Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

*24. Внесите множитель под знак корня:

1) $x\sqrt{10}$, где $x \geq 0$;

2) $c\sqrt{\frac{7}{c}}$;

3) $a\sqrt{11}$, где $a < 0$;

4) $4ab\sqrt{\frac{a}{8b}}$, где $a < 0, b < 0$;

5) $c\sqrt{6c}$;

6) $c^3\sqrt{11c^2}$;

7) $3x^5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}$;

8) $3a^2 b\sqrt{\frac{2b}{a}}$, где $a > 0, b > 0$;

9) $x \cdot \sqrt{-\frac{3}{x}}$;

10) $-a^2\sqrt{12}$;

11) $6x\sqrt{-\frac{x}{8}}$;

12) $\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b^5}{8a}}$, где $a < 0, b < 0$.

1) Чтобы внести множитель $x$ под знак корня в выражении $x\sqrt{10}$, где $x \ge 0$, мы возводим неотрицательный множитель $x$ в квадрат и умножаем на подкоренное выражение.

$x\sqrt{10} = \sqrt{x^2 \cdot 10} = \sqrt{10x^2}$.

Ответ: $\sqrt{10x^2}$.

2) В выражении $c\sqrt{\frac{7}{c}}$ подкоренное выражение $\frac{7}{c}$ должно быть неотрицательным. Так как числитель 7 положителен, то и знаменатель $c$ должен быть положителен, то есть $c > 0$. Поскольку множитель $c$ положителен, вносим его под корень, возведя в квадрат.

$c\sqrt{\frac{7}{c}} = \sqrt{c^2 \cdot \frac{7}{c}} = \sqrt{7c}$.

Ответ: $\sqrt{7c}$.

3) В выражении $a\sqrt{11}$ дан множитель $a < 0$. Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим модуль этого множителя, возведенный в квадрат. Так как $a < 0$, то $|a| = -a$.

$a\sqrt{11} = -(-a)\sqrt{11} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 11} = -\sqrt{a^2 \cdot 11} = -\sqrt{11a^2}$.

Ответ: $-\sqrt{11a^2}$.

4) В выражении $4ab\sqrt{\frac{a}{8b}}$ даны условия $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{8b}$ положительно, так как является частным двух отрицательных чисел. Множитель $4ab$ положителен, так как является произведением двух отрицательных чисел. Вносим положительный множитель $4ab$ под корень, возведя его в квадрат.

$4ab\sqrt{\frac{a}{8b}} = \sqrt{(4ab)^2 \cdot \frac{a}{8b}} = \sqrt{16a^2b^2 \cdot \frac{a}{8b}} = \sqrt{\frac{16a^3b^2}{8b}} = \sqrt{2a^3b}$.

Ответ: $\sqrt{2a^3b}$.

5) В выражении $c\sqrt{6c}$ подкоренное выражение $6c$ должно быть неотрицательным, что означает $c \ge 0$. Следовательно, множитель $c$ является неотрицательным. Вносим его под корень, возведя в квадрат.

$c\sqrt{6c} = \sqrt{c^2 \cdot 6c} = \sqrt{6c^3}$.

Ответ: $\sqrt{6c^3}$.

6) В выражении $c^3\sqrt{11c^2}$ подкоренное выражение $11c^2$ всегда неотрицательно. Знак множителя $c^3$ зависит от знака $c$.
- Если $c \ge 0$, то $c^3 \ge 0$. Вносим $c^3$ под корень как $(c^3)^2$:
$c^3\sqrt{11c^2} = \sqrt{(c^3)^2 \cdot 11c^2} = \sqrt{c^6 \cdot 11c^2} = \sqrt{11c^8}$.
- Если $c < 0$, то $c^3 < 0$. Вносим множитель как $-(-c^3)$, где $-c^3 > 0$:
$c^3\sqrt{11c^2} = -(-c^3)\sqrt{11c^2} = -\sqrt{(-c^3)^2 \cdot 11c^2} = -\sqrt{c^6 \cdot 11c^2} = -\sqrt{11c^8}$.

Ответ: $\sqrt{11c^8}$ при $c \ge 0$; $-\sqrt{11c^8}$ при $c < 0$.

7) В выражении $3x^5\sqrt{\frac{1}{x}}$ подкоренное выражение $\frac{1}{x}$ должно быть неотрицательным, что означает $x > 0$. Множитель $3x^5$ при $x > 0$ является положительным. Вносим его под корень, возведя в квадрат.

$3x^5\sqrt{\frac{1}{x}} = \sqrt{(3x^5)^2 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{9x^{10} \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{9x^9}$.

Ответ: $\sqrt{9x^9}$.

8) В выражении $3a^2b\sqrt{\frac{2b}{a}}$ даны условия $a > 0$ и $b > 0$. Подкоренное выражение $\frac{2b}{a}$ положительно. Множитель $3a^2b$ также положителен. Вносим его под корень, возведя в квадрат.

