - горизонтальная асимптота: $y = 2$. Ключевые точки: - при $x=1, y = 1/1 + 2 = 3$. - при $x=0.5, y = 1/0.5 + 2 = 4$. - при $x=-1, y = 1/|-1| + 2 = 3$.

Ответ: График функции $y=1/|x|$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=2$. График полностью расположен выше прямой $y=2$.

51. Запишите уравнение функции, полученной путем параллельного переноса:

1) графика функции $y = x^2$ на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх;

2) графика функции $y = 2x^2$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз;

3) вершины графика функции $y = x^2$ в точку $(-1; 2)$;

4) вершины графика функции $y = 2x^2$ в точку $(3; -2)$.

1) графика функции y = x² на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх;
Общее уравнение функции, полученной путем параллельного переноса графика функции $y = f(x)$ на $h$ единиц по горизонтали и на $k$ единиц по вертикали, имеет вид $y = f(x-h) + k$.
Исходная функция: $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.
Сдвиг на 2 единицы вправо соответствует $h = 2$.
Сдвиг на 3 единицы вверх соответствует $k = 3$.
Подставляем значения в формулу: $y = (x-2)^2 + 3$.
Вершина новой параболы находится в точке $(2, 3)$.
Ответ: $y = (x-2)^2 + 3$

2) графика функции y = 2x² на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз;
Исходная функция: $y = 2x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.
Сдвиг на 3 единицы вправо соответствует $h = 3$.
Сдвиг на 2 единицы вниз соответствует $k = -2$.
Уравнение параболы $y=ax^2$ после переноса ее вершины в точку $(h, k)$ принимает вид $y = a(x-h)^2 + k$.
В данном случае $a = 2$, $h = 3$, $k = -2$.
Подставляем значения: $y = 2(x-3)^2 + (-2)$, что равносильно $y = 2(x-3)^2 - 2$.
Вершина новой параболы находится в точке $(3, -2)$.
Ответ: $y = 2(x-3)^2 - 2$

3) вершины графика функции y = x² в точку (–1; 2);
Исходная функция $y = x^2$ — это парабола с коэффициентом $a=1$ и вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Перенос вершины в точку $(-1, 2)$ означает, что новые координаты вершины $(h, k)$ равны $(-1, 2)$.
Используем вершинную формулу параболы $y = a(x-h)^2 + k$.
Подставляем $a=1$, $h=-1$ и $k=2$:
$y = 1 \cdot (x - (-1))^2 + 2$
$y = (x+1)^2 + 2$
Ответ: $y = (x+1)^2 + 2$

4) вершины графика функции y = 2x² в точку (3; –2).
Исходная функция $y = 2x^2$ — это парабола с коэффициентом $a=2$ и вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Перенос вершины в точку $(3, -2)$ означает, что новые координаты вершины $(h, k)$ равны $(3, -2)$.
Используем вершинную формулу параболы $y = a(x-h)^2 + k$.
Подставляем $a=2$, $h=3$ и $k=-2$:
$y = 2(x-3)^2 + (-2)$
$y = 2(x-3)^2 - 2$
Ответ: $y = 2(x-3)^2 - 2$

52. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h(м): $v(h) = -h^2 + 2h + 3$. Постройте график функции в программе “Живая геометрия” и по графику найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где $v = 0$) и глубину с максимально сильным течением.

Зависимость скорости течения реки $v$ (м/с) от глубины $h$ (м) задана функцией $v(h) = -h^2 + 2h + 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $h^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика и нахождения требуемых величин определим ключевые точки параболы, учитывая, что глубина $h$ не может быть отрицательной ($h \ge 0$).

1. Вершина параболы. Эта точка соответствует максимальному значению функции, то есть максимальной скорости течения.

Координата $h$ вершины находится по формуле $h_{верш} = -\frac{b}{2a}$:

$h_{верш} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$ м.

Координата $v$ вершины (максимальная скорость) находится подстановкой $h_{верш}$ в функцию:

$v(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$ м/с.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

2. Пересечение с осями координат.

Пересечение с осью $v$ (при $h=0$): $v(0) = 3$ м/с. Точка $(0; 3)$.

Пересечение с осью $h$ (при $v=0$): Эта точка соответствует нулевой скорости течения, что по условию является максимальной глубиной реки.

$-h^2 + 2h + 3 = 0$

$h^2 - 2h - 3 = 0$

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), получаем корни $h_1 = 3$ и $h_2 = -1$. Так как глубина не может быть отрицательной, нас интересует только корень $h=3$. Точка пересечения — $(3; 0)$.

На основе этих данных построим график функции для физически осмысленного диапазона $h \in [0, 3]$.

Нахождение максимальной глубины реки

Максимальная глубина реки соответствует условию $v=0$. По графику это точка, в которой кривая пересекает горизонтальную ось $h$. Из графика видно, что это происходит при $h=3$. Таким образом, максимальная глубина реки составляет 3 метра.

