Страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13. Найдите значение числового выражения:

1) $5 + \sqrt{0,16} - (2\sqrt{0,1})^2;$

2) $(3\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2 - 2;$

3) $(0,4\sqrt{10})^2 + 1,5\sqrt{16} - 2;$

4) $(-5\sqrt{2})^2 - (-2\sqrt{5})^2 - 4;$

5) $2 - \sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36};$

6) $\sqrt{0,87 \cdot 36 + 0,82 \cdot 36 + 1,2};$

7) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{41}};$

8) $\sqrt{\frac{72}{176^2 - 112^2}};$

9) $\sqrt{\frac{148^2 - 21^2}{104^2 - 23^2}};$

10) $\sqrt{\frac{65,5^2 - 15,5^2}{13,5^2 - 11,5^2}}.$

1) $5 + \sqrt{0,16} - (2\sqrt{0,1})^2$
Сначала вычислим значения подкоренного выражения и выражения в скобках.
$\sqrt{0,16} = 0,4$, так как $0,4^2 = 0,16$.
$(2\sqrt{0,1})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{0,1})^2 = 4 \cdot 0,1 = 0,4$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$5 + 0,4 - 0,4 = 5$.
Ответ: $5$

2) $(3\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2 - 2$
Возведем в квадрат каждое из слагаемых.
$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
$(-3\sqrt{3})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
Подставим результаты в выражение:
$27 + 27 - 2 = 54 - 2 = 52$.
Ответ: $52$

3) $(0,4\sqrt{10})^2 + 1,5\sqrt{16} - 2$
Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
$(0,4\sqrt{10})^2 = 0,4^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 0,16 \cdot 10 = 1,6$.
$1,5\sqrt{16} = 1,5 \cdot 4 = 6$.
Подставим значения в выражение:
$1,6 + 6 - 2 = 7,6 - 2 = 5,6$.
Ответ: $5,6$

4) $(-5\sqrt{2})^2 - (-2\sqrt{5})^2 - 4$
Возведем в квадрат выражения в скобках.
$(-5\sqrt{2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.
$(-2\sqrt{5})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$50 - 20 - 4 = 30 - 4 = 26$.
Ответ: $26$

5) $2 - \sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36}$
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
$\sqrt{196 \cdot 0,81 \cdot 0,36} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,36} = 14 \cdot 0,9 \cdot 0,6$.
$14 \cdot 0,9 \cdot 0,6 = 12,6 \cdot 0,6 = 7,56$.
Подставим результат в выражение:
$2 - 7,56 = -5,56$.
Ответ: $-5,56$

6) $\sqrt{0,87 \cdot 36 + 0,82 \cdot 36} + 1,2$
В подкоренном выражении вынесем общий множитель $36$ за скобки:
$\sqrt{36 \cdot (0,87 + 0,82)} = \sqrt{36 \cdot 1,69}$.
Теперь используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{36 \cdot 1,69} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{1,69} = 6 \cdot 1,3 = 7,8$.
Подставим значение в исходное выражение:
$7,8 + 1,2 = 9$.
Ответ: $9$

7) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{41}}$
В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289$.
Подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{41 \cdot 289}{41}} = \sqrt{289}$.
$\sqrt{289} = 17$.
Ответ: $17$

8) $\sqrt{\frac{72}{176^2 - 112^2}}$
В знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$176^2 - 112^2 = (176 - 112)(176 + 112) = 64 \cdot 288$.
Подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{72}{64 \cdot 288}}$.
Сократим дробь, заметив, что $288 = 4 \cdot 72$:
$\sqrt{\frac{72}{64 \cdot 4 \cdot 72}} = \sqrt{\frac{1}{64 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{1}{256}}$.
$\sqrt{\frac{1}{256}} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

9) $\sqrt{\frac{148^2 - 21^2}{104^2 - 23^2}}$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.
Числитель: $148^2 - 21^2 = (148 - 21)(148 + 21) = 127 \cdot 169$.
Знаменатель: $104^2 - 23^2 = (104 - 23)(104 + 23) = 81 \cdot 127$.
Подставим в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{127 \cdot 169}{81 \cdot 127}}$.
Сократим $127$:
$\sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}} = \frac{13}{9}$.
Ответ: $\frac{13}{9}$

10) $\sqrt{\frac{65,5^2 - 15,5^2}{13,5^2 - 11,5^2}}$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.
Числитель: $65,5^2 - 15,5^2 = (65,5 - 15,5)(65,5 + 15,5) = 50 \cdot 81$.
Знаменатель: $13,5^2 - 11,5^2 = (13,5 - 11,5)(13,5 + 11,5) = 2 \cdot 25 = 50$.
Подставим в выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{50 \cdot 81}{50}}$.
Сократим $50$:
$\sqrt{81} = 9$.
Ответ: $9$

14. Сравните числа:

1) $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,6}$;

2) $\sqrt{3,335}$ и $\sqrt{3\frac{1}{6}}$;

3) $\sqrt{8,1}$ и $2,6$;

4) $\sqrt{\frac{4}{9}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$;

5) $4,2$ и $\sqrt{16,7}$.