$3a^2b\sqrt{\frac{2b}{a}} = \sqrt{(3a^2b)^2 \cdot \frac{2b}{a}} = \sqrt{9a^4b^2 \cdot \frac{2b}{a}} = \sqrt{18a^3b^3}$.

Ответ: $\sqrt{18a^3b^3}$.

9) В выражении $x\sqrt{-\frac{3}{x}}$ подкоренное выражение $-\frac{3}{x}$ должно быть неотрицательным. Так как числитель -3 отрицателен, знаменатель $x$ также должен быть отрицателен, то есть $x < 0$. Множитель $x$ отрицателен. Оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим положительное число $-x$, возведенное в квадрат.

$x\sqrt{-\frac{3}{x}} = -(-x)\sqrt{-\frac{3}{x}} = -\sqrt{(-x)^2 \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)} = -\sqrt{x^2 \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)} = -\sqrt{-3x}$.

Ответ: $-\sqrt{-3x}$.

10) В выражении $-a^2\sqrt{12}$ множитель, который нужно внести под корень, это $a^2$. Знак "минус" остается перед корнем. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), вносим его под корень, возведя в квадрат.

$-a^2\sqrt{12} = -\sqrt{(a^2)^2 \cdot 12} = -\sqrt{a^4 \cdot 12} = -\sqrt{12a^4}$.

Ответ: $-\sqrt{12a^4}$.

11) В выражении $6x\sqrt{-\frac{x}{8}}$ подкоренное выражение $-\frac{x}{8}$ должно быть неотрицательным, что означает $x \le 0$.
Если $x=0$, выражение равно 0. Если $x < 0$, множитель $6x$ отрицателен. Представляем его как $-(-6x)$ и вносим под корень положительное число $-6x$, возведенное в квадрат.

$6x\sqrt{-\frac{x}{8}} = -(-6x)\sqrt{-\frac{x}{8}} = -\sqrt{(-6x)^2 \cdot \left(-\frac{x}{8}\right)} = -\sqrt{36x^2 \cdot \left(-\frac{x}{8}\right)} = -\sqrt{-\frac{36x^3}{8}} = -\sqrt{-\frac{9x^3}{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{-\frac{9x^3}{2}}$.

12) В выражении $\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b^5}{8a}}$ даны условия $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{b^5}{8a}$ положительно (частное двух отрицательных чисел, так как $b^5<0$ и $8a<0$). Множитель $\frac{2a}{b}$ также положителен (частное двух отрицательных чисел). Вносим положительный множитель под корень, возведя его в квадрат.

$\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b^5}{8a}} = \sqrt{\left(\frac{2a}{b}\right)^2 \cdot \frac{b^5}{8a}} = \sqrt{\frac{4a^2}{b^2} \cdot \frac{b^5}{8a}} = \sqrt{\frac{4a^2b^5}{8ab^2}} = \sqrt{\frac{ab^3}{2}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{ab^3}{2}}$.

25. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$;

2) $\frac{2\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{3}}$;

3) $\frac{2 - 3\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$;

4) $\frac{x + \sqrt{7x}}{7\sqrt{x}}$;

5) $\frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$;

6) $\frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. Сопряженным для $ 3 + \sqrt{3} $ является выражение $ 3 - \sqrt{3} $.
$ \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})} = \frac{3^2 - (\sqrt{3})^2}{3\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 3}{3\sqrt{3} - 3} = \frac{6}{3(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} $.
В результате числитель стал равен 2, то есть рациональным числом.
Ответ: $ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{2\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{3}} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение, то есть на $ 2\sqrt{3} + 3 $.
$ \frac{2\sqrt{3} - 3}{4\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)}{4\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 3)} = \frac{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{4 \cdot 3 - 9}{8 \cdot 3 + 12\sqrt{3}} = \frac{12 - 9}{24 + 12\sqrt{3}} = \frac{3}{12(2 + \sqrt{3})} = \frac{1}{4(2 + \sqrt{3})} $.
В результате числитель стал равен 1, то есть рациональным числом.
Ответ: $ \frac{1}{8 + 4\sqrt{3}} $.

3) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{2 - 3\sqrt{6}}{\sqrt{6}} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение, то есть на $ 2 + 3\sqrt{6} $.
$ \frac{2 - 3\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{(2 - 3\sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6})}{\sqrt{6}(2 + 3\sqrt{6})} = \frac{2^2 - (3\sqrt{6})^2}{2\sqrt{6} + 3(\sqrt{6})^2} = \frac{4 - 9 \cdot 6}{2\sqrt{6} + 3 \cdot 6} = \frac{4 - 54}{2\sqrt{6} + 18} = \frac{-50}{2(9 + \sqrt{6})} = \frac{-25}{9 + \sqrt{6}} $.
В результате числитель стал равен -25, то есть рациональным числом.
Ответ: $ \frac{-25}{9 + \sqrt{6}} $.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{x + \sqrt{7x}}{7\sqrt{x}} $ (при $ x > 0 $), умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $ x - \sqrt{7x} $.
$ \frac{x + \sqrt{7x}}{7\sqrt{x}} = \frac{(x + \sqrt{7x})(x - \sqrt{7x})}{7\sqrt{x}(x - \sqrt{7x})} = \frac{x^2 - (\sqrt{7x})^2}{7x\sqrt{x} - 7\sqrt{x}\sqrt{7x}} = \frac{x^2 - 7x}{7x\sqrt{x} - 7\sqrt{7x^2}} = \frac{x(x - 7)}{7x(\sqrt{x} - \sqrt{7})} = \frac{x - 7}{7(\sqrt{x} - \sqrt{7})} $.
В результате числитель $ x-7 $ является рациональным выражением.
Ответ: $ \frac{x - 7}{7(\sqrt{x} - \sqrt{7})} $.

5) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} $ (при $ a>0, b>0 $), умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $ a\sqrt{b} + b\sqrt{a} $.
$ \frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{(a\sqrt{b} - b\sqrt{a})(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})}{\sqrt{ab}(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})} = \frac{(a\sqrt{b})^2 - (b\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}\sqrt{b}(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})} = \frac{a^2b - b^2a}{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}} = \frac{ab(a - b)}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.
В результате числитель $ a-b $ является рациональным выражением.
Ответ: $ \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.

6) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} $ (при $ y>0 $), умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $ y - b\sqrt{y} $.
$ \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}} = \frac{(y + b\sqrt{y})(y - b\sqrt{y})}{b\sqrt{y}(y - b\sqrt{y})} = \frac{y^2 - (b\sqrt{y})^2}{by\sqrt{y} - b^2(\sqrt{y})^2} = \frac{y^2 - b^2y}{by\sqrt{y} - b^2y} = \frac{y(y - b^2)}{by(\sqrt{y} - b)} = \frac{y-b^2}{b(\sqrt{y} - b)} $.
В результате числитель $ y-b^2 $ является рациональным выражением.
Ответ: $ \frac{y-b^2}{b(\sqrt{y} - b)} $.

26. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{2 - \sqrt{2y} + y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}} $;

2) $ \frac{9 + 3\sqrt{c} + c}{3 + \sqrt{c}} $;

3) $ \frac{a^2b + 3a\sqrt{b} + 9}{3 + a\sqrt{b}} $;

4) $ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1} $;

5) $ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1} $;

6) $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1} $.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2 - \sqrt{2y} + y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}} $, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{2} + \sqrt{y} $.
$ \frac{2 - \sqrt{2y} + y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}} = \frac{(2 - \sqrt{2y} + y)(\sqrt{2} + \sqrt{y})}{(\sqrt{2} - \sqrt{y})(\sqrt{2} + \sqrt{y})} $
В знаменателе применяем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ (\sqrt{2} - \sqrt{y})(\sqrt{2} + \sqrt{y}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{y})^2 = 2 - y $.
В числителе заметим, что выражение $ 2 - \sqrt{2y} + y $ можно представить как $ (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 $. Это неполный квадрат разности. При умножении его на сумму $ \sqrt{2} + \sqrt{y} $ получаем формулу суммы кубов $ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $:
$ (2 - \sqrt{2y} + y)(\sqrt{2} + \sqrt{y}) = ((\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)(\sqrt{2} + \sqrt{y}) = (\sqrt{2})^3 + (\sqrt{y})^3 = 2\sqrt{2} + y\sqrt{y} $.
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{2\sqrt{2} + y\sqrt{y}}{2 - y} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{2} + y\sqrt{y}}{2-y} $.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{9 + 3\sqrt{c} + c}{3 + \sqrt{c}} $, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ 3 - \sqrt{c} $.
$ \frac{9 + 3\sqrt{c} + c}{3 + \sqrt{c}} = \frac{(9 + 3\sqrt{c} + c)(3 - \sqrt{c})}{(3 + \sqrt{c})(3 - \sqrt{c})} $
В знаменателе применяем формулу разности квадратов:
$ (3 + \sqrt{c})(3 - \sqrt{c}) = 3^2 - (\sqrt{c})^2 = 9 - c $.
В числителе выражение $ 9 + 3\sqrt{c} + c $ можно представить как $ 3^2 + 3\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2 $. Это неполный квадрат суммы. При умножении его на разность $ 3 - \sqrt{c} $ получаем формулу разности кубов $ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 $:
$ (9 + 3\sqrt{c} + c)(3 - \sqrt{c}) = (3^2 + 3\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2)(3 - \sqrt{c}) = 3^3 - (\sqrt{c})^3 = 27 - c\sqrt{c} $.
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{27 - c\sqrt{c}}{9 - c} $.
Ответ: $ \frac{27 - c\sqrt{c}}{9-c} $.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{a^2b + 3a\sqrt{b} + 9}{3 + a\sqrt{b}} $, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ 3 - a\sqrt{b} $.
$ \frac{a^2b + 3a\sqrt{b} + 9}{3 + a\sqrt{b}} = \frac{(a^2b + 3a\sqrt{b} + 9)(3 - a\sqrt{b})}{(3 + a\sqrt{b})(3 - a\sqrt{b})} $
В знаменателе применяем формулу разности квадратов:
$ (3 + a\sqrt{b})(3 - a\sqrt{b}) = 3^2 - (a\sqrt{b})^2 = 9 - a^2b $.
В числителе, если обозначить $ x = a\sqrt{b} $, то выражение $ a^2b + 3a\sqrt{b} + 9 $ примет вид $ x^2 + 3x + 9 $. Тогда произведение в числителе будет $ (x^2+3x+9)(3-x) $. Это соответствует формуле разности кубов $ (k-m)(k^2+km+m^2)=k^3-m^3 $ для $ k=3, m=x $.
$ (9 + 3a\sqrt{b} + a^2b)(3 - a\sqrt{b}) = 3^3 - (a\sqrt{b})^3 = 27 - a^3b\sqrt{b} $.
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{27 - a^3b\sqrt{b}}{9 - a^2b} $.
Ответ: $ \frac{27 - a^3b\sqrt{b}}{9-a^2b} $.

4) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1} $ три слагаемых. Сгруппируем их: $ \sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1) $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1) $.
$ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - 1)^2} $
Упростим знаменатель:
$ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - ((\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) = 3 - (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 3 - (3 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $.
Получили дробь $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} $. Теперь избавимся от иррациональности $ \sqrt{2} $, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{2} - 1\sqrt{2}}{2(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6} + 2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} + 2 - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $.

5) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1} $ сгруппируем слагаемые: $ \sqrt{5} - (\sqrt{2} + 1) $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{5} + (\sqrt{2} + 1) $.
$ \frac{1}{\sqrt{5} - (\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{5} + (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} + (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} + 1)^2} $
Упростим знаменатель:
$ 5 - (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 5 - (3 + 2\sqrt{2}) = 2 - 2\sqrt{2} $.
Получили дробь $ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1}{2 - 2\sqrt{2}} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 2 - 2\sqrt{2} $, то есть на $ 2 + 2\sqrt{2} $.
$ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1)(2 + 2\sqrt{2})}{(2 - 2\sqrt{2})(2 + 2\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{4} + 2 + 2\sqrt{2}}{2^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 4\sqrt{2} + 4 + 2}{4 - 8} = \frac{6 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10}}{-4} $.
Сократим дробь на -2:
$ -\frac{3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{10}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} $.

6) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1} $ сгруппируем слагаемые: $ (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 1 $.
$ \frac{1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1} \cdot \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 1} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 - 1^2} $
Упростим знаменатель:
$ (6 + 2\sqrt{12} + 2) - 1 = 8 + 2\sqrt{4 \cdot 3} - 1 = 7 + 4\sqrt{3} $.
Получили дробь $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1}{7 + 4\sqrt{3}} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 7 + 4\sqrt{3} $, то есть на $ 7 - 4\sqrt{3} $.
$ \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1)(7 - 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \frac{7\sqrt{6} - 4\sqrt{18} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 7 - 4\sqrt{3}}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} $
Знаменатель равен $ 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 $.
Упростим числитель:
$ 7\sqrt{6} - 4\sqrt{9 \cdot 2} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 7 - 4\sqrt{3} = 7\sqrt{6} - 12\sqrt{2} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 7 - 4\sqrt{3} = (7-4)\sqrt{6} + (-12+7)\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 7 = 3\sqrt{6} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 7 $.
Ответ: $ 7 - 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{6} $.

27. Найдите корни квадратного трехчлена:

1) $x^2 + 4x - 5$;

2) $x^2 - 14x - 15$;

3) $-x^2 + 4x + 12$;

4) $2x^2 + 3x - 5.$

Чтобы найти корни квадратного трехчлена, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни можно найти с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $x^2 + 4x - 5$
Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: 1; -5.

2) $x^2 - 14x - 15$
Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 - 14x - 15 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-14$, $c=-15$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: 15; -1.

3) $-x^2 + 4x + 12$
Приравняем трехчлен к нулю: $-x^2 + 4x + 12 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:
$x^2 - 4x - 12 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: 6; -2.

4) $2x^2 + 3x - 5$
Приравняем трехчлен к нулю: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=3$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2,5$.
Ответ: 1; -2,5.

19.3. 1) Запишите с помощью $\pi$ в радианах углы равнобедренного прямоугольного треугольника;

2) Запишите с помощью $\pi$ в радианах углы равностороннего треугольника;

3) Запишите с помощью $\pi$ в радианах углы прямоугольника.

1) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, два других угла (углы при основании) равны между собой. Найдем их величину: $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Таким образом, углы треугольника в градусах равны $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.
Для перевода градусов в радианы используем формулу $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.
Для $90^\circ$: $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Для $45^\circ$: $45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.
Ответ: Углы равнобедренного прямоугольного треугольника в радианах равны $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$.

2) В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны. Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, каждый угол равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Переведем $60^\circ$ в радианную меру:
$60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Ответ: Каждый угол равностороннего треугольника равен $\frac{\pi}{3}$ радиан.

3) Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Это означает, что каждый из четырех углов равен $90^\circ$.
Переведем $90^\circ$ в радианы, как в пункте 1:
$90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Ответ: Каждый угол прямоугольника равен $\frac{\pi}{2}$ радиан.

19.4. Выразите в градусах угол поворота:

1) $1 \text{ рад}$;

2) $0,4 \text{ рад}$;

3) $2,3 \text{ рад}$;

4) $-4,2 \text{ рад}$;

5) $-3,5 \text{ рад}$;

6) $-10 \text{ рад}$.

Для перевода угла из радианной меры в градусную используется основное соотношение: $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $.

Из этого соотношения можно вывести формулу для перевода: чтобы найти градусную меру угла, заданного в радианах, нужно умножить радианную меру на $ \frac{180^\circ}{\pi} $. То есть, $ \alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $.

1) 1 рад;
Применяем формулу перевода для 1 радиана:
$ 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ $.
Ответ: $ \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ $.

2) 0,4 рад;
Применяем формулу перевода для 0,4 радиана:
$ 0,4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{0,4 \cdot 180^\circ}{\pi} = \left(\frac{72}{\pi}\right)^\circ $.
Ответ: $ \left(\frac{72}{\pi}\right)^\circ $.

3) 2,3 рад;
Применяем формулу перевода для 2,3 радиана:
$ 2,3 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2,3 \cdot 180^\circ}{\pi} = \left(\frac{414}{\pi}\right)^\circ $.
Ответ: $ \left(\frac{414}{\pi}\right)^\circ $.

4) -4,2 рад;
Применяем формулу перевода для -4,2 радиана:
$ -4,2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{4,2 \cdot 180^\circ}{\pi} = -\left(\frac{756}{\pi}\right)^\circ $.
Ответ: $ -\left(\frac{756}{\pi}\right)^\circ $.

5) -3,5 рад;
Применяем формулу перевода для -3,5 радиана:
$ -3,5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{3,5 \cdot 180^\circ}{\pi} = -\left(\frac{630}{\pi}\right)^\circ $.
Ответ: $ -\left(\frac{630}{\pi}\right)^\circ $.

6) -10 рад.
Применяем формулу перевода для -10 радиан:
$ -10 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{10 \cdot 180^\circ}{\pi} = -\left(\frac{1800}{\pi}\right)^\circ $.
Ответ: $ -\left(\frac{1800}{\pi}\right)^\circ $.

19.5. Выразите в радианах заданные в градусах углы:

1) $24^\circ$; 2) $240^\circ$; 3) $154^\circ$; 4) $1025^\circ$; 5) $2040^\circ$; 6) $2405^\circ$.

Для перевода угла из градусов в радианы используется формула, которая связывает эти две единицы измерения: $180^\circ = \pi$ радиан. Из этого соотношения следует, что $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. Чтобы перевести заданный угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на $\frac{\pi}{180}$.

1) 24°

Чтобы выразить 24° в радианах, умножим 24 на $\frac{\pi}{180}$:

$24^\circ = 24 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{24\pi}{180}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 24 и 180 равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$\frac{24\pi}{180} = \frac{(24 \div 12)\pi}{180 \div 12} = \frac{2\pi}{15}$

Ответ: $\frac{2\pi}{15}$.

2) 240°

Чтобы выразить 240° в радианах, умножим 240 на $\frac{\pi}{180}$:

$240^\circ = 240 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{240\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 240 и 180 равен 60:

$\frac{240\pi}{180} = \frac{(240 \div 60)\pi}{180 \div 60} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

3) 154°

Чтобы выразить 154° в радианах, умножим 154 на $\frac{\pi}{180}$:

$154^\circ = 154 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{154\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 154 и 180 равен 2:

$\frac{154\pi}{180} = \frac{(154 \div 2)\pi}{180 \div 2} = \frac{77\pi}{90}$

Ответ: $\frac{77\pi}{90}$.

4) 1025°

Чтобы выразить 1025° в радианах, умножим 1025 на $\frac{\pi}{180}$:

$1025^\circ = 1025 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{1025\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 1025 и 180 равен 5:

$\frac{1025\pi}{180} = \frac{(1025 \div 5)\pi}{180 \div 5} = \frac{205\pi}{36}$

Ответ: $\frac{205\pi}{36}$.

5) 2040°

Чтобы выразить 2040° в радианах, умножим 2040 на $\frac{\pi}{180}$:

$2040^\circ = 2040 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2040\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 2040 и 180 равен 60:

$\frac{2040\pi}{180} = \frac{(2040 \div 60)\pi}{180 \div 60} = \frac{34\pi}{3}$

Ответ: $\frac{34\pi}{3}$.

6) 2405°

Чтобы выразить 2405° в радианах, умножим 2405 на $\frac{\pi}{180}$:

$2405^\circ = 2405 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2405\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 2405 и 180 равен 5:

$\frac{2405\pi}{180} = \frac{(2405 \div 5)\pi}{180 \div 5} = \frac{481\pi}{36}$

Ответ: $\frac{481\pi}{36}$.