Ответ: максимальная глубина реки составляет 3 м.

Нахождение глубины с максимально сильным течением

Максимально сильное течение — это максимальное значение скорости $v$. На графике это самая высокая точка параболы, её вершина. Координаты вершины — $(1; 4)$. Это означает, что при глубине $h=1$ м скорость течения $v$ достигает своего максимума в 4 м/с. Следовательно, глубина с максимально сильным течением равна 1 метру.

Ответ: глубина с максимально сильным течением составляет 1 м.

53. Решите неравенство:

1) $(x - 8)(x + 3) \ge 0;$

2) $(7 + x)(2 - x) \le 0;$

3) $x(9 - x) < 0;$

4) $x(x - 6) > 0;$

5) $\frac{x + 4}{5 - x} > 0;$

6) $\frac{6 - x}{6 + x} \le 0;$

7) $\frac{x + 4,5}{x(4,5 - x)} \ge 0;$

8) $\frac{x(x + 1)}{2 - x} > 0;$

9) $(x - 3)(x + 3) \ge x^2 + 5x - 4;$

10) $x^2 + 5x - 4 \le 2;$

11) $x^2 + 3x - 4 > 6x;$

12) $9x^2 - 6x + 1 \le 0.$

1) $(x - 8)(x + 3) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Левая часть уже разложена на множители. Решим его методом интервалов.Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 8)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -3$.Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак выражения $(x - 8)(x + 3)$ в каждом интервале:

• При $x > 8$ (например, $x = 10$): $(10 - 8)(10 + 3) = 2 \cdot 13 = 26 > 0$. Знак «+».
• При $-3 < x < 8$ (например, $x = 0$): $(0 - 8)(0 + 3) = -8 \cdot 3 = -24 < 0$. Знак «-».
• При $x < -3$ (например, $x = -4$): $(-4 - 8)(-4 + 3) = -12 \cdot (-1) = 12 > 0$. Знак «+».

Нанесем знаки на числовую прямую:

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty)$.

2) $(7 + x)(2 - x) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(7 + x)(2 - x) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $x = -7$ и $x = 2$ включаются в решение. Отметим их на числовой прямой закрашенными кружками.Определим знаки выражения в интервалах $(-\infty, -7)$, $(-7, 2)$, $(2, \infty)$.Обратим внимание, что множитель $(2-x)$ имеет отрицательный коэффициент при $x$. Поэтому знаки будут чередоваться как «-», «+», «-».

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(7+3)(2-3) = 10 \cdot (-1) = -10 < 0$. Знак «-».
• При $-7 < x < 2$ (например, $x=0$): $(7+0)(2-0) = 14 > 0$. Знак «+».
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(7-8)(2-(-8)) = -1 \cdot 10 = -10 < 0$. Знак «-».

Изобразим на числовой прямой:

Выбираем интервалы со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [2, \infty)$.

3) $x(9 - x) < 0$

Метод интервалов. Корни уравнения $x(9 - x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.Неравенство строгое ($<$), поэтому точки $x = 0$ и $x = 9$ не включаются в решение (выколотые точки).Знаки в интервалах: «-», «+», «-» (из-за множителя $(9-x)$).

Нам нужны интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, \infty)$.

4) $x(x - 6) > 0$

Метод интервалов. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Неравенство строгое ($>$), точки выколотые.Знаки в интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 6)$, $(6, \infty)$ будут «+», «-», «+».

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

5) $\frac{x + 4}{5 - x} > 0$

Решаем рациональное неравенство методом интервалов.Находим нули числителя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$.Находим нули знаменателя: $5 - x = 0 \implies x = 5$.Отмечаем точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (знаменатель не может быть равен нулю в любом случае).Знаки в интервалах: «-», «+», «-».

Нам нужен интервал со знаком «+».

Ответ: $x \in (-4, 5)$.

6) $\frac{6 - x}{6 + x} \le 0$

Метод интервалов. Нуль числителя: $6 - x = 0 \implies x = 6$. Нуль знаменателя: $6 + x = 0 \implies x = -6$.Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нуль числителя ($x=6$) включаем в решение (закрашенная точка). Нуль знаменателя ($x=-6$) всегда исключается (выколотая точка).Знаки в интервалах: «-», «+», «-».

Выбираем интервалы со знаком «-», включая закрашенную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup [6, \infty)$.

7) $\frac{x + 4.5}{x(4.5 - x)} \ge 0$

Метод интервалов. Нуль числителя: $x = -4.5$. Нули знаменателя: $x = 0$ и $x = 4.5$.Точка $x = -4.5$ включается (закрашенная), точки $x = 0$ и $x = 4.5$ исключаются (выколотые).Определим знаки в интервалах.При $x>4.5$ (например, $x=5$): $\frac{5+4.5}{5(4.5-5)} = \frac{+}{+(-)} = -$.Далее знаки чередуются: «+», «-», «+», «-».