1) Чтобы сравнить два числа под знаком квадратного корня, достаточно сравнить подкоренные выражения. Сравним числа $3,4$ и $3,6$.

Поскольку $3,4 < 3,6$, то и $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,6}$.

Ответ: $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,6}$.

2) Для сравнения $\sqrt{3,335}$ и $\sqrt{3\frac{1}{6}}$, сравним подкоренные выражения $3,335$ и $3\frac{1}{6}$.

Переведем смешанную дробь $3\frac{1}{6}$ в десятичную: $3\frac{1}{6} = 3 + 1 \div 6 = 3 + 0,1666... = 3,1\overline{6}$.

Теперь сравним десятичные дроби: $3,335$ и $3,1\overline{6}$.

Так как $3,335 > 3,1\overline{6}$, то и $\sqrt{3,335} > \sqrt{3\frac{1}{6}}$.

Ответ: $\sqrt{3,335} > \sqrt{3\frac{1}{6}}$.

3) Чтобы сравнить число и квадратный корень, возведем оба числа в квадрат, так как они оба положительны. Знак неравенства при этом сохранится.

Возведем в квадрат $\sqrt{8,1}$: $(\sqrt{8,1})^2 = 8,1$.

Возведем в квадрат $2,6$: $(2,6)^2 = 6,76$.

Сравним полученные результаты: $8,1 > 6,76$.

Следовательно, $\sqrt{8,1} > 2,6$.

Ответ: $\sqrt{8,1} > 2,6$.

4) Чтобы сравнить $\sqrt{\frac{4}{9}}$ и $\sqrt{\frac{6}{11}}$, сравним подкоренные выражения: дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $9 \times 11 = 99$.

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 11}{9 \times 11} = \frac{44}{99}$

$\frac{6}{11} = \frac{6 \times 9}{11 \times 9} = \frac{54}{99}$

Так как $44 < 54$, то $\frac{44}{99} < \frac{54}{99}$, а значит $\frac{4}{9} < \frac{6}{11}$.

Следовательно, $\sqrt{\frac{4}{9}} < \sqrt{\frac{6}{11}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{4}{9}} < \sqrt{\frac{6}{11}}$.

5) Чтобы сравнить число $4,2$ и квадратный корень $\sqrt{16,7}$, возведем оба числа в квадрат.

Возведем в квадрат $4,2$: $(4,2)^2 = 17,64$.

Возведем в квадрат $\sqrt{16,7}$: $(\sqrt{16,7})^2 = 16,7$.

Сравним полученные результаты: $17,64 > 16,7$.

Следовательно, $4,2 > \sqrt{16,7}$.

Ответ: $4,2 > \sqrt{16,7}$.

15. Найдите значение выражения, если оно имеет смысл:

1) $\sqrt{(-32)^2} - \sqrt{-40^2} + \sqrt{-(-15)^2}$;

2) $-\sqrt{20^2} - \sqrt{(-21)^2} - \sqrt{(-23)^2}$;

3) $4\sqrt{(-2)^2} + 0,4\sqrt{2^8} + 2\sqrt{(-2)^{10}}$;

4) $3 \cdot \sqrt{10^6} - 0,2\sqrt{(-4)^4} + 4,5 \cdot \sqrt{(-0,2)^2}$.

1) $\sqrt{(-32)^2} - \sqrt{-40^2} + \sqrt{-(-15)^2}$

Для того чтобы выражение имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение (радиканд) должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Рассмотрим второй член выражения: $\sqrt{-40^2}$. Подкоренное выражение равно $-40^2 = -(1600) = -1600$. Поскольку $-1600 < 0$, данный корень не определен в множестве действительных чисел.

Рассмотрим третий член выражения: $\sqrt{-(-15)^2}$. Подкоренное выражение равно $-(-15)^2 = -(225) = -225$. Поскольку $-225 < 0$, данный корень также не определен в множестве действительных чисел.

Так как выражение содержит члены, не имеющие смысла в действительных числах, то и всё выражение не имеет смысла.

