Страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

28. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $x^2 + 2x - 8;$

2) $3x^2 - 11x + 8;$

3) $-2x^2 + 5x - 3;$

4) $-3x^2 + 8x - 5.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

1) $x^2 + 2x - 8$

Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1, b = 2, c = -8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Теперь подставим корни в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 4)$.

2) $3x^2 - 11x + 8$

Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 - 11x + 8 = 0$.
Коэффициенты: $a = 3, b = -11, c = 8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 121 - 96 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Подставим корни и коэффициент $a=3$ в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - \frac{8}{3})(x - 1)$.
Умножим первый множитель в скобках на 3, чтобы избавиться от дроби: $3(x - \frac{8}{3}) = 3x - 8$.
Таким образом, разложение имеет вид $(3x - 8)(x - 1)$.

Ответ: $(3x - 8)(x - 1)$.

3) $-2x^2 + 5x - 3$

Приравняем трехчлен к нулю: $-2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a = -2, b = 5, c = -3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$.
Подставим корни и коэффициент $a=-2$ в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = -2(x - 1)(x - \frac{3}{2})$.
Внесем множитель $-2$ во вторую скобку: $-2(x - \frac{3}{2}) = -2x + 3 = 3 - 2x$.
Разложение: $(x - 1)(3 - 2x)$.

Ответ: $(x - 1)(3 - 2x)$.

4) $-3x^2 + 8x - 5$

Приравняем трехчлен к нулю: $-3x^2 + 8x - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a = -3, b = 8, c = -5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 + 2}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 - 2}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}$.
Подставим корни и коэффициент $a=-3$ в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = -3(x - 1)(x - \frac{5}{3})$.
Внесем множитель $-3$ во вторую скобку: $-3(x - \frac{5}{3}) = -3x + 5 = 5 - 3x$.
Разложение: $(x - 1)(5 - 3x)$.

Ответ: $(x - 1)(5 - 3x)$.

29. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $-2x^2 + 10x - 8;$

2) $x^2 - 11x + 10;$

3) $-2x^2 + 7x - 5;$

4) $3x^2 + 4x - 7;$

5) $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2;$

6) $0,5x^2 - 6x + 5,5;$

7) $-2x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3};$

8) $0,3x^2 + 3x - 3,3.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1) $-2x^2 + 10x - 8$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $-2x^2 + 10x - 8 = 0$. Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на $-2$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь подставим корни в формулу разложения. Старший коэффициент исходного трехчлена $a = -2$.

$-2x^2 + 10x - 8 = -2(x - 4)(x - 1)$

Ответ: $-2(x - 4)(x - 1)$.

2) $x^2 - 11x + 10$

Найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 10 = 0$. Коэффициент $a=1$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 11$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 10$. Отсюда корни $x_1 = 10$ и $x_2 = 1$.

Либо через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.

$x_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10$

$x_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = 1$

Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 11x + 10 = (x - 10)(x - 1)$

Ответ: $(x - 10)(x - 1)$.

3) $-2x^2 + 7x - 5$

Найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x - 5 = 0$. Старший коэффициент $a=-2$.

$D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 49 - 40 = 9$

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-7 + 3}{-4} = 1$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-7 - 3}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$

Подставляем корни и коэффициент $a$ в формулу: $-2(x - 1)(x - \frac{5}{2})$.

Для получения множителей с целыми коэффициентами, внесем множитель $-2$ во вторую скобку:

$-2(x - 1)(x - \frac{5}{2}) = (x - 1) \cdot (-2)(x - \frac{5}{2}) = (x-1)(-2x+5) = (x-1)(5-2x)$

Ответ: $(x-1)(5-2x)$.

4) $3x^2 + 4x - 7$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 4x - 7 = 0$. Старший коэффициент $a=3$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Подставляем корни и коэффициент $a$ в формулу: $3(x - 1)(x - (-\frac{7}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{7}{3})$.

Внесем множитель 3 во вторую скобку:

$3(x-1)(x+\frac{7}{3}) = (x-1) \cdot 3(x+\frac{7}{3}) = (x-1)(3x+7)$

Ответ: $(x-1)(3x+7)$.

5) $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2$

Найдем корни уравнения $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2 = 0$. Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: $x^2 + 3x - 4 = 0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

Подставляем корни и старший коэффициент исходного трехчлена $a=\frac{1}{2}$ в формулу:

$\frac{1}{2}(x - 1)(x - (-4)) = \frac{1}{2}(x-1)(x+4)$

Ответ: $\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$.

6) $0,5x^2 - 6x + 5,5$

Найдем корни уравнения $0,5x^2 - 6x + 5,5 = 0$. Умножим уравнение на 2: $x^2 - 12x + 11 = 0$.

По теореме Виета, $x_1+x_2=12$ и $x_1 \cdot x_2=11$, значит $x_1 = 1$, $x_2 = 11$.