19.6. Углом какой четверти является угол α, если:

1) α = $\frac{5\pi}{3}$;

2) α = $\frac{9\pi}{4}$;

3) α = $\frac{16\pi}{5}$;

4) α = $\frac{17\pi}{6}$?

1) Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{3}$:

Данный угол находится в промежутке от $0$ до $2\pi$. Чтобы определить его четверть, сравним его с границами четвертей. Для удобства сравнения, приведем дроби к общему знаменателю 6.

Угол $\alpha = \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$. Границы III и IV четвертей: $\pi = \frac{6\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.

Так как выполняется неравенство $\frac{9\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} < \frac{12\pi}{6}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Следовательно, угол $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

2) Для угла $\alpha = \frac{9\pi}{4}$:

Этот угол больше $2\pi$, так как $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. Чтобы найти четверть, найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычтя полный оборот ($2\pi$):

$\alpha' = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

3) Для угла $\alpha = \frac{16\pi}{5}$:

Этот угол больше $2\pi$, так как $2\pi = \frac{10\pi}{5}$. Найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$:

$\alpha' = \frac{16\pi}{5} - 2\pi = \frac{16\pi}{5} - \frac{10\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$.

Теперь сравним полученный угол $\frac{6\pi}{5}$ с границами III четверти: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Неравенство $\pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$ верно, так как $1 < \frac{6}{5} < \frac{3}{2}$ (то есть $1 < 1.2 < 1.5$).

Следовательно, угол находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

4) Для угла $\alpha = \frac{17\pi}{6}$:

Этот угол больше $2\pi$, так как $2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$:

$\alpha' = \frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{17\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Сравним полученный угол $\frac{5\pi}{6}$ с границами II четверти: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$ верно, так как $\frac{1}{2} < \frac{5}{6} < 1$ (то есть $0.5 < 0.833... < 1$).

Следовательно, угол находится во II четверти.

Ответ: II четверть.

19.7.1) Радианная мера одного из углов ромба равна $0,2\pi$. Найдите радианные меры остальных углов ромба.

2) Радианная мера одного из углов ромба равна $0,7\pi$. Найдите радианные меры остальных углов ромба.

1)

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами углов ромба. Ромб — это параллелограмм, а значит, у него есть следующие свойства:
1. Противоположные углы равны. В ромбе две пары равных углов.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан.

Пусть один из углов ромба, назовем его $\alpha$, равен $0,2\pi$.

Согласно свойству 1, угол, который лежит напротив данного угла, также равен $0,2\pi$. Это один из искомых углов.

Два других угла ромба равны между собой. Найдем меру одного из них, назовем его $\beta$. Углы $\alpha$ и $\beta$ являются соседними, поэтому их сумма равна $\pi$.
$\alpha + \beta = \pi$

Подставим известное значение $\alpha$:
$0,2\pi + \beta = \pi$

Выразим отсюда $\beta$:
$\beta = \pi - 0,2\pi = 0,8\pi$

Итак, два других угла равны $0,8\pi$ каждый.

Таким образом, если один угол ромба равен $0,2\pi$, то три остальных угла — это $0,2\pi$, $0,8\pi$ и $0,8\pi$.

Ответ: $0,2\pi$, $0,8\pi$, $0,8\pi$.

2)

Аналогично первому пункту, используем свойства углов ромба: противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $\pi$ радиан.

Пусть заданный угол ромба $\alpha = 0,7\pi$.

Угол, противоположный ему, также равен $0,7\pi$.

Найдем меру соседнего угла $\beta$:
$\beta = \pi - \alpha$
$\beta = \pi - 0,7\pi = 0,3\pi$

Четвертый угол ромба противоположен углу $\beta$, а значит, он также равен $0,3\pi$.

Следовательно, остальные три угла ромба равны $0,7\pi$, $0,3\pi$ и $0,3\pi$.

Ответ: $0,7\pi$, $0,3\pi$, $0,3\pi$.

19.8.1) Радіанна мера одного из углов равнобокой трапеции равна $\frac{\pi}{6}$. Найдите радианные меры остальных углов трапеции.

2) Радіанна мера одного из углов равнобокой трапеции равна $\frac{2\pi}{3}$. Найдите радианные меры остальных углов трапеции.

1)

В равнобокой (равнобедренной) трапеции углы при каждом из оснований равны. Также, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $\pi$ радиан (или 180°).

Заданный угол равен $\frac{\pi}{6}$. Поскольку $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, это острый угол, который может находиться только у большего основания трапеции. Пусть это будет угол $\alpha$.

Второй угол при том же основании также равен $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Углы при другом (меньшем) основании равны между собой. Обозначим их как $\beta$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $\pi$:

$\alpha + \beta = \pi$

Отсюда находим угол $\beta$:

$\beta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Таким образом, два угла трапеции равны $\frac{\pi}{6}$, а два других — $\frac{5\pi}{6}$. Если один из углов уже дан, то остальные три угла равны $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$.

2)

Используем те же свойства равнобокой трапеции. Заданный угол равен $\frac{2\pi}{3}$.