Ответ: Выражение не имеет смысла.

2) $-\sqrt{20^2} - \sqrt{(-21)^2} - \sqrt{(-23)^2}$

Используем основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

1. Упростим первый член: $-\sqrt{20^2} = -|20| = -20$.

2. Упростим второй член: $-\sqrt{(-21)^2} = -|-21| = -21$.

3. Упростим третий член: $-\sqrt{(-23)^2} = -|-23| = -23$.

Теперь выполним вычисления: $-20 - 21 - 23 = -41 - 23 = -64$.

Ответ: -64.

3) $4\sqrt{(-2)^2} + 0,4\sqrt{2^8} + 2\sqrt{(-2)^{10}}$

Используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

1. Первый член: $4\sqrt{(-2)^2} = 4 \cdot |-2| = 4 \cdot 2 = 8$.

2. Второй член: $0,4\sqrt{2^8} = 0,4\sqrt{(2^4)^2} = 0,4 \cdot |2^4| = 0,4 \cdot 16 = 6,4$.

3. Третий член: $2\sqrt{(-2)^{10}} = 2\sqrt{((-2)^5)^2} = 2 \cdot |(-2)^5| = 2 \cdot |-32| = 2 \cdot 32 = 64$.

Сложим полученные значения: $8 + 6,4 + 64 = 78,4$.

Ответ: 78,4.

4) $3 \cdot \sqrt{10^6} - 0,2\sqrt{(-4)^4} + 4,5 \cdot \sqrt{(-0,2)^2}$

Используем свойства $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$ и $\sqrt{a^2} = |a|$.

1. Первый член: $3 \cdot \sqrt{10^6} = 3 \cdot \sqrt{(10^3)^2} = 3 \cdot |10^3| = 3 \cdot 1000 = 3000$.

2. Второй член: $-0,2\sqrt{(-4)^4} = -0,2\sqrt{((-4)^2)^2} = -0,2 \cdot |(-4)^2| = -0,2 \cdot |16| = -0,2 \cdot 16 = -3,2$.

3. Третий член: $4,5 \cdot \sqrt{(-0,2)^2} = 4,5 \cdot |-0,2| = 4,5 \cdot 0,2 = 0,9$.

Выполним вычисления: $3000 - 3,2 + 0,9 = 2996,8 + 0,9 = 2997,7$.

Ответ: 2997,7.

*16. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $\sqrt{y^2} = y;$

2) $\sqrt{y^6} = y^3;$

3) $\sqrt{a^{10}} = -a^5;$

4) $\sqrt{x^{12}} = x^6;$

5) $\sqrt{c^{14}} = -c^7;$

6) $\sqrt{b^2} = -b?$

1) Дано равенство $\sqrt{y^2} = y$.
Основное свойство арифметического квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$.Применив это свойство к левой части нашего равенства, получим: $\sqrt{y^2} = |y|$.Таким образом, исходное равенство принимает вид $|y| = y$.По определению модуля, равенство $|y| = y$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $y \ge 0$.
Ответ: при $y \ge 0$.

2) Дано равенство $\sqrt{y^6} = y^3$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $y^6 = (y^3)^2$.Тогда левая часть равенства преобразуется: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2}$.Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где в данном случае $a = y^3$, получаем: $\sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$.Исходное равенство становится эквивалентно равенству $|y^3| = y^3$.Это равенство верно, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $y^3 \ge 0$.Неравенство $y^3 \ge 0$ выполняется при $y \ge 0$.
Ответ: при $y \ge 0$.

3) Дано равенство $\sqrt{a^{10}} = -a^5$.
Представим подкоренное выражение как квадрат: $a^{10} = (a^5)^2$.Тогда левая часть равенства: $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2}$.Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ для $x = a^5$, получаем $\sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$.Исходное равенство можно переписать как $|a^5| = -a^5$.По определению модуля, равенство $|z| = -z$ верно тогда и только тогда, когда выражение $z$ неположительно, то есть $z \le 0$.В нашем случае $z = a^5$, поэтому должно выполняться условие $a^5 \le 0$.Это неравенство справедливо при $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

4) Дано равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2}$.Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ с $a = x^6$, получаем: $\sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.Исходное равенство принимает вид $|x^6| = x^6$.Это равенство выполняется, когда выражение под знаком модуля неотрицательно: $x^6 \ge 0$.Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 6-ю), всегда дает неотрицательный результат, неравенство $x^6 \ge 0$ верно для любого действительного значения $x$.
Ответ: при любом значении $x$.