Подставляем корни и старший коэффициент $a=0,5$ в формулу разложения:

$0,5(x - 1)(x - 11)$

Ответ: $0,5(x - 1)(x - 11)$.

7) $-2x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$

Вынесем общий множитель $-\frac{2}{3}$ за скобки, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$-2x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}(3x^2 - 2x - 1)$

Теперь разложим на множители трехчлен $3x^2 - 2x - 1$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Разложение для $3x^2 - 2x - 1$ равно $3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.

Полное выражение: $-\frac{2}{3}(x-1)(3x+1)$.

Ответ: $-\frac{2}{3}(x-1)(3x+1)$.

8) $0,3x^2 + 3x - 3,3$

Вынесем общий множитель $0,3$ за скобки:

$0,3x^2 + 3x - 3,3 = 0,3(x^2 + 10x - 11)$

Разложим на множители $x^2 + 10x - 11$. Найдем корни уравнения $x^2 + 10x - 11 = 0$.

По теореме Виета, $x_1+x_2=-10$ и $x_1 \cdot x_2=-11$, значит $x_1 = 1$, $x_2 = -11$.

Разложение для $x^2 + 10x - 11$ равно $(x-1)(x-(-11)) = (x-1)(x+11)$.

Полное выражение: $0,3(x-1)(x+11)$.

Ответ: $0,3(x-1)(x+11)$.

30. Разложите на множители выражение:

1) $x^2 + 7x - 8;$

2) $x^2 - 10x - 11;$

3) $-2,5x^2 + 7,65x - 5,15;$

4) $3\frac{2}{3}x^2 + 4\frac{1}{3}x - 8.$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. Здесь коэффициенты $a=1, b=7, c=-8$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
Подставляем найденные корни $x_1=1$ и $x_2=-8$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - 1)(x - (-8)) = (x - 1)(x + 8)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 8)$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x - 11 = 0$. Здесь коэффициенты $a=1, b=-10, c=-11$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Подставляем корни $x_1=11$ и $x_2=-1$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - 11)(x - (-1)) = (x - 11)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x - 11)$

Найдем корни уравнения $-2,5x^2 + 7,65x - 5,15 = 0$. Здесь коэффициенты $a=-2,5, b=7,65, c=-5,15$.
Вычислим дискриминант:
$D = (7,65)^2 - 4 \cdot (-2,5) \cdot (-5,15) = 58,5225 - 10 \cdot 5,15 = 58,5225 - 51,5 = 7,0225$.
Найдем корни уравнения ($\sqrt{7,0225} = 2,65$):
$x_1 = \frac{-7,65 + \sqrt{7,0225}}{2 \cdot (-2,5)} = \frac{-7,65 + 2,65}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$.
$x_2 = \frac{-7,65 - \sqrt{7,0225}}{2 \cdot (-2,5)} = \frac{-7,65 - 2,65}{-5} = \frac{-10,3}{-5} = 2,06$.
Подставляем корни $x_1=1$ и $x_2=2,06$ и коэффициент $a=-2,5$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = -2,5(x - 1)(x - 2,06)$.

Ответ: $-2,5(x - 1)(x - 2,06)$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$, $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.
Выражение примет вид: $\frac{11}{3}x^2 + \frac{13}{3}x - 8$.
Найдем корни уравнения $\frac{11}{3}x^2 + \frac{13}{3}x - 8 = 0$. Для удобства умножим обе части уравнения на 3:
$11x^2 + 13x - 24 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=11, b=13, c=-24$.
Вычислим дискриминант:
$D = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-24) = 169 + 1056 = 1225$.
Найдем корни уравнения ($\sqrt{1225} = 35$):
$x_1 = \frac{-13 + 35}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$.
$x_2 = \frac{-13 - 35}{2 \cdot 11} = \frac{-48}{22} = -\frac{24}{11}$.
Подставляем корни $x_1=1$ и $x_2=-\frac{24}{11}$ и исходный коэффициент $a=\frac{11}{3}$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = \frac{11}{3}(x - 1)(x - (-\frac{24}{11})) = \frac{11}{3}(x - 1)(x + \frac{24}{11})$.
Для упрощения внесем множитель 11 из $\frac{11}{3}$ во вторую скобку:
$\frac{1}{3}(x - 1) \cdot 11(x + \frac{24}{11}) = \frac{1}{3}(x - 1)(11x + 24)$.

Ответ: $\frac{1}{3}(x - 1)(11x + 24)$

31. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x - 8}$;

2) $\frac{x^2 - 9x + 8}{x - 1}$;

3) $\frac{2x^2 + 7x - 9}{x - 1}$;

4) $\frac{3x^2 - 7x - 10}{x + 1}$;

5) $\frac{2x^2 - 7x - 9}{x^2 + x}$;

6) $\frac{3x^2 - 9x + 6}{x^2 - x}$;

7) $\frac{5x^2 + 7x - 12}{x^2 - 1}$;

8) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 7x - 8}{x - 8}$, необходимо разложить числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1$.