Поскольку $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$, это тупой угол, который может находиться только у меньшего основания трапеции. Пусть это будет угол $\beta$.

Второй угол при том же основании также равен $\beta = \frac{2\pi}{3}$.

Углы при другом (большем) основании равны между собой. Обозначим их как $\alpha$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $\pi$:

$\alpha + \beta = \pi$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \pi - \beta = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

Таким образом, два угла трапеции равны $\frac{2\pi}{3}$, а два других — $\frac{\pi}{3}$. Если один из углов уже дан, то остальные три угла равны $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$.

19.9. Найдите радианную меру угла, смежного углу, содержащего радиан:

1) $\frac{\pi}{4}$;

2) $\frac{\pi}{6}$;

3) $\frac{\pi}{2}$;

4) $\frac{3\pi}{4}$;

5) $\frac{4\pi}{9}$;

6) $\frac{7\pi}{11}$.

Сумма смежных углов равна $\pi$ радиан (что эквивалентно 180°). Это означает, что если один из смежных углов равен $\alpha$, то второй, смежный с ним, угол будет равен $\pi - \alpha$. Найдем радианную меру для каждого из заданных углов.

1) Дан угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Радианная мера смежного угла равна:
$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

2) Дан угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Радианная мера смежного угла равна:
$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

3) Дан угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Радианная мера смежного угла равна:
$\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) Дан угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.
Радианная мера смежного угла равна:
$\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

5) Дан угол $\alpha = \frac{4\pi}{9}$.
Радианная мера смежного угла равна:
$\pi - \frac{4\pi}{9} = \frac{9\pi}{9} - \frac{4\pi}{9} = \frac{5\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{9}$.

6) Дан угол $\alpha = \frac{7\pi}{11}$.
Радианная мера смежного угла равна:
$\pi - \frac{7\pi}{11} = \frac{11\pi}{11} - \frac{7\pi}{11} = \frac{4\pi}{11}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{11}$.

19.10. Представьте в виде $a = a_0 + 2\pi n$ (где $0 \le a_0 < 2\pi$ и $n$ — целое число) угол $\alpha$:

1) $a = 2,5\pi$;
2) $a = 14,3\pi$;
3) $a = -2,2\pi$;
4) $a = -19,7\pi$;
5) $a = -\frac{13}{4}\pi$;
6) $a = -\frac{23}{6}\pi$.

1) Чтобы представить угол $a = 2,5\pi$ в виде $a = a_0 + 2\pi n$ с условием $0 \le a_0 < 2\pi$, мы должны найти целое число $n$ (количество полных оборотов) и основной угол $a_0$. Найдем $n$, решив неравенство $0 \le a_0 < 2\pi$ для $a_0 = a - 2\pi n$: $0 \le 2,5\pi - 2\pi n < 2\pi$. Разделим все части неравенства на $2\pi$: $0 \le 1,25 - n < 1$. Вычтем $1,25$ из всех частей: $-1,25 \le -n < 1 - 1,25$. $-1,25 \le -n < -0,25$. Умножим на $-1$ и сменим знаки неравенства: $1,25 \ge n > 0,25$. Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=1$. Теперь найдем $a_0$: $a_0 = 2,5\pi - 2\pi \cdot 1 = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $2,5\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1$.
Ответ: $2,5\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1$.

2) Для угла $a = 14,3\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le 14,3\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le 7,15 - n < 1$. Вычитаем $7,15$: $-7,15 \le -n < 1 - 7,15$. $-7,15 \le -n < -6,15$. Умножаем на $-1$: $7,15 \ge n > 6,15$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=7$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = 14,3\pi - 2\pi \cdot 7 = 14,3\pi - 14\pi = 0,3\pi$. Таким образом, $14,3\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot 7$.
Ответ: $14,3\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot 7$.

3) Для угла $a = -2,2\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -2,2\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -1,1 - n < 1$. Прибавляем $1,1$: $1,1 \le -n < 1 + 1,1$. $1,1 \le -n < 2,1$. Умножаем на $-1$: $-1,1 \ge n > -2,1$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-2$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -2,2\pi - 2\pi \cdot (-2) = -2,2\pi + 4\pi = 1,8\pi$. Таким образом, $-2,2\pi = 1,8\pi + 2\pi \cdot (-2)$.
Ответ: $-2,2\pi = 1,8\pi + 2\pi \cdot (-2)$.

4) Для угла $a = -19,7\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -19,7\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -9,85 - n < 1$. Прибавляем $9,85$: $9,85 \le -n < 1 + 9,85$. $9,85 \le -n < 10,85$. Умножаем на $-1$: $-9,85 \ge n > -10,85$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-10$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -19,7\pi - 2\pi \cdot (-10) = -19,7\pi + 20\pi = 0,3\pi$. Таким образом, $-19,7\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot (-10)$.
Ответ: $-19,7\pi = 0,3\pi + 2\pi \cdot (-10)$.