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -4.5] \cup (0, 4.5)$.

8) $\frac{x(x + 1)}{2 - x} > 0$

Метод интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-1$. Нуль знаменателя: $x=2$.Неравенство строгое, все точки выколотые.Знаки: «+», «-», «+», «-».

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

9) $(x - 3)(x + 3) \ge x^2 + 5x - 4$

Сначала упростим неравенство. Раскроем скобки в левой части по формуле разности квадратов:

$x^2 - 3^2 \ge x^2 + 5x - 4$

$x^2 - 9 \ge x^2 + 5x - 4$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$-9 + 4 \ge x^2 - x^2 + 5x$

$-5 \ge 5x$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):

$-1 \ge x$, что эквивалентно $x \le -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

10) $x^2 + 5x - 4 \le 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство:

$x^2 + 5x - 4 - 2 \le 0$

$x^2 + 5x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $-5$, произведение $-6$. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.Неравенство можно записать как $(x+6)(x-1) \le 0$.Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 6$ направлены вверх, значения функции будут меньше или равны нулю между корнями (включая корни).Точки $x=-6$ и $x=1$ включаются в решение.

Выбираем интервал со знаком «-».

Ответ: $x \in [-6, 1]$.

11) $x^2 + 3x - 4 > 6x$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + 3x - 6x - 4 > 0$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 3, произведение -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.Неравенство можно записать как $(x-4)(x+1) > 0$.Ветви параболы направлены вверх, поэтому значения функции больше нуля вне интервала между корнями. Неравенство строгое, поэтому точки $x=4$ и $x=-1$ не включаются в решение.

Выбираем интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

12) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$

Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(3x - 1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(3x - 1)^2 \ge 0$.Следовательно, неравенство $(3x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(3x - 1)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Решением неравенства является единственная точка.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

54. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x + 1)^2(x - 4) > 0;$

2) $(x + 2)(x - 3)^2 \ge 0;$

3) $x^2 - 5x < -x + 5;$

4) $-2x^2 - x > 2x - 5.$

1) $(x + 1)^2(x - 4) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю:
$(x + 1)^2(x - 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), точки будут выколотыми.
Множитель $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен (равен нулю при $x = -1$ и положителен при всех остальных $x$). Поскольку он стоит в четной степени, знак выражения при переходе через точку $x = -1$ не меняется.
Множитель $(x - 4)$ стоит в нечетной степени (1), поэтому знак выражения при переходе через точку $x = 4$ будет меняться.
Определим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $(5 + 1)^2(5 - 4) = 6^2 \cdot 1 = 36 > 0$. Ставим знак "+".
• При $-1 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0 + 1)^2(0 - 4) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$. Ставим знак "−".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2 + 1)^2(-2 - 4) = (-1)^2 \cdot (-6) = -6 < 0$. Ставим знак "−".

Изобразим это на числовой оси:

Нас интересует интервал, где выражение больше нуля. Это интервал $(4, +\infty)$.
Наименьшее целое число, которое принадлежит этому интервалу, это 5.
Ответ: 5

2) $(x + 2)(x - 3)^2 \geq 0$

Решаем методом интервалов.
Находим корни: $(x + 2)(x - 3)^2 = 0$.
Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Неравенство нестрогое ($\geq 0$), поэтому точки на числовой оси будут закрашенными.
Множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен, и знак выражения не меняется при переходе через точку $x = 3$.
Множитель $(x + 2)$ в нечетной степени, поэтому знак меняется при переходе через $x = -2$.
Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4 + 2)(4 - 3)^2 = 6 \cdot 1^2 = 6 > 0$. Ставим знак "+".
• При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0 + 2)(0 - 3)^2 = 2 \cdot 9 = 18 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3 + 2)(-3 - 3)^2 = -1 \cdot 36 = -36 < 0$. Ставим знак "−".

Изобразим на числовой оси:

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервалов $(-2, 3) \cup (3, +\infty)$ и точек, где выражение равно нулю, то есть $x=-2$ и $x=3$.
Таким образом, решением является множество $[-2, +\infty)$.
Наименьшее целое число из этого множества — это -2.
Ответ: -2

3) $x^2 - 5x < -x + 5$

Это квадратичное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 5x + x - 5 < 0$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Значения функции отрицательны между корнями.
Поскольку неравенство строгое ($<0$), корни не включаются в решение.
Решение: $x \in (-1, 5)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1, 2, 3, 4.
Наименьшее из них — 0.
Ответ: 0

4) $-2x^2 - x > 2x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:
$-2x^2 - x - 2x + 5 > 0$
$-2x^2 - 3x + 5 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$2x^2 + 3x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ является парабола с ветвями вверх. Нас интересует, где она находится ниже оси $x$ (т.е. $<0$). Это происходит между корнями.
Так как неравенство строгое, решением является интервал $x \in (-2.5, 1)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -2, -1, 0.
Наименьшее из этих целых чисел — -2.
Ответ: -2