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$: $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x - (-1)) = (x - 8)(x + 1)$.

Подставим полученное выражение в дробь: $\frac{(x - 8)(x + 1)}{x - 8}$.

Сократим на общий множитель $(x - 8)$, при условии что $x \neq 8$. Получим $x + 1$.

Ответ: $x + 1$.

2) Сократим дробь $\frac{x^2 - 9x + 8}{x - 1}$. Для этого разложим числитель $x^2 - 9x + 8$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = 8$;

$x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1$.

Разложение числителя: $x^2 - 9x + 8 = (x - 8)(x - 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 8)(x - 1)}{x - 1}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$. Получим $x - 8$.

Ответ: $x - 8$.

3) Сократим дробь $\frac{2x^2 + 7x - 9}{x - 1}$. Разложим на множители числитель $2x^2 + 7x - 9$, решив уравнение $2x^2 + 7x - 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = 1$;

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.

Разложение числителя: $2(x - 1)(x + \frac{9}{2}) = (x - 1)(2x + 9)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 1)(2x + 9)}{x - 1}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$. Получим $2x + 9$.

Ответ: $2x + 9$.

4) Сократим дробь $\frac{3x^2 - 7x - 10}{x + 1}$. Разложим на множители числитель $3x^2 - 7x - 10$, решив уравнение $3x^2 - 7x - 10 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$;

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 13}{6} = -1$.

Разложение числителя: $3(x - \frac{10}{3})(x + 1) = (3x - 10)(x + 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(3x - 10)(x + 1)}{x + 1}$.

Сократим на $(x + 1)$ при $x \neq -1$. Получим $3x - 10$.

Ответ: $3x - 10$.

5) Сократим дробь $\frac{2x^2 - 7x - 9}{x^2 + x}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2x^2 - 7x - 9$ решим уравнение $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.

$x_1 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$; $x_2 = \frac{7 - 11}{4} = -1$.

Разложение числителя: $2(x - \frac{9}{2})(x + 1) = (2x - 9)(x + 1)$.

Разложим знаменатель, вынеся общий множитель за скобки: $x^2 + x = x(x + 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(2x - 9)(x + 1)}{x(x + 1)}$.

Сократим на $(x + 1)$ при $x \neq -1$ и $x \neq 0$. Получим $\frac{2x - 9}{x}$.

Ответ: $\frac{2x - 9}{x}$.

6) Сократим дробь $\frac{3x^2 - 9x + 6}{x^2 - x}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $3x^2 - 9x + 6$ вынесем 3 за скобки: $3(x^2 - 3x + 2)$. Решим уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 1$.

Разложение числителя: $3(x - 2)(x - 1)$.

Разложим знаменатель: $x^2 - x = x(x - 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{3(x - 2)(x - 1)}{x(x - 1)}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$ и $x \neq 0$. Получим $\frac{3(x - 2)}{x}$.

Ответ: $\frac{3(x - 2)}{x}$.

7) Сократим дробь $\frac{5x^2 + 7x - 12}{x^2 - 1}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя решим уравнение $5x^2 + 7x - 12 = 0$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289$.

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{10} = \frac{-7 + 17}{10} = 1$; $x_2 = \frac{-7 - 17}{10} = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$.

Разложение числителя: $5(x - 1)(x + \frac{12}{5}) = (x - 1)(5x + 12)$.

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 1)(5x + 12)}{(x - 1)(x + 1)}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Получим $\frac{5x + 12}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{5x + 12}{x + 1}$.

8) Сократим дробь $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя решим уравнение $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2$; $x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Разложение числителя: $2(x - 2)(x - \frac{3}{2}) = (x - 2)(2x - 3)$.

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 2)(2x - 3)}{(x - 2)(x + 2)}$.

Сократим на $(x - 2)$ при $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Получим $\frac{2x - 3}{x + 2}$.

Ответ: $\frac{2x - 3}{x + 2}$.

32. Составьте квадратное уравнение по его корням:

1) 2; 7;

2) -3; 5;

3) -1; 4;

4) -2,1; -0,3;

5) 0,2; 5,3;

6) -5; 5;

7) $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{5}$;

8) $3\frac{4}{5}$; $2\frac{3}{5}$;

9) $-\sqrt{7}$; $\sqrt{7}$;

10) $5 \pm \sqrt{3}$;

11) $-3 \pm \sqrt{5}$;

12) $\sqrt{2}$; $\sqrt{11}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема Виета. Согласно ей, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1+x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$).