5) Дано равенство $\sqrt{c^{14}} = -c^7$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $c^{14} = (c^7)^2$.Тогда левая часть равенства: $\sqrt{c^{14}} = \sqrt{(c^7)^2}$.Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для $a = c^7$, получаем: $\sqrt{(c^7)^2} = |c^7|$.Исходное равенство становится $|c^7| = -c^7$.Равенство $|z| = -z$ верно, когда $z \le 0$.В данном случае $z = c^7$, следовательно, должно выполняться условие $c^7 \le 0$.Это неравенство справедливо при $c \le 0$.
Ответ: при $c \le 0$.

6) Дано равенство $\sqrt{b^2} = -b$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2} = |b|$.Тогда исходное равенство можно переписать в виде $|b| = -b$.По определению модуля, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $b \le 0$.
Ответ: при $b \le 0$.

17. Расположите в порядке возрастания числа:

1) $\frac{4}{5}\sqrt{50}$; $\sqrt{31}$ и $4\sqrt{2}$;

2) $6\sqrt{0,6}$; $\sqrt{39}$ и $\frac{4}{5}\sqrt{75}$;

3) $3\sqrt{\frac{7}{2}}$; $\sqrt{15}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{72}$;

4) $8\sqrt{0,5}$; $\sqrt{93}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

1)

Чтобы сравнить данные числа, приведем их к виду $\sqrt{a}$, внеся множитель под знак корня.

Преобразуем первое число: $\frac{4}{5}\sqrt{50} = \sqrt{(\frac{4}{5})^2 \cdot 50} = \sqrt{\frac{16}{25} \cdot 50} = \sqrt{16 \cdot \frac{50}{25}} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$.

Второе число уже представлено в нужном виде: $\sqrt{31}$.

Преобразуем третье число: $4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$.

Теперь сравним полученные выражения. Для этого сравним их подкоренные части.

$31 < 32$, следовательно, $\sqrt{31} < \sqrt{32}$.

Так как $\frac{4}{5}\sqrt{50} = \sqrt{32}$ и $4\sqrt{2} = \sqrt{32}$, то эти два числа равны и оба больше, чем $\sqrt{31}$.

Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sqrt{31}, \frac{4}{5}\sqrt{50}, 4\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{31}, \frac{4}{5}\sqrt{50}, 4\sqrt{2}$.

2)

Чтобы сравнить числа, внесем множители под знак корня.

Первое число: $6\sqrt{0,6} = \sqrt{6^2 \cdot 0,6} = \sqrt{36 \cdot 0,6} = \sqrt{21,6}$.

Второе число: $\sqrt{39}$.

Третье число: $\frac{4}{5}\sqrt{75} = \sqrt{(\frac{4}{5})^2 \cdot 75} = \sqrt{\frac{16}{25} \cdot 75} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

Сравним подкоренные выражения: $21,6 < 39 < 48$.

Следовательно, $\sqrt{21,6} < \sqrt{39} < \sqrt{48}$.

Расположив исходные числа в порядке возрастания, получаем: $6\sqrt{0,6}, \sqrt{39}, \frac{4}{5}\sqrt{75}$.

Ответ: $6\sqrt{0,6}, \sqrt{39}, \frac{4}{5}\sqrt{75}$.

3)

Чтобы сравнить числа, внесем множители под знак корня.

Первое число: $3\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{9 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{63}{2}} = \sqrt{31,5}$.

Второе число: $\sqrt{15}$.

Третье число: $\frac{1}{2}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 72} = \sqrt{18}$.

Сравним подкоренные выражения: $15 < 18 < 31,5$.

Следовательно, $\sqrt{15} < \sqrt{18} < \sqrt{31,5}$.

Расположив исходные числа в порядке возрастания, получаем: $\sqrt{15}, \frac{1}{2}\sqrt{72}, 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Ответ: $\sqrt{15}, \frac{1}{2}\sqrt{72}, 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

4)

Чтобы сравнить числа, внесем множители под знак корня.

Первое число: $8\sqrt{0,5} = \sqrt{8^2 \cdot 0,5} = \sqrt{64 \cdot 0,5} = \sqrt{32}$.

Второе число: $\sqrt{93}$.

Третье число: $\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.

Сравним подкоренные выражения: $32 < 90 < 93$.

Следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{90} < \sqrt{93}$.

Расположив исходные числа в порядке возрастания, получаем: $8\sqrt{0,5}, \frac{3}{4}\sqrt{160}, \sqrt{93}$.

Ответ: $8\sqrt{0,5}, \frac{3}{4}\sqrt{160}, \sqrt{93}$.