5) Для угла $a = -\frac{13}{4}\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -\frac{13}{4}\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -\frac{13}{8} - n < 1$. Прибавим $\frac{13}{8}$: $\frac{13}{8} \le -n < 1 + \frac{13}{8}$. $\frac{13}{8} \le -n < \frac{21}{8}$. $1,625 \le -n < 2,625$. Умножаем на $-1$: $-1,625 \ge n > -2,625$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-2$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -\frac{13}{4}\pi - 2\pi \cdot (-2) = -\frac{13\pi}{4} + 4\pi = -\frac{13\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Таким образом, $-\frac{13\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot (-2)$.
Ответ: $-\frac{13\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot (-2)$.

6) Для угла $a = -\frac{23}{6}\pi$ ищем $a_0$ и $n$. Решим неравенство $0 \le -\frac{23}{6}\pi - 2\pi n < 2\pi$: Делим на $2\pi$: $0 \le -\frac{23}{12} - n < 1$. Прибавим $\frac{23}{12}$: $\frac{23}{12} \le -n < 1 + \frac{23}{12}$. $\frac{23}{12} \le -n < \frac{35}{12}$. Приблизительно $1,917 \le -n < 2,917$. Умножаем на $-1$: $-1,917 \ge n > -2,917$. Единственное целое $n$ в этом промежутке — это $n=-2$. Вычисляем $a_0$: $a_0 = -\frac{23}{6}\pi - 2\pi \cdot (-2) = -\frac{23\pi}{6} + 4\pi = -\frac{23\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Таким образом, $-\frac{23\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-2)$.
Ответ: $-\frac{23\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-2)$.

19.11. В какой четверти находится угол поворота $a$, если:

1) $a = 3,7\pi;$

2) $a = 4,2\pi;$

3) $a = -3,2\pi;$

4) $a = -9,8\pi;$

5) $a = -\frac{14}{5}\pi;$

6) $a = -\frac{25}{7}\pi?$

Для определения четверти, в которой находится угол поворота, мы приведем каждый угол к эквивалентному углу в диапазоне от $0$ до $2\pi$ (один полный оборот), прибавляя или вычитая целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число). После этого мы сравним полученный угол с границами координатных четвертей, как показано на единичной окружности.

Границы четвертей:
I четверть: $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$ (от $0$ до $0,5\pi$)
II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$ (от $0,5\pi$ до $\pi$)
III четверть: $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$ (от $\pi$ до $1,5\pi$)
IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \alpha' < 2\pi$ (от $1,5\pi$ до $2\pi$)

1) a = 3,7π;

Чтобы найти эквивалентный угол в пределах от $0$ до $2\pi$, вычтем из $3,7\pi$ один полный оборот ($2\pi$):
$\alpha' = 3,7\pi - 2\pi = 1,7\pi$.
Сравним полученный угол с границами четвертей. Мы знаем, что $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Поскольку $1,5\pi < 1,7\pi < 2\pi$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \alpha' < 2\pi$, угол находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

2) a = 4,2π;

Вычтем два полных оборота ($2 \cdot 2\pi = 4\pi$):
$\alpha' = 4,2\pi - 4\pi = 0,2\pi$.
Сравним полученный угол с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$.
Поскольку $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$, то есть $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

3) a = -3,2π;

Угол отрицательный, поэтому для приведения к стандартному диапазону $[0, 2\pi)$ прибавим кратное $2\pi$. Ближайшее подходящее кратное — $4\pi$.
$\alpha' = -3,2\pi + 4\pi = 0,8\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$ и $\pi = 1\pi$.
Поскольку $0,5\pi < 0,8\pi < \pi$, то есть $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$, угол находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

4) a = -9,8π;

Угол отрицательный. Прибавим кратное $2\pi$. Ближайшее подходящее кратное, большее $9,8\pi$, — это $10\pi$ ($5 \cdot 2\pi$).
$\alpha' = -9,8\pi + 10\pi = 0,2\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$.
Поскольку $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$, то есть $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

5) a = $-\frac{14}{5}\pi$;

Представим угол в виде десятичной дроби: $a = -2,8\pi$. Угол отрицательный, прибавим $4\pi$.
$\alpha' = -\frac{14}{5}\pi + 4\pi = -\frac{14}{5}\pi + \frac{20}{5}\pi = \frac{6}{5}\pi = 1,2\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\pi = 1\pi$ и $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Поскольку $\pi < 1,2\pi < 1,5\pi$, то есть $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в III четверти.
Ответ: III четверть.

6) a = $-\frac{25}{7}\pi$?

Представим коэффициент при $\pi$ в виде смешанной дроби: $a = -3\frac{4}{7}\pi$. Угол отрицательный, прибавим $4\pi$.
$\alpha' = -\frac{25}{7}\pi + 4\pi = -\frac{25}{7}\pi + \frac{28}{7}\pi = \frac{3}{7}\pi$.
Сравним с границами. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi = \frac{3,5}{7}\pi$.
Поскольку $0 < \frac{3}{7}\pi < \frac{3,5}{7}\pi$, то есть $0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.
Ответ: I четверть.