Таким образом, любое приведенное квадратное уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$. Обозначим сумму корней как $S = x_1+x_2$ и произведение как $P = x_1 \cdot x_2$. Тогда формула примет вид: $x^2 - Sx + P = 0$.

1)

Даны корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = 2 + 7 = 9$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 7 = 14$.

Подставляем значения $S$ и $P$ в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 9x + 14 = 0$.

Ответ: $x^2 - 9x + 14 = 0$.

2)

Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 5 = -15$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 2x + (-15) = 0$.

$x^2 - 2x - 15 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

3)

Даны корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -1 + 4 = 3$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 4 = -4$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 3x + (-4) = 0$.

$x^2 - 3x - 4 = 0$.

Ответ: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

4)

Даны корни $x_1 = -2,1$ и $x_2 = -0,3$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -2,1 + (-0,3) = -2,4$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-2,1) \cdot (-0,3) = 0,63$.

Приведенное уравнение: $x^2 - (-2,4)x + 0,63 = 0$, или $x^2 + 2,4x + 0,63 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:

$100x^2 + 240x + 63 = 0$.

Ответ: $100x^2 + 240x + 63 = 0$.

5)

Даны корни $x_1 = 0,2$ и $x_2 = 5,3$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = 0,2 + 5,3 = 5,5$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 0,2 \cdot 5,3 = 1,06$.

Приведенное уравнение: $x^2 - 5,5x + 1,06 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы получить целые коэффициенты: $100x^2 - 550x + 106 = 0$.

Все коэффициенты четные, поэтому можно сократить на 2: $50x^2 - 275x + 53 = 0$.

Ответ: $50x^2 - 275x + 53 = 0$.

6)

Даны корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -5 + 5 = 0$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -5 \cdot 5 = -25$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 0 \cdot x + (-25) = 0$.

$x^2 - 25 = 0$.

Ответ: $x^2 - 25 = 0$.

7)

Даны корни $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3}{5}$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{11}{10}$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.

Приведенное уравнение: $x^2 - \frac{11}{10}x + \frac{3}{10} = 0$.

Умножим обе части на 10, чтобы получить целые коэффициенты:

$10x^2 - 11x + 3 = 0$.

Ответ: $10x^2 - 11x + 3 = 0$.

8)

Даны корни $x_1 = 3\frac{4}{5}$ и $x_2 = 2\frac{3}{5}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $x_1 = \frac{19}{5}$ и $x_2 = \frac{13}{5}$.

Находим сумму корней: $S = \frac{19}{5} + \frac{13}{5} = \frac{32}{5}$.

Находим произведение корней: $P = \frac{19}{5} \cdot \frac{13}{5} = \frac{247}{25}$.

Приведенное уравнение: $x^2 - \frac{32}{5}x + \frac{247}{25} = 0$.

Умножим обе части на 25, чтобы получить целые коэффициенты:

$25x^2 - 25 \cdot \frac{32}{5}x + 25 \cdot \frac{247}{25} = 0$.

$25x^2 - 160x + 247 = 0$.

Ответ: $25x^2 - 160x + 247 = 0$.

9)

Даны корни $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = -7$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$.

$x^2 - 7 = 0$.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

10)

Даны корни $x_1 = 5 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 5 - \sqrt{3}$.

Находим сумму корней: $S = (5 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 10$.

Находим произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$P = (5 + \sqrt{3})(5 - \sqrt{3}) = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 10x + 22 = 0$.

Ответ: $x^2 - 10x + 22 = 0$.

11)

Даны корни $x_1 = -3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{5}$.

Находим сумму корней: $S = (-3 + \sqrt{5}) + (-3 - \sqrt{5}) = -6$.

Находим произведение корней: $P = (-3 + \sqrt{5})(-3 - \sqrt{5}) = (-3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - (-6)x + 4 = 0$.

$x^2 + 6x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 4 = 0$.

12)

Даны корни $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{11}$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = \sqrt{2} + \sqrt{11}$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{22}$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{11})x + \sqrt{22} = 0$.

Ответ: $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{11})x + \sqrt{22} = 0$.

33. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:

1) $x^2 - 10x + 24 = 0;$

2) $x^2 - 11x + 24 = 0;$

3) $x^2 - 12x + 27 = 0;$

4) $x^2 + 11x + 24 = 0;$

5) $x^2 + 42x + 441 = 0;$

6) $x^2 + 14x - 32 = 0;$

7) $x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0;$

8) $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0;$

9) $x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0;$

10) $x^2 - 3(\sqrt{5} + 4)x + 36\sqrt{5} = 0;$

11) $x^2 + 4\sqrt{5}x + 20 = 0;$

12) $x^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{6})x - 2\sqrt{3} = 0.$

1) Для уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$, согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-(-10) = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $24$. Методом подбора находим числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 4 и 6, так как $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.
Ответ: 4; 6.

2) Для уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$ ищем два числа $x_1$ и $x_2$ такие, что их сумма $x_1 + x_2 = -(-11) = 11$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 24$. Этими числами являются 3 и 8, поскольку $3 + 8 = 11$ и $3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: 3; 8.

3) Для уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 27$. Подбираем числа: 3 и 9. Проверяем: $3 + 9 = 12$ и $3 \cdot 9 = 27$. Условия выполняются.
Ответ: 3; 9.

4) Для уравнения $x^2 + 11x + 24 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -11$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 24$. Так как произведение положительное, а сумма отрицательная, оба корня должны быть отрицательными. Подходят числа -3 и -8: $(-3) + (-8) = -11$ и $(-3) \cdot (-8) = 24$.
Ответ: -8; -3.

5) Для уравнения $x^2 + 42x + 441 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -42$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 441$. Заметим, что $441 = 21^2$. Попробуем числа -21 и -21. Их сумма $(-21) + (-21) = -42$, а произведение $(-21) \cdot (-21) = 441$. Уравнение имеет один корень кратности 2.
Ответ: -21.

6) Для уравнения $x^2 + 14x - 32 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -14$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -32$. Так как произведение отрицательное, корни имеют разные знаки. Сумма отрицательная, значит, модуль отрицательного корня больше. Подходят числа -16 и 2: $(-16) + 2 = -14$ и $(-16) \cdot 2 = -32$.
Ответ: -16; 2.

7) Для уравнения $x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{2} + 3)) = \sqrt{2} + 3$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2}$. Из вида суммы и произведения очевидно, что корнями являются числа $\sqrt{2}$ и $3$. Проверяем: $\sqrt{2} + 3$ и $\sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$; 3.

8) Для уравнения $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{6}$. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Следовательно, корнями являются числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$.

9) Для уравнения $x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = 2\sqrt{2}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 1$. Подберем два числа, которые удовлетворяют этим условиям. Такими числами являются $\sqrt{2} - 1$ и $\sqrt{2} + 1$. Проверяем сумму: $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$. Проверяем произведение: $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$; $\sqrt{2} + 1$.

10) Для уравнения $x^2 - 3(\sqrt{5} + 4)x + 36\sqrt{5} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = 3(\sqrt{5} + 4) = 3\sqrt{5} + 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 36\sqrt{5}$. Попробуем в качестве корней числа $12$ и $3\sqrt{5}$. Их сумма $12 + 3\sqrt{5}$ совпадает с требуемой. Их произведение $12 \cdot 3\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$ также совпадает.
Ответ: 12; $3\sqrt{5}$.

11) Для уравнения $x^2 + 4\sqrt{5}x + 20 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -4\sqrt{5}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 20$. Это похоже на квадрат суммы. Попробуем корни $-2\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{5}$. Сумма: $(-2\sqrt{5}) + (-2\sqrt{5}) = -4\sqrt{5}$. Произведение: $(-2\sqrt{5}) \cdot (-2\sqrt{5}) = 4 \cdot 5 = 20$. Условия выполняются.
Ответ: $-2\sqrt{5}$.

12) Для уравнения $x^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{6})x - 2\sqrt{3} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -2\sqrt{3}$. Попробуем в качестве корней числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{6}$. Их сумма: $\sqrt{2} + (-\sqrt{6}) = \sqrt{2} - \sqrt{6}$. Их произведение: $\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{6}) = -\sqrt{12} = -\sqrt{4 \cdot 3} = -2\sqrt{3}$. Условия выполняются.
Ответ: $-\sqrt{6}$; $\sqrt{2}$.

19.12. На единичной окружности отметьте точку, соответствующую углу $\alpha$, равному:

1) $30^\circ$;

2) $150^\circ$;

3) $-150^\circ$;

4) $-270^\circ$;

5) $420^\circ$;

6) $-300^\circ$.

Для того чтобы отметить на единичной окружности точку, соответствующую углу $\alpha$, необходимо выполнить поворот начальной точки $P_0(1, 0)$ на этот угол от положительного направления оси Ox. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

1) 30°. Угол $\alpha = 30°$ является положительным, поэтому откладываем его против часовой стрелки. Так как $0° < 30° < 90°$, точка будет находиться в I координатной четверти.
Ответ: Точка, соответствующая углу $30°$, расположена в I четверти (на рисунке отмечена цифрой 1).

2) 150°. Угол $\alpha = 150°$ является положительным. Откладываем его против часовой стрелки. Так как $90° < 150° < 180°$, точка будет находиться во II координатной четверти.
Ответ: Точка, соответствующая углу $150°$, расположена во II четверти (на рисунке отмечена цифрой 2).

3) -150°. Угол $\alpha = -150°$ является отрицательным, поэтому откладываем его по часовой стрелке. Движение на $150°$ по часовой стрелке приводит нас в III координатную четверть.
Ответ: Точка, соответствующая углу $-150°$, расположена в III четверти (на рисунке отмечена цифрой 3).

4) -270°. Угол $\alpha = -270°$ является отрицательным. Откладываем его по часовой стрелке. Поворот на $-270°$ эквивалентен повороту на $360° - 270° = 90°$ против часовой стрелки. Точка окажется на положительной части оси Oy.
Ответ: Точка, соответствующая углу $-270°$, совпадает с точкой $(0, 1)$ на оси Oy (на рисунке отмечена цифрой 4).

5) 420°. Угол $\alpha = 420°$ больше $360°$. Чтобы найти положение точки, вычтем полный оборот: $420° - 360° = 60°$. Таким образом, положение этой точки совпадает с положением точки для угла $60°$, которая находится в I четверти.
Ответ: Точка, соответствующая углу $420°$, совпадает с точкой для угла $60°$ и расположена в I четверти (на рисунке отмечена цифрой 5).

6) -300°. Угол $\alpha = -300°$ является отрицательным. Откладываем его по часовой стрелке. Этот поворот эквивалентен повороту на $360° - 300° = 60°$ против часовой стрелки. Следовательно, положение этой точки совпадает с положением точки для угла $60°$.
Ответ: Точка, соответствующая углу $-300°$, совпадает с точкой для угла $60°$ и расположена в I четверти (на рисунке отмечена цифрой 6).

Все отмеченные точки показаны на единичной окружности ниже:

19.13. 1) Выразите в радианах внутренние углы равнобедренного треугольника, у которого внешний угол при основании треугольника равен $130^\circ$.

2) Выразите в радианах внутренние углы равнобедренного треугольника, у которого внешний угол при вершине треугольника равен $140^\circ$.

1)

Пусть $\alpha$ — внутренний угол при основании равнобедренного треугольника. Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). По условию, внешний угол при основании равен $130^\circ$. Следовательно, внутренний угол при основании равен:

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике есть два угла по $50^\circ$.

Пусть $\beta$ — угол при вершине треугольника. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда:

$\beta = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь переведем найденные углы из градусов в радианы, используя формулу: $угол_{рад} = угол_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

Углы при основании:

$50^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{18}$ радиан.

Угол при вершине:

$80^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9}$ радиан.

Ответ: два угла по $\frac{5\pi}{18}$ радиан и один угол $\frac{4\pi}{9}$ радиан.

2)

Пусть $\beta$ — внутренний угол при вершине равнобедренного треугольника. По условию, смежный с ним внешний угол равен $140^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\beta = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Пусть $\alpha$ — каждый из двух равных углов при основании треугольника. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно:

$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 40^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

$\alpha = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.

Итак, внутренние углы треугольника равны $70^\circ$, $70^\circ$ и $40^\circ$.

Переведем эти углы в радианы:

Углы при основании:

$70^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7\pi}{18}$ радиан.

Угол при вершине:

$40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$ радиан.

Ответ: два угла по $\frac{7\pi}{18}$ радиан и один угол $\frac{2\pi}{9}$ радиан.

19.14. 1) Выразите в радианах внутренние углы равнобедренной трапеции, у которой внешний угол при большем основании равен $120^\circ$.

2) Выразите в радианах внутренние углы равнобедренной трапеции, у которой внешний угол при большем основании равен $110^\circ$.

1)

В равнобедренной трапеции внутренний угол и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). По условию, внешний угол при большем основании равен $120^\circ$.

Найдем внутренний угол при большем основании. Обозначим его как $\alpha$.
$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Значит, оба угла при большем основании равны $60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем угол при меньшем основании. Обозначим его как $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Оба угла при меньшем основании также равны между собой и составляют $120^\circ$.

Теперь переведем градусную меру углов в радианную, используя формулу: Угол в радианах = (Угол в градусах $\times \pi) / 180$.
Для угла $60^\circ$ имеем: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Для угла $120^\circ$ имеем: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Ответ: два угла по $\frac{\pi}{3}$ радиан и два угла по $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

2)

Аналогично первому пункту, найдем внутренние углы трапеции, у которой внешний угол при большем основании равен $110^\circ$.

Внутренний угол при большем основании, $\alpha$, равен:
$\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, оба угла при большем основании равны $70^\circ$.

Внутренний угол при меньшем основании, $\beta$, равен:
$\beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Оба угла при меньшем основании равны $110^\circ$.

Переведем градусную меру в радианную:
Для угла $70^\circ$: $70^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7\pi}{18}$ радиан.
Для угла $110^\circ$: $110^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{11\pi}{18}$ радиан.

Ответ: два угла по $\frac{7\pi}{18}$ радиан и два угла по $\frac{11\pi}{18}$ радиан.

19.15. Верно ли утверждение:

1) если $0 < a < 90^\circ$, то а — угол первой четверти;

2) если а — угол первой четверти, то $0 < a < 90^\circ$;

3) если $90^\circ < a < 180^\circ$, то а — угол второй четверти;

4) если а — угол второй четверти, то $90^\circ < a < 180^\circ$?

1) если $0 < a < 90^\circ$, то $a$ — угол первой четверти;

Это утверждение верно. По определению, первая координатная четверть на тригонометрической окружности соответствует углам, лежащим в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$. Любой угол $a$, удовлетворяющий условию $0 < a < 90^\circ$, попадает в этот интервал, следовательно, является углом первой четверти.
Ответ: верно.

2) если $a$ — угол первой четверти, то $0 < a < 90^\circ$;

Это утверждение неверно. Угол определяется положением его конечной (подвижной) стороны. Положение этой стороны не изменится, если к углу прибавить или отнять целое число полных оборотов ($360^\circ$). Например, угол $a = 30^\circ + 360^\circ = 390^\circ$ является углом первой четверти, так как его конечная сторона совпадает с конечной стороной угла $30^\circ$. Однако, $390^\circ$ не удовлетворяет условию $0 < a < 90^\circ$. В общем виде, угол первой четверти $a$ удовлетворяет неравенству $360^\circ \cdot k < a < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$ для любого целого числа $k$.
Ответ: неверно.

3) если $90^\circ < a < 180^\circ$, то $a$ — угол второй четверти;

Это утверждение верно. По определению, вторая координатная четверть соответствует углам в интервале от $90^\circ$ до $180^\circ$. Любой угол $a$, удовлетворяющий условию $90^\circ < a < 180^\circ$, по определению является углом второй четверти.
Ответ: верно.

4) если $a$ — угол второй четверти, то $90^\circ < a < 180^\circ$?

Это утверждение неверно. Как и в случае с первой четвертью, угол второй четверти не обязан лежать в пределах одного оборота от $0^\circ$ до $360^\circ$. Например, рассмотрим угол $a = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ$. Его конечная сторона совпадает с конечной стороной угла $120^\circ$, который находится во второй четверти. Следовательно, $-240^\circ$ — это угол второй четверти. Однако, он не удовлетворяет условию $90^\circ < a < 180^\circ$. В общем виде, угол второй четверти $a$ удовлетворяет неравенству $90^\circ + 360^\circ \cdot k < a < 180^\circ + 360^\circ \cdot k$ для любого целого числа $k$.
Ответ: неверно.

19.16. Угловая скорость колеса равна $23 \text{ рад/с}$. Найдите число полных оборотов колеса в минуту.

Для решения этой задачи необходимо перевести угловую скорость из радиан в секунду в количество оборотов в минуту.

1. Перевод радиан в обороты.
Один полный оборот колеса соответствует углу в $2\pi$ радиан. Чтобы найти, сколько оборотов совершает колесо за одну секунду, нужно его угловую скорость в радианах в секунду разделить на $2\pi$.

Частота вращения в оборотах в секунду ($f$):
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{23}{2\pi}$ об/с

2. Перевод оборотов в секунду в обороты в минуту.
В одной минуте содержится 60 секунд. Чтобы найти число оборотов в минуту ($N$), нужно умножить частоту вращения в оборотах в секунду на 60.

$N = f \times 60 = \frac{23}{2\pi} \times 60 = \frac{1380}{2\pi} = \frac{690}{\pi}$ об/мин

3. Вычисление и округление.
Теперь вычислим численное значение, используя приближение $\pi \approx 3.14159$:

$N \approx \frac{690}{3.14159} \approx 219.63$ об/мин

В задаче требуется найти число полных оборотов, то есть целую часть от полученного результата.

Число полных оборотов = $219$.

Ответ: 219.

19.17. Какой угол (в градусной и радианной мерах) описывает минутная стрелка в течение:

1) $3$ ч;

2) $6$ ч;

3) $9$ ч;

4) суток?

Для решения этой задачи необходимо определить угловую скорость минутной стрелки. Минутная стрелка часов совершает один полный оборот за 1 час.

Один полный оборот равен $360^\circ$ в градусной мере и $2\pi$ радиан в радианной мере. Таким образом, за 1 час минутная стрелка поворачивается на угол $360^\circ$ или $2\pi$ радиан.

1) 3 ч

За 3 часа минутная стрелка совершит 3 полных оборота. Чтобы найти общий угол, нужно умножить количество часов на угол, который стрелка описывает за один час.

В градусной мере: $3 \times 360^\circ = 1080^\circ$.

В радианной мере: $3 \times 2\pi = 6\pi$ радиан.

Ответ: $1080^\circ$ или $6\pi$ радиан.

2) 6 ч

За 6 часов минутная стрелка совершит 6 полных оборотов.

В градусной мере: $6 \times 360^\circ = 2160^\circ$.

В радианной мере: $6 \times 2\pi = 12\pi$ радиан.

Ответ: $2160^\circ$ или $12\pi$ радиан.

3) 9 ч

За 9 часов минутная стрелка совершит 9 полных оборотов.

В градусной мере: $9 \times 360^\circ = 3240^\circ$.

В радианной мере: $9 \times 2\pi = 18\pi$ радиан.

Ответ: $3240^\circ$ или $18\pi$ радиан.

4) суток

В сутках 24 часа. За это время минутная стрелка совершит 24 полных оборота.

В градусной мере: $24 \times 360^\circ = 8640^\circ$.

В радианной мере: $24 \times 2\pi = 48\pi$ радиан.

Ответ: $8640^\circ$ или $48\pi$ радиан.

19.18. Постройте на единичной окружности точку:

1) $P_{\frac{\pi}{6}}$;

2) $P_{\frac{5\pi}{6}}$;

3) $P_{\frac{7\pi}{6}};

4) $P_{\frac{4\pi}{3}};

5) $P_{\frac{5\pi}{3}};

6) $P_{\frac{5\pi}{4}}$.

Для построения точек вида $P_t$ на единичной окружности мы начинаем с точки $P_0(1, 0)$ на пересечении окружности с положительной частью оси Ox. Затем мы движемся по окружности против часовой стрелки (для $t > 0$) на расстояние, равное $t$. Это расстояние равно углу в радианах, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox. Полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан или $360^\circ$.

1) $P_{\frac{\pi}{6}}$

Чтобы построить точку $P_{\frac{\pi}{6}}$, необходимо от начальной точки $P_0(1, 0)$ отложить дугу, длина которой равна $\frac{\pi}{6}$, двигаясь против часовой стрелки. Угол, соответствующий этой дуге, равен $\frac{\pi}{6}$ радиан, что составляет $30^\circ$. Точка $P_{\frac{\pi}{6}}$ будет расположена в первой координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{\pi}{6}}$ построена в первой четверти, образуя угол $30^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

2) $P_{\frac{5\pi}{6}}$

Для построения точки $P_{\frac{5\pi}{6}}$ откладываем от точки $P_0(1, 0)$ дугу длиной $\frac{5\pi}{6}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{6}$ радиан ($150^\circ$) можно представить как $\pi - \frac{\pi}{6}$. Это означает, что точка $P_{\frac{5\pi}{6}}$ симметрична точке $P_{\frac{\pi}{6}}$ относительно оси Oy. Точка расположена во второй координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{5\pi}{6}}$ построена во второй четверти, образуя угол $150^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

3) $P_{\frac{7\pi}{6}}$

Для построения точки $P_{\frac{7\pi}{6}}$ откладываем дугу длиной $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{7\pi}{6}$ радиан ($210^\circ$) можно представить как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Это означает, что точка $P_{\frac{7\pi}{6}}$ симметрична точке $P_{\frac{\pi}{6}}$ относительно начала координат. Точка расположена в третьей координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{7\pi}{6}}$ построена в третьей четверти, образуя угол $210^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

4) $P_{\frac{4\pi}{3}}$

Для построения точки $P_{\frac{4\pi}{3}}$ откладываем дугу длиной $\frac{4\pi}{3}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{4\pi}{3}$ радиан ($240^\circ$) можно представить как $\pi + \frac{\pi}{3}$. Точка расположена в третьей координатной четверти. Угол, который образует радиус-вектор точки с отрицательной частью оси Ox, равен $\frac{\pi}{3}$ или $60^\circ$.

Ответ: Точка $P_{\frac{4\pi}{3}}$ построена в третьей четверти, образуя угол $240^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

5) $P_{\frac{5\pi}{3}}$

Для построения точки $P_{\frac{5\pi}{3}}$ откладываем дугу длиной $\frac{5\pi}{3}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{3}$ радиан ($300^\circ$) можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Это означает, что для построения точки можно отложить от начальной точки $P_0$ угол $\frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$) по часовой стрелке. Точка расположена в четвертой координатной четверти.

Ответ: Точка $P_{\frac{5\pi}{3}}$ построена в четвертой четверти, образуя угол $300^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

6) $P_{\frac{5\pi}{4}}$

Для построения точки $P_{\frac{5\pi}{4}}$ откладываем дугу длиной $\frac{5\pi}{4}$ против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{4}$ радиан ($225^\circ$) можно представить как $\pi + \frac{\pi}{4}$. Точка расположена в третьей координатной четверти и лежит на биссектрисе этого координатного угла.

Ответ: Точка $P_{\frac{5\pi}{4}}$ построена в третьей четверти, образуя угол $225^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Её точное положение показано на итоговом рисунке.

Итоговое построение всех точек на единичной окружности: